一種利于工程應(yīng)用的快速反卷積波束形成方法

張 錚，徐雅南，孔 強(qiáng)

(杭州應(yīng)用聲學(xué)研究所，浙江杭州 310023)

0 引言

陣列信號(hào)處理作為現(xiàn)代信號(hào)處理的重要組成部分，被廣泛應(yīng)用于聲吶、雷達(dá)中。水平線列陣作為一種基本陣型，是聲吶系統(tǒng)中的一個(gè)重要組成部分。在傳統(tǒng)的聲吶系統(tǒng)中，通過常規(guī)波束形成(Conventional BeamForming,CBF)處理來獲得陣增益，提高目標(biāo)探測(cè)能力。但是，CBF主瓣波束寬度寬、旁瓣級(jí)高，降低了其空間分辨能力，在多目標(biāo)時(shí)容易產(chǎn)生混疊，對(duì)有強(qiáng)干擾的弱目標(biāo)檢測(cè)能力較弱。為了提高空間分辨能力，一批高分辨波束形成算法被提出，比如最小方差無畸變響應(yīng)法(Minimum Variance Distortionless Response,MVDR)[1]、最大熵法[2]、主模式抑制法(Dominant Mode Rejection,DMR)[3]、多信號(hào)分類法(Multiple Signal Classification,MUSIC)[4]、基于旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)的信號(hào)參數(shù)估計(jì)法(Estimating Signal Parameter Via Rotational Invariance Techniques,ESPRIT)[5]等。但是，這些方法在提高了分辨力的同時(shí)，也有其使用限制。如對(duì)陣型精度要求高、需要較多數(shù)據(jù)構(gòu)建協(xié)方差矩陣、計(jì)算量大、穩(wěn)定性差[6]等。

為了獲得兼顧高分辨能力和穩(wěn)定性的波束形成算法，人們開始將其他學(xué)科的成果應(yīng)用到陣列信號(hào)處理中來。反卷積算法起初多應(yīng)用于圖像處理領(lǐng)域[7-8]，用于提高圖像分辨率，Yang將反卷積算法與常規(guī)波束形成結(jié)合，提出了一種穩(wěn)健的高分辨波束形成算法，并通過水平線列陣[9]和圓陣[10]對(duì)反卷積波束形成的穩(wěn)定性、分辨力和處理增益進(jìn)行了仿真研究和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果表明，該方法具有和CBF一樣的穩(wěn)定性，與MVDR等高分辨波束形成算法分辨能力相近，并且提供了一定的處理增益。

盡管文獻(xiàn)[9]的反卷積波束形成算法具有穩(wěn)健、分辨力高和提高處理增益的優(yōu)點(diǎn)，但在工程應(yīng)用中還會(huì)面臨一些實(shí)際問題。以水平線列陣聲吶為例，通常工作在一個(gè)較寬的頻帶內(nèi)，而反卷積算法中用到的陣列波束圖也可稱作陣列的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(Point Spread Function,PSF)與頻率有關(guān)，較寬的頻帶即意味著需要計(jì)算更多頻點(diǎn)的PSF，增加了計(jì)算量；文獻(xiàn)[9]中使用基于Richardson-Lucy(R-L)迭代算法的反卷積波束形成算法，因?yàn)樾盘?hào)截?cái)?，在波束圖的兩端會(huì)有邊界模糊問題。反卷積波束形成可以看成是在CBF的基礎(chǔ)上進(jìn)行反卷積處理的算法，因此其計(jì)算量高于CBF。如何降低該方法的計(jì)算量，將計(jì)算量增加部分控制在一個(gè)可接受的范圍內(nèi)，是工程實(shí)踐中需要解決的實(shí)際問題。本文對(duì)以上工程應(yīng)用中的問題進(jìn)行分析、討論和優(yōu)化，提出了一種利于工程應(yīng)用的快速反卷積波束形成方法。

1 利于工程應(yīng)用的快速反卷積波束形成方法

1.1 均勻線陣常規(guī)波束形成

以一個(gè)具有N個(gè)陣元的水平線列陣為例，陣元間距為d，聲源在遠(yuǎn)場(chǎng)，聲信號(hào)以平面波形式到達(dá)各陣元，信號(hào)的入射方向?yàn)棣?，如圖1所示。入射信號(hào)以R=AiPi+Ns表示，其中i為目標(biāo)計(jì)數(shù)，Ai為第i個(gè)目標(biāo)信號(hào)強(qiáng)度，為第i個(gè)目標(biāo)在各陣元的相移向量，其中p定義如下pin=exp[- jk(n-1)dcosθi] ，n=1，2，...，N，符號(hào) T 表示轉(zhuǎn)置，j表示虛數(shù)，k為波數(shù)，Ns為噪聲。

圖1 均勻線陣布陣示意圖Fig.1 Schematic diagram Uniform line array

根據(jù)常規(guī)波束形成理論，定義導(dǎo)向向量S=[s1s2...sN]T，其中，有K個(gè)互不相關(guān)的隨機(jī)信號(hào)，則波束形成結(jié)果為

式中：H為共軛轉(zhuǎn)置(具體推導(dǎo)參見文獻(xiàn)[9])。由式(1)可以看出，B關(guān)于cosθ具有移不變性，即B(cosθ-cosθi)=B(cosθ|cosθi)，|B(cosθ|cosθi)|即為均勻線列陣在θi角度的指向性函數(shù)[11]?？蓪⑹?1)改寫成積分形式：

1.2 反卷積波束形成

由式(1)、(3)可以看出，Bp是一個(gè)只與陣元個(gè)數(shù)、陣元間距和信號(hào)波長(zhǎng)有關(guān)的函數(shù)(即均勻線列陣的PSF函數(shù))，即在陣型確定的情況下，是可以提前確定的[12]；S是包含了目標(biāo)方位信息的δ函數(shù)的和，這方位信息即所要求解的目標(biāo)信息[13]；P作為CBF輸出的功率譜，可以由陣接收到的數(shù)據(jù)獲得。因此，由Bp、S和P三者之間的卷積關(guān)系可以推出，對(duì)P求反卷積即可獲得目標(biāo)的方位信息[13]。

目前，有多種算法可以進(jìn)行反卷積，比如CLEAN[14]，反卷積波束形成法(Deconvolution Approach for the Mapping of Acoustic Sources Method,DAMAS)[15]，非負(fù)最小二乘法(Non-Negative Least squares,NNLS)[16]， Richardson-Lucy(R-L)迭 代 算法[17-18]以及相應(yīng)的衍生算法[19]。由文獻(xiàn)[16]可知，對(duì)于均勻線列陣這種PSF具有移不變特性的陣列，RL法相比于DAMAS、NNLS等算法具有更低的計(jì)算量，更易于工程應(yīng)用。

R-L算法是一個(gè)基于貝葉斯準(zhǔn)則的最優(yōu)化迭代計(jì)算過程，將CBF功率譜結(jié)果作為初始值，每次迭代得到的功率譜估計(jì)值和CBF功率譜結(jié)果差值越小，則認(rèn)為迭代得到的目標(biāo)函數(shù)越接近真實(shí)的聲源分布，取得極小值后即可停止迭代。也可直接指定迭代次數(shù)，在完成指定次數(shù)迭代后停止迭代[20]。具體的迭代公式為

1.3 寬帶隨機(jī)信號(hào)處理

在實(shí)際的工程應(yīng)用中，待分析的信號(hào)多為寬帶隨機(jī)信號(hào)，而由式(4)可知，反卷積算法中用到的PSF是一個(gè)與信號(hào)頻率相關(guān)的參數(shù)，即：

分析式(7)可知，PSF在一個(gè)較窄的頻帶內(nèi)區(qū)別不大，而且頻率越高，具有近似PSF的頻帶越寬。如圖2所示。將寬帶信號(hào)劃分成若干個(gè)不等寬的較窄頻帶，每個(gè)頻帶內(nèi)取一個(gè)頻點(diǎn)的PSF做近似反卷積計(jì)算，這樣可以極大地降低PSF和反卷積的計(jì)算量。

圖2 各頻率的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)Fig.2 PSF at each frequency

1.4 邊界模糊問題的解決

人們?cè)谟肦-L算法對(duì)二維圖像進(jìn)行反卷積處理時(shí)發(fā)現(xiàn)[9]，因?yàn)閳D像數(shù)據(jù)截止問題，恢復(fù)圖像邊緣部分會(huì)出現(xiàn)模糊。同理，對(duì)一維的CBF功率譜進(jìn)行R-L迭代，也會(huì)在功率譜邊界位置出現(xiàn)模糊現(xiàn)象，對(duì)于本文中的均勻線列陣來說，出現(xiàn)在cosθ=±1附近。文獻(xiàn)[9]利用波束指向性圖的周期性，給出了一種將功率譜積分范圍擴(kuò)展的方法，即將式(3)改寫為

這樣就將邊界問題移動(dòng)到cosθ=±1.5附近，在1＜|cosθ|≤1.5范圍內(nèi)會(huì)得到一個(gè)復(fù)數(shù)角度，僅參與計(jì)算，在具有實(shí)際物理意義的|cosθ|≤1范圍內(nèi)不受邊界模糊影響。但是，這種邊界擴(kuò)展的方式在解決了R-L算法邊界模糊問題的同時(shí)，增加了波束形成50%的計(jì)算量，尤其當(dāng)波束個(gè)數(shù)較多時(shí)，這種計(jì)算量的增加極大地限制了算法在工程上的應(yīng)用。

考慮到|cosθ|＞1范圍內(nèi)的波束形成結(jié)果，獲得的θ值沒有實(shí)際物理意義，在此花費(fèi)較多時(shí)間計(jì)算有些得不償失，為此，本文提出一種近似的優(yōu)化方法，在不增加波束形成計(jì)算量的前提下，解決反卷積R-L算法帶來的邊界模糊問題。該方法具體步驟如下：

(1)按式(3)進(jìn)行M個(gè)波束的常規(guī)波束形成計(jì)算，獲得CBF的功率譜PM；

(2)以PM的左右端點(diǎn)為起點(diǎn)向兩邊各擴(kuò)展M/4個(gè)波束，擴(kuò)展波束以PM左右端點(diǎn)值為基準(zhǔn)取值，獲得擴(kuò)展后的功率譜PkM，k=1.5；

(3)按-1.5≤cosθ≤1.5計(jì)算kM個(gè)波束的PSF函數(shù)；

(4)由PkM和PSF函數(shù)做R-L反卷積計(jì)算，取中間M個(gè)波束作為反卷積波束形成的輸出結(jié)果。

2 仿真分析

通過計(jì)算仿真分析，首先驗(yàn)證了反卷積波束形成高分辨力和提高處理增益的能力。以64元的均勻線列陣為例，按信號(hào)頻率為6 kHz進(jìn)行半波長(zhǎng)布陣，6 kHz窄帶信號(hào)在不同信噪比和角度的仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3中橫軸為以cosθ值表示的角度，縱軸為以dB為單位表示的歸一化后波束能量值。圖3(a)為-90°方向的單目標(biāo)，信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR)為50 dB，圖3(c)為圖3(a)中虛線框局部放大，可以清楚地看出，在這種“理想”條件下，反卷積波束形成3 dB主瓣寬度約是CBF主瓣寬度的1/5。圖3(b)為31°和33°方位的等強(qiáng)度雙目標(biāo)，SNR為-10 dB，3(d)為其虛線框局部放大，可以看出在這種仿真條件下，CBF已無目標(biāo)分辨能力，而反卷積波束形成依然可以清楚分辨雙目標(biāo)。對(duì)比圖中噪聲部分，反卷積波束形成噪聲能量比CBF低了約10 dB。

圖3 窄帶信號(hào)反卷積結(jié)果Fig.3 Deconvolution results of narrowband signal

以上仿真的單頻窄帶信號(hào)在實(shí)際工程應(yīng)用中比較少見，對(duì)于常見的寬帶信號(hào)，可以看作是多個(gè)窄帶信號(hào)的疊加。以64元、6 kHz半波長(zhǎng)布陣的均勻直線陣為例，工作帶寬B=6 kHz，由圖2可知，各頻點(diǎn)PSF不同，即按傳統(tǒng)的反卷積波束形成算法，需要對(duì)帶寬內(nèi)的所有頻點(diǎn)都做反卷積運(yùn)算，這無疑增加了很多計(jì)算量。為了減少不同頻點(diǎn)的反卷積運(yùn)算，利于工程應(yīng)用，本文提出將寬帶拆分的方法，將整個(gè)工作帶寬B拆分成(0～200 Hz)、(200～500 Hz)、 (500～1 000 Hz)、 (1000～3 000 Hz)和(3 000～6 000 Hz)共5個(gè)相對(duì)較窄的頻帶，并取每個(gè)頻帶中心頻點(diǎn)的PSF做反卷積波束形成。因各頻帶仿真結(jié)果具有相似性，本文僅給出1 000～3 000 Hz頻帶隨機(jī)信號(hào)的仿真結(jié)果。

圖4中橫軸為以cosθ值表示的角度，縱軸為以dB為單位表示的歸一化后波束能量值。圖4(a)中信號(hào)SNR為0 dB，圖4(b)中信號(hào)SNR為-20 dB。對(duì)比兩圖可以看出，因?yàn)槔昧瞬煌l點(diǎn)的PSF信息，全頻點(diǎn)反卷積在性能上優(yōu)于窄帶中心頻點(diǎn)反卷積，但在信號(hào)SNR較低時(shí)，兩種方法檢測(cè)能力和分辨力近似，都優(yōu)于CBF。對(duì)弱目標(biāo)檢測(cè)而言，窄帶中心頻點(diǎn)反卷積具有計(jì)算量更小的優(yōu)勢(shì)。

圖4 全頻點(diǎn)和窄帶中心頻點(diǎn)反卷積結(jié)果Fig.4 Deconvolution results at total frequency points and at the central frequency point of each narrow band

對(duì)于R-L迭代算法的邊界模糊問題，以64元6 kHz半波長(zhǎng)布陣的均勻直線陣進(jìn)行仿真，SNR為0 dB，目標(biāo)來波方向分別為90°和10°，仿真結(jié)果如圖5(a)、5(b)所示。

圖5 中橫軸為以cosθ表示的角度，縱軸為歸一化后波束能量值。圖5(c)為圖5(a)中虛線框局部放大。圖5(d)為圖5(d)中虛線框局部放大，由圖5可以看出，未作周期擴(kuò)展的反卷積結(jié)果在cosθ=±1附近會(huì)出現(xiàn)波形畸變，這會(huì)給檢測(cè)帶來虛假目標(biāo)；當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)在邊界位置時(shí)，會(huì)造成目標(biāo)方位估計(jì)誤差。與之相對(duì)的，進(jìn)行了周期擴(kuò)展的反卷積相比于CBF提高了檢測(cè)能力和分辨力，并且結(jié)果準(zhǔn)確。

圖5 R-L迭代算法的邊界模糊問題驗(yàn)證Fig.5 Validation of boundary blur problem of R-L iterative algorithm

由以上仿真可知，利用R-L迭代算法的反卷積波束形成需要進(jìn)行周期擴(kuò)展。但是，對(duì)波束進(jìn)行擴(kuò)展會(huì)極大地增加CBF的計(jì)算量，為此本文提出一種優(yōu)化方法，并進(jìn)行如下仿真：64元6 kHz半波長(zhǎng)布陣的均勻直線陣，(1 000～3 000 Hz)寬帶隨機(jī)信號(hào)，對(duì)CBF的能量譜做邊界擴(kuò)展和反卷積，與對(duì)波束進(jìn)行擴(kuò)展的反卷積結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖6所示。

圖6(a)中目標(biāo)在60°，SNR為0 dB可以看出在較高信噪比條件下，兩種反卷積方法檢測(cè)能力一致，都優(yōu)于CBF；改變信號(hào)SNR為-20 dB，仿真結(jié)果如圖6(b)所示，對(duì)比圖6(a)、6(b)可以看出，在不同的SNR條件下，當(dāng)目標(biāo)不在邊界位置，兩種反卷積方法對(duì)目標(biāo)檢測(cè)能力和分辨力一致，在邊界處的噪聲有一點(diǎn)差別，但對(duì)目標(biāo)檢測(cè)來說，基本沒有影響；圖6(c)為目標(biāo)在10°，SNR為0 dB的仿真結(jié)果，圖中虛線框局部放大如圖6(e)所示。因?yàn)槟繕?biāo)在邊界位置，對(duì)CBF能量譜進(jìn)行邊界擴(kuò)展時(shí)會(huì)將目標(biāo)信號(hào)的能量擴(kuò)展，在做反卷積時(shí)，這部分?jǐn)U展的信號(hào)能量會(huì)泄露到噪聲中，增加了噪聲的譜級(jí)。對(duì)波束擴(kuò)展，相當(dāng)于增加了虛擬的角度范圍，對(duì)cosθ=±1附近的目標(biāo)不會(huì)有影響；改變圖6(c)中的信號(hào)SNR為-20 dB，仿真結(jié)果如圖6(d)所示，圖中虛線框局部放大如圖6(f)所示，與圖6(c)、6(e)對(duì)比可知，在較低的SNR條件下，目標(biāo)分辨能力有所降低。由圖6(a)～6(e)可知，對(duì)波束擴(kuò)展的反卷積算法不受目標(biāo)位置影響，能一直保持較好的檢測(cè)能力和分辨力。對(duì)CBF能量譜擴(kuò)展的反卷積算法的性能會(huì)受目標(biāo)位置影響，當(dāng)目標(biāo)不在邊界位置時(shí)，其具有與波束形成時(shí)周期擴(kuò)展的反卷積算法一樣的檢測(cè)能力和分辨力；當(dāng)目標(biāo)在邊界位置時(shí)，算法性能會(huì)有一定下降，但依然優(yōu)于CBF。另外，考慮實(shí)際應(yīng)用情況，均勻直線陣在cosθ=±1位置附近為檢測(cè)“盲區(qū)”，一般不作為基陣的主要觀測(cè)方向，以降低“盲區(qū)”的部分檢測(cè)性能換取計(jì)算量的大幅下降，CBF能量譜邊界擴(kuò)展的反卷積算法在工程應(yīng)用上依然有其優(yōu)勢(shì)。

圖6 波束擴(kuò)展反卷積和譜擴(kuò)展反卷積的處理結(jié)果對(duì)比Fig.6 Comparison of processing results between beam expansion deconvolution and spectrum expansion deconvolution

綜合以上兩種計(jì)算速度的提升方法，對(duì)一寬帶隨機(jī)信號(hào)，做129個(gè)波束全頻點(diǎn)的CBF，周期擴(kuò)展為193個(gè)波束，每12個(gè)快拍進(jìn)行一次能量積分，共1 200個(gè)快拍數(shù)據(jù)，反卷積迭代10次，對(duì)本文所提的快速方法與傳統(tǒng)反卷積波束形成算法進(jìn)行了計(jì)算速度的對(duì)比，記錄仿真總時(shí)間(PSF計(jì)算采用預(yù)存方式，不計(jì)入總時(shí)間)，結(jié)果如表1所示(因仿真平臺(tái)性能差異，此計(jì)算時(shí)間僅作對(duì)比參考)。

由表1中的第2行可以看出，在單頻點(diǎn)情況下，兩種方法反卷積計(jì)算時(shí)間一樣，計(jì)算速度差距主要體現(xiàn)在波束個(gè)數(shù)上，因傳統(tǒng)方法要在波束域做1.5倍擴(kuò)展，整體計(jì)算時(shí)間也是本文方法的約1.5倍。傳統(tǒng)方法反卷積迭代所耗時(shí)間與分析頻點(diǎn)個(gè)數(shù)成正比，本文方法反卷積迭代所耗時(shí)間與拆分窄帶個(gè)數(shù)成正比，隨著分析帶寬的增加，頻點(diǎn)個(gè)數(shù)會(huì)遠(yuǎn)大于拆分窄帶個(gè)數(shù)，傳統(tǒng)方法所耗時(shí)間的增加也會(huì)遠(yuǎn)大于本文方法所增加的時(shí)間。表1所示仿真結(jié)果與理論分析一致，即相比于傳統(tǒng)方法，本文方法整體計(jì)算速度在單頻點(diǎn)時(shí)提升了約50%。這也是本文方法速度提升的下限，隨著分析頻點(diǎn)的增多，本文方法的速度提升也隨之增大。

表1 傳統(tǒng)的和本文提出的反卷積波束形成方法的計(jì)算速度對(duì)比Table.1 Speed comparison between conventional and the proposed deconvolution beamforming methods

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

選取一段海上試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)本方法進(jìn)行了驗(yàn)證，試驗(yàn)時(shí)兩艘船在一均勻直線陣正橫方向交叉航行，按本文方法將分析帶寬劃分成多個(gè)較窄頻帶，分別進(jìn)行CBF和反卷積處理，選取低頻和高頻兩個(gè)頻段進(jìn)行對(duì)比分析，具體結(jié)果如圖7所示。

圖7中橫軸為方位，以cosθ值顯示；縱軸為實(shí)驗(yàn)的時(shí)間批次，1為最早時(shí)刻。對(duì)比圖7(a)、7(b)，可以直觀地看出，本文快速反卷積算法處理后的主瓣波束寬度要明顯小于CBF，圖7(a)中兩目標(biāo)交叉無法分辨時(shí)間約380批次，而圖7(b)中僅約240批次。從圖7(b)中可以看出，在cosθ(0.6～0.75)范圍內(nèi)有一較弱目標(biāo)，而在圖7(a)的相同位置，此目標(biāo)并不明顯，大部分“淹沒”在噪聲中，由此可以看出，本文中的快速反卷積算法對(duì)弱目標(biāo)的檢測(cè)能力有了一定提升。圖7(c)、7(d)中的高頻處理結(jié)果，相比于低頻，高頻時(shí)主瓣波束寬度都有明顯降低，在圖7(c)中兩目標(biāo)交叉無法分辨時(shí)間約190批次，在圖7(d)中約130批次。圖7(c)中兩個(gè)目標(biāo)左側(cè)都存在較高的旁瓣，與之相比，圖7(d)中的旁瓣被削弱。

圖7 兩種方法對(duì)實(shí)際海試數(shù)據(jù)的處理結(jié)果Fig.7 Processing results of real sea trial data by the two methods

4 結(jié)論

相比于CBF方法，反卷積波束形成方法具有更高的分辨力、更高的處理增益和更好的旁瓣抑制能力，但作為CBF的一種后置處理方法，計(jì)算量有所增加。對(duì)于寬帶隨機(jī)信號(hào)的處理，因?yàn)槔昧瞬煌l率的PSF，全頻點(diǎn)反卷積在高SNR條件下性能優(yōu)于本文提出的窄帶中心頻點(diǎn)反卷積方法；但在低SNR條件下，兩者檢測(cè)性能相近，而中心頻點(diǎn)反卷積方法因其計(jì)算量遠(yuǎn)小于全頻點(diǎn)反卷積方法，在工程應(yīng)用上更具有優(yōu)勢(shì)。對(duì)于R-L算法的邊界模糊問題，本文提出了一種在CBF能量譜上進(jìn)行邊界擴(kuò)展的方法，相比于在波束角度上進(jìn)行擴(kuò)展，既解決了R-L算法的邊界模糊問題，又極大地降低了波束形成的計(jì)算量，更利于工程實(shí)現(xiàn)。綜合兩種速度提升方法后，本文方法相比于傳統(tǒng)反卷積波束形成速度至少提高了50%。

海試數(shù)據(jù)的處理結(jié)果也驗(yàn)證了本方法的有效性。結(jié)果顯示，本方法具有更高的分辨力，提高了對(duì)弱目標(biāo)的檢測(cè)能力，對(duì)旁瓣級(jí)的抑制在5 dB以上。