共振條件下豎直懸臂輸流管的局部分岔分析

張嘉文，高曉凌，謝沅澤，卞小霞

（1.鹽城工學(xué)院 信息工程學(xué)院，江蘇 鹽城 224051；2.鹽城工學(xué)院 土木工程學(xué)院，江蘇 鹽城 224051；3.鹽城工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 鹽城 224051）

管道系統(tǒng)是一種重要的載流裝置，在石油化工行業(yè)、核工業(yè)工程和航空航天工程等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。由于管道系統(tǒng)在工作過(guò)程中受外界激勵(lì)的影響，其中的流體產(chǎn)生非定常流動(dòng)，引起管道系統(tǒng)的流-固耦合非線性效應(yīng)，導(dǎo)致輸流管系統(tǒng)失穩(wěn)，嚴(yán)重時(shí)發(fā)生爆裂，繼而引發(fā)災(zāi)難性的事故。因此，管道系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性研究受到了廣大學(xué)者的重視。

1 輸流管道系統(tǒng)的研究現(xiàn)狀

輸流管道系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)，需要用非線性動(dòng)力學(xué)分析方法研究[1]。Hosseini 等[2]基于Euler-Bernoulli 梁模型，利用修正的應(yīng)變梯度理論研究了長(zhǎng)度尺度參數(shù)、外徑和長(zhǎng)徑比對(duì)固有頻率和顫振臨界速度的影響。金基鐸等[3]研究了懸臂輸流管道受彈性支承和運(yùn)動(dòng)約束作用的穩(wěn)定性和分岔現(xiàn)象。Mao 等[4]分析了輸流管在3∶1 內(nèi)共振下的受迫振動(dòng)響應(yīng)。Wang 等[5]得到了松散約束中的不同參數(shù)對(duì)懸臂梁非線性動(dòng)力學(xué)行為的影響。方孟孟等[6]基于Galerkin 法研究了懸臂輸流管系統(tǒng)在基礎(chǔ)激勵(lì)與脈沖內(nèi)流聯(lián)合作用下的動(dòng)力學(xué)行為。張宇飛等[7-8]分析了輸送脈動(dòng)流體的懸臂管道在諧波外力作用下的非線性共振響應(yīng)、模態(tài)相互作用及倍周期和混沌振動(dòng)，并且通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法對(duì)基礎(chǔ)激勵(lì)作用下懸臂輸流管的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行振動(dòng)測(cè)試分析。

本文以懸臂輸流管的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)為討論對(duì)象，分析平衡點(diǎn)處穩(wěn)定條件不滿足時(shí)分岔的情況。討論了2 類臨界特征根的情況。分別是2 個(gè)零特征值，1 個(gè)零特征根和1 對(duì)純虛特征根的情況，給出了不同情況下的轉(zhuǎn)遷曲線及平衡解穩(wěn)定區(qū)域。

2 動(dòng)力學(xué)模型

張宇飛等在文獻(xiàn)[7]中得到了受外激勵(lì)及內(nèi)共振影響的輸流管系統(tǒng)非線性無(wú)量綱系統(tǒng)如下

式中：“·”表示對(duì)時(shí)間t 的偏導(dǎo)數(shù)，“′”表示對(duì)X 的偏導(dǎo)數(shù)各項(xiàng)表達(dá)式及系數(shù)都可以在文獻(xiàn)[7]中找到。張宇飛等應(yīng)用攝動(dòng)分析法及Galerkin 離散法得到平均方程如下

式中：X=[x1，x2，x3，x4]，式（2）中各系數(shù)均可在文獻(xiàn)[7]中找到。共振關(guān)系為

式中：σ1和σ2是2 個(gè)調(diào)諧參數(shù)。

式（2）在平衡點(diǎn)（x1，x2，x3，x4）=（0，0，0，0）處的Jacobian 矩陣為

由Hurwitz 判據(jù)，系統(tǒng)在原點(diǎn)處穩(wěn)定，當(dāng)且僅當(dāng)下列條件成立

條件中不等式同時(shí)成立時(shí)，矩陣的特征根實(shí)部均為負(fù)數(shù)，否則，若是有1 個(gè)不等式不成立，則平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，可能發(fā)生分岔。

3 局部分岔分析

下面討論系統(tǒng)在原點(diǎn)附近受參數(shù)（δ1，δ2）擾動(dòng)后的動(dòng)力學(xué)行為，分析特征根為1 個(gè)零和1 對(duì)純虛數(shù)的情況。

選取參數(shù)值如下

此時(shí)，雅可比矩陣的特征值為λ1=0，λ2，3=±3i，λ4=-2，參數(shù)β17，μ 被擾動(dòng)，變換為：β17=-1+δ1，μ=0+δ2，狀態(tài)變量經(jīng)如下變換

式中：Nfi（i=1…4）見(jiàn)附錄。系統(tǒng)在初始平衡點(diǎn)（y1，y2，y3，y4）=（0，0，0，0）處，參數(shù)為零時(shí)Jacobian 矩陣為

接下來(lái)討論式（11）的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性。式（11）的Jacobian 矩陣為

式（11）的平衡點(diǎn)有如下情況：①z=r=0 為初始平衡點(diǎn)；②z2=-δ1/4，r=0 為靜態(tài)分岔解次Hopf 分岔解二次Hopf 分岔解。

以上平衡解的穩(wěn)定性條件由Jacobian 矩陣（12）分析得到，對(duì)于初始平衡解①，δ1＞0，δ2＞0 時(shí)平衡點(diǎn)穩(wěn)定。記其穩(wěn)定邊界即轉(zhuǎn)遷曲線為L(zhǎng)1：δ2＝0（δ1＞0），L2：δ1＝0（δ2＞0）；對(duì)于靜態(tài)分岔解②，δ1＜0 時(shí)解存在，δ1＜0 且δ1/4+δ2＞0 時(shí)解穩(wěn)定，則有穩(wěn)定邊界L2：δ1＝0（δ2＞0），L3：δ1/4+δ2=0（δ2＞0）；對(duì)于一次Hopf 分岔解③，δ2＜0 時(shí)解存在，穩(wěn)定條件為δ2＞0，5δ1＋39δ2＞0，對(duì)比得到此解無(wú)法穩(wěn)定，轉(zhuǎn)遷曲線是L4：5δ1＋39δ2＝0（δ1＞0）；對(duì)于二次Hopf 分岔解④，δ1＋4δ2＜0，5δ1＋39δ2＞0 時(shí)解存在，50δ1+352δ2＞0 時(shí)解穩(wěn)定，得到穩(wěn)定邊界為L(zhǎng)3：δ1/4+δ2=0（δ2＞0），L5：50δ1+352δ2＞0。

由上述分析可知系統(tǒng)平衡解的轉(zhuǎn)遷曲線及穩(wěn)定區(qū)域如圖1 所示，初始平衡解①穩(wěn)定性區(qū)域?yàn)镮，參數(shù)穿過(guò)L2分岔出靜態(tài)分岔解②，解②的穩(wěn)定性區(qū)域?yàn)棰?，參?shù)經(jīng)過(guò)L3時(shí)分岔出二次Hopf 分岔解④，區(qū)域Ⅲ中，解②不再穩(wěn)定，解④穩(wěn)定。

從圖1 的不同區(qū)域選取參數(shù)（δ1，δ2）驗(yàn)證理論分析的結(jié)果。圖2（a）、2（b）、2（c）是不同參數(shù)及不同初始狀態(tài)對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量x1的時(shí)間歷程曲線，圖2（d）是二次Hopf分岔解對(duì)應(yīng)的相軌線在（x1，x2）平面上的投影。首先從平衡解（z，r）＝（0，0）的穩(wěn)定區(qū)域Ⅰ中選?。é?，δ2）=（0.1，0.1），初始狀態(tài)為（x1，x2，x3，x4）=（-0.1，0.1，0.1，0.1），如圖2（a）所示，軌線最終收斂到零點(diǎn)；其次，從靜態(tài)分岔解（z，r）=（－δ1/4，0）的穩(wěn)定區(qū)域Ⅱ中選?。é?，δ2）=（-0.1，0.2），初始條件取為（x1，x2，x3，x4）=（0.1，0.1，-0.1，0.1），由圖2（b）可見(jiàn)軌線收斂到確定的非零解；最后，從二次Hopf 分岔解的穩(wěn)定區(qū)域Ⅲ中選取（δ1，δ2）=（-0.1，0.018），初始條件取為（x1，x2，x3，x4）=（-0.1，0.1，0.1，0.1），由圖2（c）、2（d）可見(jiàn)狀態(tài)變量作穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，相軌線收斂到穩(wěn)定的極限環(huán)。

圖1 系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)（δ1，δ2）的轉(zhuǎn)遷曲線圖

圖2 不同條件下時(shí)間歷程曲線及相軌線

4 結(jié)論

通過(guò)Hurwitz 判據(jù)分析了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性條件。對(duì)于特征值為1 個(gè)零和1 對(duì)純虛根的臨界情況，分析了平衡條件不滿足時(shí)，系統(tǒng)的局部分岔行為。參數(shù)（μ，β17）受擾后，系統(tǒng)可能會(huì)產(chǎn)生4 個(gè)平衡解：①z＝r=0；②z2=-（δ1＋4δ2）。其中第三類存在性與穩(wěn)定性條件沖突，無(wú)法實(shí)際產(chǎn)生，其他3 個(gè)解在相應(yīng)的穩(wěn)定區(qū)域均可產(chǎn)生，數(shù)值分析驗(yàn)證了理論結(jié)果。