基于小波變換的數(shù)字圖像去噪算法

汪太月，戴燕青

(1.湖北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢 430068；2.湖北理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，湖北 黃石 435003)

數(shù)字圖像在數(shù)字化和傳輸過程中常易受到成像設(shè)備與外部環(huán)境的干擾而被噪聲污染，導(dǎo)致圖像質(zhì)量下降、信息失真，從而影響視覺效果，給圖像特征信息提取等操作增加了不少干擾風(fēng)險[1]。 圖像去噪屬于圖像恢復(fù)的范疇，主要通過算法提高圖像的質(zhì)量，解決噪聲對圖像的污染，是圖像壓縮、切割、特征提取和識別的基礎(chǔ)[2]。傳統(tǒng)去噪方法中的均值濾波器和中值濾波器對特定分布的噪聲有較好的去噪效果，但僅考慮了鄰域內(nèi)像素點(diǎn)的灰度值排序信息，忽略了像素點(diǎn)的位置即時序信息，存在模糊邊緣忽略細(xì)節(jié)等缺點(diǎn)[3]。當(dāng)圖像信號與噪聲在高頻區(qū)域重疊時，以傅里葉變換為基礎(chǔ)的頻域去噪算法，存在去除圖像噪聲與保留圖像信息的矛盾[4]。小波變換是基于短時傅里葉變換局部化思想發(fā)展起來的一種新的變換分析方法，具有多尺度的特性，可以將圖像信號分解為多個層次，進(jìn)而逐步細(xì)化，能很好地刻畫信號的奇異性。因此，本文從空間域和頻域?yàn)V波去噪出發(fā)，探究基于小波變換的模極大值去噪及不同閾值去噪算法，并對不同去噪算法進(jìn)行比較，找出不同算法在圖像去噪上的優(yōu)勢與不足，以期為圖像去噪提供一些新思路。

1 傳統(tǒng)濾波器

根據(jù)圖像特征的統(tǒng)計分布以及圖像中噪聲概率分布的不同，去噪算法主要分為空間域去噪和頻域去噪2類[5]。

1.1 空間域圖像去噪

空間域圖像去噪算法比較簡單，大多是直接對含噪圖像像素點(diǎn)的灰度值矩陣進(jìn)行矩陣變換及數(shù)據(jù)運(yùn)算?？臻g域?yàn)V波器分為線性和非線性2類，其中均值濾波屬于線性型濾波器，中值濾波屬于非線性型濾波器。

均值濾波器是一種線性平滑濾波器，采用一個形狀大小可設(shè)的小窗在圖像上移動，通過窗內(nèi)的灰度值計算替換各個像素點(diǎn)的灰度值。若該像素點(diǎn)為噪聲，則將其平滑為鄰域均值，從而達(dá)到去噪的目的[6]。由于圖像的邊緣細(xì)節(jié)等信息與噪聲皆為高頻分量，通常這類像素點(diǎn)的灰度值也會發(fā)生明顯變化，故均值濾波在去噪的同時會因平滑邊緣細(xì)節(jié)等信息而模糊圖像。均值濾波器的窗口越大，去噪圖像的方差越小，但窗口越大，圖像越模糊。1幅含噪圖像f(x,y)的大小為N×N，去噪后圖像g(x,y)在像素點(diǎn)(x,y)上的灰度值為：

(1)

式(1)中，M為(x,y)鄰域像素點(diǎn)總數(shù)；σ為鄰域內(nèi)像素點(diǎn)集合；x,y=0,1,2,…,N-1。

中值濾波與均值濾波類似，也是通過濾除高頻分量實(shí)現(xiàn)去噪，是根據(jù)某個像素點(diǎn)一定大小鄰域內(nèi)所有像素點(diǎn)灰度值序列的中值來代替其灰度值[7]，即用1個小窗在圖像上移動，小窗中心位置的灰度值用窗口內(nèi)所有像素點(diǎn)灰度值的中值替代。中值濾波前后圖像的每個像素點(diǎn)灰度值關(guān)系為：

(2)

式(2)中，med為1組數(shù)值的中值函數(shù)。這組數(shù)據(jù)按從大到小或從小到大排序，數(shù)據(jù)量為奇數(shù)時，結(jié)果為最中間的值；當(dāng)數(shù)據(jù)量為偶數(shù)時，結(jié)果為最中間2個值的平均值。

2種方法對圖像去噪處理的效果都與窗口的大小形狀有關(guān)，窗口越大，圖像越模糊，但窗口過小不利于去噪。因此，本文采用3×3的方形小窗，對加入均值為0、方差為0.02的高斯噪聲Lena圖像分別采用均值濾波和中值濾波去噪。原始圖像和含噪圖像如圖1所示，2種空間域圖像去噪效果如圖2所示。

(a) 原始圖像 (b) 含噪圖像

(a) 均值濾波 (b) 中值濾波

由圖2可以看出，均值濾波對統(tǒng)計特性簡單的高斯噪聲去噪效果好，但不可避免地會模糊圖像，在視覺效果上表現(xiàn)為清晰度不夠，特別是邊緣以及細(xì)節(jié)處模糊更為嚴(yán)重。中值濾波比均值濾波的去噪效果要差得多，雖然其在一定程度上克服了線性濾波器所帶來的圖像模糊問題，但對于點(diǎn)、線、尖等細(xì)節(jié)多的圖像處理效果并不理想，且去噪圖像仍存在不少白點(diǎn)(即噪聲)。因此，2種去噪方法都不能很好地兼顧圖像信息。

1.2 頻域圖像去噪

頻域去噪是對含噪圖像施以傅里葉變換、余弦變換或小波變換等，將空間域信號變換為頻域信號，然后對變換系數(shù)做一定的處理，再經(jīng)反變換，以達(dá)到去除噪聲的目的。一般圖像的噪聲處于高頻部分，通過低通濾波器濾除高頻分量的噪聲信息，從而得到去噪后的圖像信息。由于圖像變換并不能將圖像高頻信息與噪聲帶來的高頻干擾區(qū)分開，故眾多基于變換域的去噪方法會丟失圖像的特征信息，尤其是對于突變信號多的圖像，極易產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象[8]。

理想低通濾波器是對數(shù)字圖像進(jìn)行二維離散傅里葉變換，圖像的邊緣細(xì)節(jié)以及噪聲位于高頻部分，圖像緩慢變化背景等位于低頻部分，低通濾波器能截斷高頻分量，從而抑制或消除圖像的噪聲，平滑圖像，變換公式為：

G(u,v)=H(u,v)F(u,v)

(3)

式(3)中，G(u,v)為去噪后圖像的傅里葉變換；H(u,v)為低通濾波器的傳遞函數(shù)；F(u,v)為去噪前圖像的傅里葉變換。

理想低通濾波器在理論上能夠完全去除經(jīng)傅里葉變換后圖像中高于截止頻率的信號，且使低于截止頻率的信號無阻礙地通過，其傳遞函數(shù)為：

(4)

由式(4)可以看出，傳遞函數(shù)在截斷頻率處發(fā)生從1到0的突變，會導(dǎo)致去噪后圖像模糊，且有振鈴現(xiàn)象。換句話說，把傳遞函數(shù)H(u,v)復(fù)制到F(u,v)對應(yīng)的位置，會使H(u,v)中原來清晰的點(diǎn)被模糊，使復(fù)雜的圖像產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象。

巴特沃斯低通濾波器又被稱為最大平坦濾波器，其圖像信號的頻率在截斷頻域上并沒有明顯的不連續(xù)界限，保留了更多的高頻分量，因此可以緩解理想低通濾波器造成的圖像邊緣模糊。n階巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)為：

(5)

由此可見，隨著巴特沃斯濾波器階數(shù)的增長，振鈴現(xiàn)象也會增強(qiáng)。在對理想低通濾波器和巴特沃斯低通濾波器進(jìn)行仿真時，截斷頻率過大，噪聲去除不明顯，截斷頻率過小，噪聲去除有效，但會使圖像模糊。經(jīng)過仿真比較，理想低通濾波器的截斷頻率D0=80，巴特沃斯低通濾波器的截斷頻率D0=150。2種頻域圖像去噪效果如圖3所示。

(a) 理想低通濾波器 (b) 巴特沃斯低通濾波器

2 小波去噪方法

小波變換是基于短時傅里葉變換的局部化思想發(fā)展起來的多尺度分析方法，同時具有時間-頻域分析的特點(diǎn)，是圖像處理的顯微鏡，其多分辨率的特性可將圖像信息一層層分解剝離，對信號具有自適應(yīng)性，變換公式為：

(6)

式(6)中，f(t)為原始信號；Ψ(x)為小波變換核函數(shù)；α和τ分別為尺度因子與時空位置信息的平移因子，分別控制小波函數(shù)的伸縮與平移，能更有針對性地進(jìn)行圖像去噪。

傅里葉變換的核函數(shù)是固定不變的虛指數(shù)函數(shù)，而小波變換的核函數(shù)可為任意的小波函數(shù)，體現(xiàn)了小波變換圖像去噪的靈活性。小波去噪得到較好的去噪效果的關(guān)鍵在于對小波變換后所產(chǎn)生的小波系數(shù)進(jìn)行處理。因此，本文基于小波變換模極大值去噪以及多種閾值去噪等算法進(jìn)行探究。

2.1 小波模極大值去噪

含噪圖像經(jīng)小波變換后，所產(chǎn)生的圖像信息和噪聲對應(yīng)的小波系數(shù)的模極大值在不同尺度上呈現(xiàn)不同的變化趨勢。小波模極大值去噪算法的基本步驟如下：①采用haar小波基將圖像進(jìn)行多尺度的小波分解，得到一系列在不同尺度上的高頻、低頻分量的小波系數(shù)；②求出各分解尺度上小波系數(shù)對應(yīng)的模極大值點(diǎn)；③在最大分解尺度J上選取一個合適的閾值，若小波系數(shù)中的模極大值點(diǎn)所對應(yīng)的幅值的絕對值高于閾值，則將其作為圖像信號被保留；若低于閾值，則將其作為噪聲信號去除；④在分解尺度J-1(J=J，J-1,…,2,1)上，找到尺度為J上小波系數(shù)的模極大值點(diǎn)對應(yīng)的傳播點(diǎn)，去除由噪聲引起的模極大值點(diǎn)，逐級搜索，直到J=2為止；⑤對于分解尺度J=1，在尺度J=2的模極大值點(diǎn)的位置上保留極值，其他位置的模極值點(diǎn)改為0；⑥根據(jù)各尺度保留的模極大值及其位置，對信號進(jìn)行重構(gòu)，得到去噪后的圖像。小波變換模極大值去噪效果如圖4所示。

圖4 小波變換模極大值去噪效果

2.2 小波閾值去噪算法

小波變換具有多分辨率的特點(diǎn)，能由粗到細(xì)地逐步觀察信號，具有很好的時頻窗口特性，因而基于小波變換的閾值去噪具有很大的優(yōu)勢。其實(shí)現(xiàn)過程為：首先，選取合適的小波基和分解層數(shù)J對含噪圖像進(jìn)行小波分解，得到相應(yīng)的小波分解系數(shù)；然后，對于分解尺度J(1,2,…，J-1,J)，選取一個合適的閾值或閾值函數(shù)對高頻系數(shù)進(jìn)行閾值量化，得到估計小波系數(shù)；最后，根據(jù)小波分解的第J層低頻系數(shù)以及各層閾值量化后的高頻系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，得到去噪后的圖像。

不同的閾值或閾值函數(shù)代表著對含噪圖像不同的處理策略。閾值的選取直接影響去噪效果，若閾值太小，則易將噪聲保留下來；反之，則會將圖像的重要特征信息過濾掉。選取2種不同類型的閾值分別運(yùn)用軟、硬閾值函數(shù)去噪，比較在不同閾值下的圖像去噪效果。

Donoho小波閾值方法采用的是全局統(tǒng)一閾值，即在小波分解的各層采用相同的閾值[9]，公式為：

(7)

式(7)中，σ為噪聲的標(biāo)準(zhǔn)方差；N為圖像長度。

閾值在各層上都相同的特性會使原始小波系數(shù)產(chǎn)生過扼殺現(xiàn)象，即在去除噪聲產(chǎn)生小波系數(shù)的同時會去除圖像信息。Birge-Massart策略是根據(jù)局部區(qū)域的特性，判斷區(qū)域內(nèi)小波系數(shù)是由噪聲產(chǎn)生的還是由圖像信息產(chǎn)生的，并以此來確定閾值[10]。閾值通過以下規(guī)則給出：假定一個圖像小波分解層數(shù)為j，保留j層以上所有的高層系數(shù)，對于第i層(l≤i≤j)保留絕對值最大的ni個系數(shù)，其中ni=M(j+2-i)α，M和α為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，起到調(diào)節(jié)選取系數(shù)個數(shù)的作用，取α=3，而M以ni不超過本層系數(shù)的一半為宜。

2.2.1軟、硬閾值去噪

硬閾值函數(shù)定義為：

(8)

軟閾值函數(shù)定義為：

(9)

由公式(8)可知，圖像經(jīng)小波變換后產(chǎn)生的小波分解系數(shù)的絕對值大于或等于閾值時，系數(shù)保持不變，若小于閾值則置為0。圖像經(jīng)硬閾值函數(shù)處理后明顯不是連續(xù)的，局部抖動現(xiàn)象嚴(yán)重。由公式(9)可知，若小波系數(shù)的絕對值不小于閾值，則將大于閾值的小波系數(shù)收縮為原始小波系數(shù)的絕對值與閾值的差值，小于閾值相反數(shù)的小波系數(shù)收縮為原始小波系數(shù)的絕對值與閾值之和；若小波系數(shù)的絕對值小于閾值，則將小波系數(shù)置為0。軟閾值函數(shù)克服了硬閾值不連續(xù)的缺點(diǎn)，但是軟閾值函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不連續(xù)，會影響去噪后重構(gòu)圖像與真實(shí)圖像的逼近程度。

軟、硬Donoho全局閾值去噪效果如圖5所示，軟、硬Birge-Massart局部閾值去噪效果如圖6所示。由圖5可知，Donoho全局閾值上軟、硬閾值去噪法均能取得不錯的效果，但因白噪聲具有負(fù)的奇異性，其幅值和稠密度隨分解尺度增加而減少，圖像信號隨尺度增加而增加。因此，在每級尺度上都采用同一閾值顯然不合適。而Birge-Massart值是一種局部自適應(yīng)閾值，可以根據(jù)當(dāng)前小波系數(shù)相鄰的局部信息來確定閾值。

(a) 軟閾值去噪 (b) 硬閾值去噪

(a) 軟閾值去噪 (b) 硬閾值去噪

2.2.2半軟閾值去噪

在軟閾值去噪中，由軟閾值函數(shù)生成的估計小波系數(shù)與小波系數(shù)之間的恒定偏差會直接影響重構(gòu)圖像與原始圖像之間的逼近程度，去噪結(jié)果相對平滑，易造成圖像失真。在硬閾值去噪中，硬閾值函數(shù)將選取閾值作為圖像和噪聲的分界線，小于閾值的小波分解系數(shù)置0，大于閾值的小波系數(shù)直接保留，即保留圖像的大部分細(xì)節(jié)，圖像的峰值信噪比較高，給圖像的處理帶來了很大的便利，但實(shí)際上大于閾值的小波系數(shù)中也存在噪聲所對應(yīng)的小波系數(shù)，加上小波系數(shù)在閾值處缺乏連續(xù)性易使小波系數(shù)產(chǎn)生附加振蕩，進(jìn)而導(dǎo)致重構(gòu)圖像出現(xiàn)Pseudo-Gibbs等視覺失真[11]。在兼顧兩者的基礎(chǔ)上建立半軟閾值去噪，其函數(shù)為：

(10)

式(10)中，λ1和λ2為選取的雙閾值。

半軟閾值函數(shù)可以看作是軟、硬閾值函數(shù)的改進(jìn)，當(dāng)λ1=λ2時，半軟閾值函數(shù)將退化為硬閾值函數(shù)；當(dāng)λ2→∞，則退化為軟閾值函數(shù)。本文中半軟閾值函數(shù)采用全局通用閾值，且λ1=0.5λ2。

半軟閾值函數(shù)克服了硬閾值函數(shù)不連續(xù)使估計小波系數(shù)發(fā)生振蕩跳躍的缺點(diǎn)，又改進(jìn)了軟閾值函數(shù)中去噪過度平滑的問題，能夠在去除噪聲提高峰值信噪比的同時使圖像不像軟閾值去噪平滑模糊。半軟閾值去噪效果如圖7所示。

圖7 半軟閾值去噪效果

3 算法評價

為了評價算法的去噪效果，采用峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio, PSNR)作為圖像評價指標(biāo)，它是基于相似圖像所對應(yīng)的像素點(diǎn)間的誤差的圖像質(zhì)量評價[12]，公式為：

(11)

均方誤差(Mean Square Error,MSE)估計是原始圖像與處理圖像之間的相差程度[12]。均方誤差值越大，說明真實(shí)圖像與去噪圖像差別越大，去噪效果也就越差；均方誤差值越小，說明真實(shí)圖像與去噪圖像差別越小，去噪效果也就越理想。均方誤差估計定義為：

(12)

式(12)中，A(i,j)，B(i,j)分別為圖像A，B像素點(diǎn)的灰度值。

去噪圖像的峰值信噪比及均方誤差見表1。從表1可以看出，小波變換去噪的整體效果優(yōu)于傳統(tǒng)濾波器，其中半軟閾值去噪在消除噪聲上的表現(xiàn)最好，其次是均值濾波。但圖像經(jīng)過均值濾波易因損失細(xì)節(jié)而模糊，且在不同噪聲的圖像上局限較大。理想低通濾波器在去除噪聲的同時也模糊了邊緣細(xì)節(jié)，會出現(xiàn)較嚴(yán)重的振鈴現(xiàn)象。巴特沃斯低通濾波器雖然緩解了理想低通濾波器的模糊缺陷，但也存在振鈴現(xiàn)象。中值濾波的去噪效果明顯差于其他的去噪方法。

表1 去噪圖像的峰值信噪比及均方誤差

在小波去噪算法中，小波模極大值去噪雖然去噪效果不錯，但計算量大，而小波閾值圖像去噪效果較為理想。3種閾值函數(shù)所對應(yīng)的去噪方法中，半軟閾值去噪不但改進(jìn)了軟閾值去噪中圖像失真過于平滑的問題，也沒有硬閾值去噪因像素點(diǎn)不連續(xù)而導(dǎo)致的圖像震蕩的缺點(diǎn)，峰值信噪比最大，均方誤差值最小，去噪效果最好。2種不同閾值在軟、硬閾值去噪的應(yīng)用之中，采用Birge-Massart策略閾值的硬閾值去噪比采用全局閾值的硬閾值去噪效果好，但是效果不是很明顯，主要因?yàn)橛查撝岛瘮?shù)在小波域上連續(xù)性不好，在重建小波系數(shù)時易產(chǎn)生震蕩等附加效應(yīng)，從而使得峰值信噪比降低，造成視覺失真。采用Birge-Massart策略閾值的軟閾值去噪效果要優(yōu)于采用全局閾值的軟閾值去噪，但因軟閾值函數(shù)在小波域上導(dǎo)函數(shù)的不連續(xù)，仍避免不了圖像平滑的問題。相比不同閾值算法，軟閾值圖像去噪的效果都要優(yōu)于硬閾值去噪?？傮w而言，半軟閾值算法繼承了軟、硬閾值算法的優(yōu)點(diǎn)，同時也克服了各自的缺點(diǎn)，去噪效果居于首位。

4 結(jié)束語

對噪聲污染的圖像進(jìn)行了不同算法的仿真去噪實(shí)驗(yàn)，得到了視覺及定量量化的結(jié)果?；谛〔ㄗ儞Q的不同閾值以及閾值函數(shù)的去噪算法可根據(jù)不同的噪聲分布選擇合適的小波基和分解層數(shù)，能在兼顧去噪效果的同時保留圖像細(xì)節(jié)信息，體現(xiàn)了去噪的靈活性。同時，在研究軟、硬閾值算法的基礎(chǔ)上通過半軟閾值算法進(jìn)一步改善了去噪效果。