樸實(shí)亦有精華處
——2022年浙江卷第17題解法分析與探究

計(jì)惠方 陸權(quán)烽

(浙江省湖州市濱湖高級(jí)中學(xué))

1 試題展示與定位

背景評(píng)價(jià) 粗看試題樸實(shí)無華,通過試題的解析和深度研究,可以更清晰地感受到試題的深遠(yuǎn)立意和豐富內(nèi)涵.它既傳承了重基礎(chǔ)、重本質(zhì)、貼近中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)際的“浙江風(fēng)格”,又在關(guān)注概念和理解、問題與轉(zhuǎn)化、變化與確定等方面實(shí)施了創(chuàng)新.細(xì)細(xì)品味、深深思考此題可以感受到題目更深刻的價(jià)值和意義.

考查知識(shí) 單位圓、正多邊形、向量運(yùn)算、動(dòng)點(diǎn)問題等.

思想方法 數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸、向量的坐標(biāo)表示等.

考點(diǎn)地位 平面向量是高考填空題中最后一題的?？?是考查熱點(diǎn).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2022年修訂)》中指出要“掌握平面向量加減運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則”“掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則”“會(huì)用坐標(biāo)表示向量的加減運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算”,這說明對(duì)向量運(yùn)算的要求不止為“理解”而是“掌握”.

設(shè)計(jì)意圖 本題以單位圓為基礎(chǔ)搭配正八邊形,在這個(gè)常見的幾何圖形上考查向量的平方和問題,綜合考查學(xué)生化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法的能力.

2 題意闡述與分析

3 解法研究與呈現(xiàn)

3.1 坐標(biāo)法

分析 由于單位圓與正八邊形都是對(duì)稱的幾何圖形,所以可以從建坐標(biāo)系的角度出發(fā)解決本題.

解 以圓心為原點(diǎn),A7A3所在直線為x軸,A5A1所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖1所示,則

圖1

3.2 向量法

圖2

4 題目推廣

圖3

圖4

5 變式練習(xí)

圖5

6 小結(jié)

對(duì)于同一道題目,從不同的視角去觀察,可能會(huì)得到不同的啟發(fā),學(xué)生的思維在不同的角度下與已有的知識(shí)儲(chǔ)備相碰撞,可能會(huì)出現(xiàn)多種解法.一道題目的解法可能有繁有簡(jiǎn),但這對(duì)訓(xùn)練學(xué)生的思維發(fā)散能力是有幫助的.

此題在兩個(gè)簡(jiǎn)單的幾何圖形(單位圓和正八邊形)結(jié)合的基礎(chǔ)上,搭配向量的平方和問題.學(xué)生能從多個(gè)角度出發(fā)思考本題,例如,在涉及圓的問題時(shí),經(jīng)常會(huì)借助圓心解決問題,同時(shí)單位圓以及正八邊形都是對(duì)稱圖形,對(duì)稱圖形又啟示我們可以從坐標(biāo)的角度嘗試解決問題.

學(xué)生在解題時(shí)經(jīng)常感覺難以下手,有時(shí)毫無頭緒,覺得不知道用什么方法,有時(shí)感覺有很多方向但是不知道哪種方法能解決問題.本題提示教師要在平時(shí)的解題教學(xué)中,注重引導(dǎo)學(xué)生從題干線索中找到和已有知識(shí)儲(chǔ)備發(fā)生碰撞的“線頭”,從而抽絲剝繭,解決問題.