佘梟雄,黃 剛,劉熹微,易偉松*

(1.華中農(nóng)業(yè)大學(xué) 資源與環(huán)境學(xué)院，湖北 武漢 430070；2.武漢科技大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢 430080；3.華中農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢 430070)

磁現(xiàn)象普遍存在，地球、磁鐵、載流線圈都能夠產(chǎn)生磁場，載流亥姆霍茲線圈(Helmholtz Coils)常用于產(chǎn)生勻強(qiáng)磁場，在科學(xué)研究和工業(yè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。亥姆霍茲線圈是兩個(gè)完全相同、彼此平行的共軸圓形線圈，且線圈間距等于線圈半徑，當(dāng)兩個(gè)線圈通以串聯(lián)電流時(shí)，兩線圈中間區(qū)域近似為勻強(qiáng)磁場。研究亥姆赫茲線圈磁場分布是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)重要內(nèi)容，該實(shí)驗(yàn)有助于加深學(xué)生對磁場產(chǎn)生、疊加等電磁學(xué)知識(shí)的理解。載流亥姆赫茲線圈磁場測量方法主要有“電磁感應(yīng)法”和“霍爾效應(yīng)法”，前者成本較低但是測量誤差較大，后者精度較高但儀器成本較高[1]，因此，有必要研究低成本高精度亥姆赫茲線圈磁場測量方法。

近年來，隨著經(jīng)濟(jì)發(fā)展和科技進(jìn)步，智能手機(jī)可用性和功能性不斷增加，普及率也不斷上升，智能手機(jī)作為新興測量工具開始應(yīng)用于物理實(shí)驗(yàn)和教學(xué)，促進(jìn)了“智能手機(jī)物理學(xué)(smartphone physics)”的發(fā)展[2]。目前，智能手機(jī)內(nèi)置磁力計(jì)(magnetometer)測量精度能夠達(dá)到微特斯拉(ωT)，使得利用智能手機(jī)磁力計(jì)方便準(zhǔn)確測量磁場成為可能。利用智能手機(jī)磁力計(jì)，張霆等觀測了地球磁場[3]，林奕暉等研究了彈簧勁度系數(shù)與重力加速度[4]，Arribas等探索了小磁鐵磁場與距離關(guān)系[5]。利用類似的方法，Septianto等[6]和Monteiro等[2]分別研究了單個(gè)載流圓形線圈中心軸向磁場分布情況；Shakur等[7]和劉煒等[1]分別研究了載流亥姆赫茲線圈中心軸向磁場分布情況，這些實(shí)驗(yàn)結(jié)果都驗(yàn)證了畢奧-薩伐爾定律(Biot-Savart law)及磁場疊加原理。上述研究表明利用智能手機(jī)磁力計(jì)可以定量測量磁場，載流亥姆霍茲線圈中心軸線近似為勻強(qiáng)磁場。本文將探索利用智能手機(jī)磁力計(jì)定量測量載流亥姆霍茲線圈中心徑向磁場，探索載流亥姆霍茲線圈三維空間磁場分布情況及勻強(qiáng)磁場范圍。

1 實(shí)驗(yàn)方法

1.1 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

利用智能手機(jī)定量測量載流亥姆霍茲線圈中心軸向、中心徑向磁場，研究亥姆霍茲線圈中間三維空間磁場分布，并將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算值進(jìn)行比較，評(píng)價(jià)測量效果。

1.2 實(shí)驗(yàn)儀器

亥姆霍茲線圈(平均半徑R=100 mm，間距d=100 mm，線圈匝數(shù)N=250)，可調(diào)直流電源，變阻箱，開關(guān)，小磁球、坐標(biāo)紙，內(nèi)置磁力計(jì)智能手機(jī)及實(shí)驗(yàn)平臺(tái)(可以左右和上下移動(dòng)，精度為毫米)(圖1)。

a 正視圖

1.3 實(shí)驗(yàn)步驟

(1)智能手機(jī)內(nèi)置磁力計(jì)，免費(fèi)下載最新版物理實(shí)驗(yàn)移動(dòng)應(yīng)用程序Phyphox 1.1.9(Physical Phone Experiments簡稱)。

(2)利用小磁球確定智能手機(jī)磁力計(jì)具體位置，以及手機(jī)磁力計(jì)x、y、z軸方向，并做好標(biāo)記[6]。

(3)將智能手機(jī)隨實(shí)驗(yàn)平臺(tái)置于亥姆霍茲線圈中間，使得手機(jī)長邊與軸向平行；啟動(dòng)phyphox軟件，選擇“磁力計(jì)”菜單，測量不通電流時(shí)地球磁場，同時(shí)調(diào)整線圈和手機(jī)軸向方向，使得磁力計(jì)y 軸讀數(shù)為零，即消除地球磁場影響。

(4)將亥姆霍茲線圈串聯(lián)，并輸入電流I=100 mA，智能手機(jī)以10 mm為步進(jìn)，沿亥姆霍茲線圈中心軸向(y軸)，中心徑向(z軸)兩個(gè)方向移動(dòng)，磁力計(jì)y軸讀數(shù)即為該點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度。

(5)依據(jù)畢奧—薩伐爾定律，將亥姆霍茲線圈參數(shù)和電流值輸入，利用Mathematica軟件計(jì)算亥姆霍茲線圈中心軸向和中心徑向磁場理論值，并將理論值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

2.1 智能手機(jī)磁力計(jì)坐標(biāo)及三軸定位

實(shí)驗(yàn)用智能手機(jī)為蘋果iPhone 6plus，內(nèi)置磁力計(jì)位于手機(jī)左上角區(qū)域，距離上端15 mm，距離左邊18 mm，如圖2紅色十字叉所示；手機(jī)短邊為內(nèi)置磁力計(jì)x軸，長邊為磁力計(jì)y軸，磁力計(jì)z軸垂直于手機(jī)屏幕。不同手機(jī)品牌及型號(hào)，磁力計(jì)位置一般不同，需要具體確定。沒有電流輸入時(shí)，利用磁力計(jì)測量地球磁場，同時(shí)調(diào)整線圈和手機(jī)軸向方向，使得y軸磁場為0(0±1μT)(圖3)，即消除地球磁場影響。

圖2 智能手機(jī)磁力計(jì)坐標(biāo)及位置

圖3 智能手機(jī)磁力計(jì)y軸調(diào)零

2.2 亥姆霍茲線圈中心軸線磁場分布

亥姆霍茲線圈中心軸線方向(即為y軸)，測量范圍(-50 mm～+50 mm)，步進(jìn)10 mm，測得磁場分布情況(圖4)。從曲線形狀來看，中間略高，兩端稍低，整體上呈近似直線。軸向上從-50 mm至+50 mm，各個(gè)測量點(diǎn)相對于中心點(diǎn)磁場變化率分別為6.7%、4%、2.2%、0.8%、0、0、0、1.3%、2.2%、3.1%、6.2%。

圖4 亥姆霍茲線圈軸向(y軸)磁場分布

2.3 亥姆霍茲線圈中心徑向磁場分布

亥姆霍茲線圈軸向中點(diǎn)處(y=0 mm)，沿線圈徑向(豎直方向?yàn)閦軸)磁場分布情況(圖5)，測量范圍(-50 mm～+50 mm)，步進(jìn)10 mm。

圖5 線圈中點(diǎn)處沿徑向(z軸)磁場分布

由于智能手機(jī)本身體積限制，內(nèi)置磁力計(jì)無法達(dá)到線圈邊緣處。從曲線形狀來看，基本呈現(xiàn)水平狀態(tài)。徑向從-50 mm至+50 mm，各個(gè)測量點(diǎn)相對于中心點(diǎn)磁場變化率分別為0.9%、0.4%、0.4%、0、0、0、0、0、0.4%、0.9%、1.3%。

2.4 亥姆霍茲線圈磁場分布理論計(jì)算

理論上，亥姆霍茲線圈中間區(qū)域任意一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度可由畢奧—薩伐爾定律計(jì)算得出。亥姆霍茲線圈中間區(qū)域任意一點(diǎn)磁場較為復(fù)雜，但是中心軸向(y軸)和中心徑向(z軸或x軸)磁場分布則相對容易，磁場方向均沿y軸。

中心軸向

(1)

中心徑向(z軸)

(2)[8]

表1 亥姆霍茲線圈軸向及徑向磁場理論值與實(shí)驗(yàn)值比較

3 分析討論

3.1 亥姆霍茲線圈磁場測量

將實(shí)驗(yàn)值與Mathematica計(jì)算亥姆霍茲線圈中心軸向和中心徑向磁場理論值進(jìn)行比較，中心軸向百分偏差處于0.1%～3.2%之間，中心徑向百分偏差處于0.1%～4.5%之間，誤差在可接受范圍。關(guān)于亥姆霍茲線圈中心點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)測得中點(diǎn)處軸向By=0,x=0,z=0=225μT，與理論計(jì)算值為224.8μT，該點(diǎn)百分偏差為0.1%，測量精度較高。

3.2 亥姆霍茲線圈均勻磁場區(qū)域

從測量數(shù)據(jù)和Mathematica計(jì)算值來看，亥姆霍茲線圈中心軸向和中心徑向，及三維空間存在一個(gè)較大的均勻磁場區(qū)域。若以變化率小于1%作為均勻磁場標(biāo)準(zhǔn)，則軸向-20mm～+20mm，約占亥姆霍茲線圈軸向長度0.4d；徑向-40mm～+40mm，約占亥姆霍茲線圈半徑長度2×0.4R，該區(qū)域?yàn)槔硐刖鶆虼艌?。與用Mathematica理論計(jì)算的均勻磁場范圍(軸向和徑向都是-0.3R～+0.3R)基本一致[9]。倘若提高變化率小于0.5%，則均勻磁場范圍將縮小到z=±0.25R，y=±0.26R[8]。在較遠(yuǎn)區(qū)域z>0.5R或z<-0.5R，磁場變化顯著增加，不能近似為勻強(qiáng)磁場[9]。

3.3 利用智能手機(jī)研究亥姆霍茲線圈磁場分布

上述結(jié)果表明利用智能手機(jī)磁力計(jì)，結(jié)合免費(fèi)物理實(shí)驗(yàn)移動(dòng)應(yīng)用程序，能夠定量測量載流亥姆霍茲線圈中心軸向和中心徑向磁場，實(shí)現(xiàn)了二維空間磁場測量。盡管徑向僅測量了z軸一個(gè)維度的磁場，考慮到亥姆霍茲線圈關(guān)于中心軸向?qū)ΨQ，因此中心徑向各個(gè)維度磁場分布相同，等同于實(shí)現(xiàn)了亥姆霍茲線圈三維空間磁場測量。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和結(jié)論比只測量亥姆霍茲線圈中心軸向磁場更加豐富和實(shí)用[1,2,7]。采用上述方法還可以研究其他各點(diǎn)磁場分布情況，限于篇幅本文不討論該問題，理論計(jì)算結(jié)果可以參考文獻(xiàn)[8-9]。

4 結(jié) 語

文章利用智能手機(jī)磁力計(jì)和免費(fèi)物理實(shí)驗(yàn)應(yīng)用程序(phyphox)，研究了亥姆霍茲線圈中心軸向、中心徑向以及三維區(qū)域磁場分布情況，測量值與理論計(jì)算值比較吻合，研究結(jié)果證實(shí)了該方法具有較高可行性和精度。在傳統(tǒng)大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中引入智能手機(jī)作為新型測量工具，不僅能夠降低實(shí)驗(yàn)成本，同時(shí)還可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)探究欲望[10]。隨著信息技術(shù)快速發(fā)展，智能手機(jī)普及化程度也愈來愈高，智能手機(jī)搭載傳感器越來越多，將極大地拓展智能手機(jī)在物理實(shí)驗(yàn)和教學(xué)中的應(yīng)用領(lǐng)域。