王 鋒

(江西省九江市柴桑區(qū)第一中學(xué))

2021年9月14日,江西省頒布《江西省深化普通高考綜合改革實施方案》,明確了我省從2021年秋季入學(xué)的高一年級學(xué)生開始,高考實行“3＋1＋2”模式,即語文、數(shù)學(xué)、外語3科不分文理使用全國卷,而選擇性科目由學(xué)生自主選擇,先在物理和歷史中選擇1科,再從政治、地理、化學(xué)、生物中選擇2科.相比于傳統(tǒng)的文理分科模式,新模式給了學(xué)生更多的選擇空間,讓更多有部分專業(yè)特長的學(xué)生得到了更好的發(fā)展.考慮到學(xué)生的生涯規(guī)劃、思維習(xí)慣以及學(xué)科素養(yǎng)的差異,這些新組合下的班級教學(xué)將面臨全新的挑戰(zhàn).本文站在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的角度,探索數(shù)學(xué)與物理、地理、歷史、政治學(xué)科知識之間如何進行有效融合,從而實現(xiàn)學(xué)生綜合素養(yǎng)的進一步提升.

1 數(shù)學(xué)課堂中融入物理知識的課堂優(yōu)化案例

作為理科學(xué)科的“代表”——物理,其理科特征非常明顯,該學(xué)科與數(shù)學(xué)的聯(lián)系極為緊密.數(shù)學(xué)是研究物理的基礎(chǔ)和工具,一般來說,要想學(xué)好物理,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)非常重要,歷史上不少的物理學(xué)家都是非常出色的數(shù)學(xué)家.高中數(shù)學(xué)北師大2019年版新教材《必修第一冊》第214頁習(xí)題7-4A 組第6題涉及物理中電路的串聯(lián)和并聯(lián)問題,第231頁的實例分析是物理中的運動學(xué)問題;《必修第二冊》第27頁和第66頁習(xí)題1-8A組第2題涉及物理中的簡諧運動問題,第74-107頁的平面向量也是通過物理中的位移、速度、力、功的概念來引入的;《選擇性必修第一冊》第84頁介紹圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì),很好地將物理與數(shù)學(xué)知識融合在一起.

在北師大2019年版新教材《必修第一冊》第229頁實例分析中,以“駕駛摩托車飛躍黃河問題研究”為選題進行分析研究.這是物理中典型的運動學(xué)問題,其模型為“斜拋運動”.設(shè)摩托車的起點與落點的高度差為d,水平飛行距離為s,安全落差為r,沿跑道飛出時的仰角為θ,飛離跑道時的速度為v,將運動過程分解到水平和豎直兩個方向,則

通過數(shù)學(xué)建模,將一個實際問題進行量化分析,對生活現(xiàn)象進行推測和論證,站在科學(xué)的角度完美地詮釋了數(shù)學(xué)和物理的結(jié)合是多么神奇.在高中數(shù)學(xué)課堂中融入物理知識,不僅僅從知識層面相互輔助、相互依托,更是從思維層面相互促進、成就彼此.

2 數(shù)學(xué)課堂中融入地理知識的課堂優(yōu)化案例

地理是一門兼有自然科學(xué)和人文社會科學(xué)性質(zhì)的綜合性學(xué)科.數(shù)學(xué)是一切自然科學(xué)的基礎(chǔ),這決定了地理和數(shù)學(xué)之間必定有著密切的關(guān)系.數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想都廣泛地應(yīng)用于地理教學(xué)之中,在北師大2019年版新教材中有些涉及地理方面的例題和練習(xí),教師在講解時不妨將知識展開,介紹一下相關(guān)的地理知識,拓展一下學(xué)生的視野,這有利于學(xué)生綜合素養(yǎng)的整體提升.

如教材《必修第一冊》第74頁的“問題提出”中,談到了薇甘菊是熱帶、亞熱帶地區(qū)危害最嚴重的雜草之一,它所到之處,樹木枯萎、花草凋零.這里可以將其地理分布進行講解、說明.薇甘菊主要分布于印度、孟加拉國、斯里蘭卡、泰國、菲律賓、馬來西亞、印度尼西亞、巴布亞新幾內(nèi)亞和太平洋諸島嶼、毛里求斯、澳大利亞、中南美洲各國、美國南部,中國廣東、香港、澳門和廣西.薇甘菊的適合生活環(huán)境是年平均氣溫＞1 ℃,平均風(fēng)速＞2m·s-1,有霜日數(shù)＜5d,日最低氣溫≤5 ℃的日數(shù)在10d以內(nèi),寒潮較輕、寒露風(fēng)較輕的地區(qū).因此,在北緯24°以南地區(qū)均可能生存,如我國海南、香港、廣東、廣西、臺灣、福建、湖南、四川、云南、貴州等地的部分地區(qū).

教材《必修第一冊》第178頁的復(fù)習(xí)題六A 組第3題:表1給出了2016年太原市和呼和浩特市的月降水量(單位:mm).

表1

(1)請用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計圖表示上面的數(shù)據(jù);

(2)分別計算太原市和呼和浩特市2016年月降水量的平均數(shù)和標準差.

在此問題中,通常選擇條形統(tǒng)計圖或折線統(tǒng)計圖展示數(shù)據(jù),這在地理教材中經(jīng)常出現(xiàn),而且這樣可以通過對太原市和呼和浩特市2016年月降水量的數(shù)據(jù)分析,讓學(xué)生進一步了解兩地的環(huán)境特征.

太原市的氣候特點是冬季干冷漫長,夏季濕熱多雨,春季升溫急劇,秋季降溫迅速,春秋兩季短暫多風(fēng),干濕季節(jié)分明.太原市由于其地形復(fù)雜多樣,海拔高度差異較大,海洋性氣候?qū)硟?nèi)的影響,形成了北溫帶大陸性氣候.冬無嚴寒、夏無酷暑、四季分明、日照充足,晝夜溫差較大,夏秋降雨集中,冬春干旱多風(fēng).太原市的春季氣溫回升快,光照充足,降水少,蒸發(fā)大,大風(fēng)日數(shù)較多,占全年的40%～60%;夏季氣溫高、濕度大,降水集中,7月和8月是一年中降水最集中的兩個月,這兩個月的降水占全年降水的60%左右;秋季氣溫下降快,多晴朗天氣;冬季寒冷干燥、晴朗大風(fēng)天氣較多,1月是全年的最冷月,降水也很少,僅占全年總降水量的3%左右.當(dāng)然數(shù)據(jù)中2016年7月份的降水量異常突出,據(jù)統(tǒng)計,這是太原市的歷史最大月降水量.

呼和浩特市屬半干濕的中溫帶季風(fēng)氣候,具有降水量少而不均、寒暑變化劇烈的顯著特點.冬季漫長而寒冷,其中1月最冷,晝夜溫差極大,夜里比白天溫度要低20 ℃,所以即使夏季去呼和浩特市也要帶長袖衣服.因為冬春季降水較少,夏季降水較集中,月降水量從1月～7月逐漸增加,7月以后逐漸減少,所以經(jīng)常發(fā)生春旱的災(zāi)害.

《必修第二冊》第一章引言部分,在介紹周期現(xiàn)象時,談及“地球圍繞太陽轉(zhuǎn)動引起的四季交替,地球自轉(zhuǎn)引起的晝夜循環(huán)”這些現(xiàn)象;第117 頁的例12 和124頁的習(xí)題2-6,B組第3,4題都涉及地理中的方位問題.《選擇性必修第一冊》第54頁的例6,介紹了人造衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動的橢圓軌道的焦點與近地點、遠地點與地心共線.《選擇性必修第二冊》第一章引言部分,通過對天王星的發(fā)現(xiàn)歷程展示了數(shù)學(xué)在天文學(xué)中的應(yīng)用.這些地理現(xiàn)象在數(shù)學(xué)教材中的頻繁出現(xiàn),是新教材對培養(yǎng)學(xué)生綜合素養(yǎng)及能力的充分體現(xiàn).

3 數(shù)學(xué)課堂中融入歷史知識的課堂優(yōu)化案例

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(實驗版)》中指出:“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分,數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢、數(shù)學(xué)對推動社會發(fā)展的作用、數(shù)學(xué)的社會需求、社會發(fā)展對數(shù)學(xué)發(fā)展的推動作用、數(shù)學(xué)科學(xué)的思維體系、數(shù)學(xué)的美學(xué)價值、數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神,高中數(shù)學(xué)課程提倡體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值,并在適當(dāng)?shù)膬?nèi)容中提出對‘?dāng)?shù)學(xué)文化’的學(xué)習(xí)要求,設(shè)立‘?dāng)?shù)學(xué)史選講’等專題.”數(shù)學(xué)史對激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生的品格和理性思維,熏陶學(xué)生的文化素養(yǎng)起著至關(guān)重要的作用.高中數(shù)學(xué)北師大2019年版新教材有大量的閱讀材料用來介紹古今數(shù)學(xué)家們的治學(xué)經(jīng)歷和數(shù)學(xué)知識的發(fā)展歷史.如《必修第一冊》第57頁的閱讀材料函數(shù)概念的起源、第99頁對數(shù)的起源、第149頁選舉的預(yù)測、第210 頁布豐投針問題;《必修第二冊》第79頁向量的發(fā)展歷史與符號由來、第183頁數(shù)系的擴充、第248頁幾何學(xué)的發(fā)展;《選擇性必修第一冊》第39頁笛卡爾與解析幾何、第173頁楊輝三角.這些閱讀材料從歷史的重要事件或是數(shù)學(xué)的發(fā)展史展示了數(shù)學(xué)發(fā)展的輝煌歷程.

從數(shù)學(xué)發(fā)展脈絡(luò)來看,大體上可以分為3 個時期:

古代數(shù)學(xué)——希臘的論證數(shù)學(xué)與中國的實用數(shù)學(xué)的起源發(fā)展;

近代數(shù)學(xué)——微積分的發(fā)現(xiàn)、應(yīng)用、嚴密化;

現(xiàn)代數(shù)學(xué)——對數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)的思考.

從具體的數(shù)學(xué)體系主要發(fā)展時期來看,可以細分如下.

(公元前3500—前500)數(shù)學(xué)起源與早期發(fā)展:古埃及數(shù)學(xué)、美索不達米亞(古巴比倫)數(shù)學(xué);

(公元前600—5世紀)古希臘數(shù)學(xué):論證數(shù)學(xué)的發(fā)端、歐式幾何;

(3世紀—14 世紀)中世紀的中國數(shù)學(xué)、印度數(shù)學(xué)、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué):實用數(shù)學(xué)的輝煌;

(12世紀—17世紀)近代數(shù)學(xué)的興起:代數(shù)學(xué)的發(fā)展、解析幾何的誕生;

(14世紀-18世紀)微積分的建立:牛頓與萊布尼茨的微積分建立;

(18世紀—19世紀)分析時代:微積分的各領(lǐng)域應(yīng)用;

(19世紀)代數(shù)的新生:抽象代數(shù)產(chǎn)生(近世代數(shù));幾何學(xué)的變革:非歐幾何;分析的嚴密化:微積分基礎(chǔ)的嚴密化;

20世紀純粹數(shù)學(xué)的趨勢;

21世紀應(yīng)用數(shù)學(xué).

例1 (《教材必修第一冊》第112頁例8)人們早就發(fā)現(xiàn)了放射性物質(zhì)的衰減現(xiàn)象.在考古工作中,常用14C的含量來確定有機物的年代.已知放射性物質(zhì)的衰減服從指數(shù)規(guī)律:C(t)＝C0e-rt,其中t表示衰減的時間,C0表示放射性物質(zhì)的原始質(zhì)量,C(t)表示經(jīng)衰減了t年后剩余的質(zhì)量.

為計算衰減的年代,通常給出該物質(zhì)質(zhì)量衰減一半的時間,稱其為該物質(zhì)的半衰期.14C的半衰期大約是5730年.人們又知道,放射性物質(zhì)的衰減速度與其質(zhì)量成正比.

1950年,在伊拉克發(fā)現(xiàn)一根古巴比倫王國時期刻有漢謨拉比王朝字樣的木炭,當(dāng)時測定,其14C的衰減速度為4.09個/(g·min),而新砍伐樹木燒成的木炭中14C的衰減速度為6.68個/(g·min).請估算出漢謨拉比王朝所在年代.

所以該木炭已衰減了約4055年,即漢謨拉比王朝大約存在于公元前2100年.

漢謨拉比是阿摩利人建立的古巴比倫王國的第六任君主,在一系列戰(zhàn)爭中擊敗鄰國將巴比倫的統(tǒng)治區(qū)域擴展至整個美索不達米亞區(qū)域,從而開創(chuàng)強盛的巴比倫帝國.學(xué)生通過對例1的研究,很好地回顧了這段意義重大的歷史,同時也感受到數(shù)學(xué)在研究歷史問題中所起到的重要作用.

4 數(shù)學(xué)課堂中融入政治知識的課堂優(yōu)化案例

經(jīng)濟思想貫穿于整個高中的政治課程,而具體的經(jīng)濟問題又往往需要借助數(shù)學(xué)方法來解決,因此數(shù)學(xué)課堂上也會涉及政治中的經(jīng)濟問題.在教材《選擇性必修第二冊》第一章第4節(jié)部分,專門介紹數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應(yīng)用,包括存款、貸款、分期付款、保險、資產(chǎn)折扣等問題,其中重點介紹了單利和復(fù)利的計算方法,零存整取模型、定期自動轉(zhuǎn)存模型、分期付款模型.例如,價格變動對生活的影響,當(dāng)某種商品的價格上升時,人們會減少購買;當(dāng)價格下降時,人們又會增加對它的購買.

例2 (《必修第一冊》38頁例5)某農(nóng)家院有客房20間,日常每間客房日租金為80元,每天都客滿.該農(nóng)家院欲提高檔次,并提高租金.經(jīng)市場調(diào)研,每間客房日租金每增加10元,客房出租數(shù)會減少1間,每間客房日租金不得超過130元,要使每天客房的租金總收入不低于1800元,該農(nóng)家院每間客房日租金提高的空間有多大?

解 設(shè)每間客房日租金提高x個10元,即每間客房日租金提高到(80＋10x)元,則客房出租數(shù)減少x(x∈N)間,此時客房的租金總收入為(80＋10x)·(20-x)元.

因為每天客房的租金總收入不低于1800元,所以(80＋10x)(20-x)≥1800,化簡得x2-12x＋20≤0,解得2≤x≤10.

由題意可知,每間客房日租金不得超過130 元,即80＋10x≤130,所以x≤5.因此,x＝2,3,4,5,該農(nóng)家院每間客房日租金提高的空間是20 元,30 元,40元,50元.

對于例題中的“每間客房日租金每增加10元,客房出租數(shù)就會減少1間”的現(xiàn)象,我們可以結(jié)合政治知識解釋該現(xiàn)象產(chǎn)生的原因,以及該現(xiàn)象對生活帶來的影響,既鍛煉了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力,又鞏固和熟悉了政治課程中的經(jīng)濟現(xiàn)象.

除了經(jīng)濟問題外,人口問題也是政治學(xué)中的重要內(nèi)容.在高中數(shù)學(xué)北師大版《必修第一冊》第六章第1節(jié)獲取數(shù)據(jù)的途徑中,課本引用了第六次人口普查的數(shù)據(jù).

性別構(gòu)成:男性人口為686852572 人,占51.27%;女性人口為652872280人,占48.73%.粗算一下,我國男性比女性多3400萬.

人口增長:同第五次全國人口普查的1265825048人相比,十年共增加7389904人,增長率為5.84%,年平均增長率為0.57%.

年齡構(gòu)成:0～14歲人口占16.60%,比第五次全國人口普查下降6.29個百分點;60歲及以上人口占13.26%,比第五次全國人口普查上升2.93 個百分點,其中65歲及以上人口占8.87%,比第五次全國人口普查上升1.91個百分點.

人口的流動:與第五次全國人口普查相比,居住地與戶口登記地所在的鄉(xiāng)鎮(zhèn)街道不一致且離開戶口登記地半年以上的人口增加116995327人,增長81.03%.

各種受教育程度人口:與第五次全國人口普查相比,每10萬人中具有大學(xué)文化程度的由3611人上升為8930人;具有高中文化程度的由11146人上升為14032人;具有初中文化程度的由33961人上升為38788人;具有小學(xué)文化程度的由35701人下降為26779人.

登記誤差:普查登記結(jié)束后,全國統(tǒng)一隨機抽取402個普查小區(qū)進行了事后質(zhì)量抽樣調(diào)查,抽查結(jié)果顯示,人口漏登率為0.12%.

在本節(jié)數(shù)學(xué)課上,我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生分析這些數(shù)據(jù)信息,并針對學(xué)生可能相對較淺薄或者錯誤的理解加以解釋和補充,讓學(xué)生能夠科學(xué)正確地認識數(shù)據(jù)背后蘊含的社會價值和政治意義.

從人口增長數(shù)據(jù)可以看出我國總?cè)丝谌匀槐３衷鲩L狀態(tài),但增長率并不高.近年,日本、意大利、韓國等國家都出現(xiàn)了人口負增長的情況,而且問題持續(xù)惡化.在2006年,英國牛津大學(xué)人口學(xué)教授大衛(wèi)·科爾曼就對韓國人口問題作出預(yù)警,稱韓國或?qū)⒊蔀槿蚴讉€消失的國家.從性別構(gòu)成數(shù)據(jù)可以看出我國依然是男多女少,但總?cè)丝谛詣e比從2000年第五次人口普查的106.74下降為105.20,說明人們重男輕女的傳統(tǒng)思想在逐漸改變,隨著社會的發(fā)展,總?cè)丝谛詣e比定會逐漸下降.從年齡結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)可以看出我國出生率低,老齡化進程逐步加快,我國正在邁入老齡化社會,國家需要健全養(yǎng)老和醫(yī)療健康體系等.從人口流動數(shù)據(jù)可看出我國人戶分離情況普遍,流動人口大量增加,農(nóng)村勞動力加速轉(zhuǎn)移及經(jīng)濟發(fā)展都會促進人口流動.從各種受教育程度人口數(shù)據(jù)來看,我國受教育的人口越來越多,說明我國普及九年義務(wù)教育、大力發(fā)展高等教育措施取得了積極成效.至于漏登率的問題,漏登的原因有很多,如人口流動大,上門登記時不在家,無法獲取其信息;居民的隱私意識增加,入戶調(diào)查更難,甚至有些人不配合調(diào)查;普查時間長,期間很多新出生或者死亡人數(shù)未做登記等.盡管人口普查工作費時、費力,但我們卻不得不做.通過人口普查,能夠了解我國人口在數(shù)量、地區(qū)分布、結(jié)構(gòu)和受教育程度等方面的變化,為科學(xué)制定國民經(jīng)濟和社會發(fā)展規(guī)劃、統(tǒng)籌安排人民的物質(zhì)和文化生活、實現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展戰(zhàn)略、構(gòu)建社會主義和諧社會,提供科學(xué)準確的統(tǒng)計信息支持,如二孩政策到三孩政策的放開,養(yǎng)老和醫(yī)療健康體系的健全,以及“雙減”政策的全面實施等.

在江西省實施新高考模式的背景下,不同學(xué)科間的組合面臨著全新的挑戰(zhàn),作為無論何種組合都必考的數(shù)學(xué)學(xué)科,有著串聯(lián)和推動作用.本文針對選擇歷史、政治、地理或物理、政治、地理科目的情況,進行舉例說明,淺談數(shù)學(xué)課堂中的多學(xué)科融合教學(xué),有不足之處,請批評指正.