特殊到一般 具體到抽象
——以一道幾何探究題為例

何 偉

(上海外國語大學(xué)蘇河灣實驗中學(xué),200071)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來源于解決問題的過程,解題需要的是思維能力和數(shù)學(xué)方法.對探究性問題的深入思考和不斷嘗試,能夠幫助學(xué)生更好地完善知識體系、提升思維能力、徹底理解數(shù)學(xué)思想方法,最終形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和解決問題的核心能力.本文從一道幾何探究題入手,闡述如何在探究過程中,體現(xiàn)由特殊到一般、由具體到抽象的數(shù)學(xué)方法.

一、問題提出

由小正方形組成的長方形的對角線所穿越的小正方形個數(shù)研究:

不難發(fā)現(xiàn),由6×2個小正方形組成的長方形,它的對角線穿過6個小正方形(如圖1).由7×5個小正方形組成的長方形,它的對角線穿過11個小正方形(如圖2).

問題(1)由2022×120個小正方形組成的長方形,它的對角線穿過多少個小正方形?

(2)能否給出由m×n個(其中m,n是正整數(shù))小正方形組成的長方形,它的對角線穿過的小正方形個數(shù)的計算公式,并說明理由.

(3)能否將上述結(jié)論推廣成由m×n×h(其中m,n,h是正整數(shù))個小立方體組成的長方體,它的對角線穿過的小立方體的個數(shù)?

二、問題分析

長方形由m×n個(其中m,n是正整數(shù))小正方形組成，如何來計算它的對角線穿過的小正方形數(shù)量呢?

從特殊情況入手:

1.m=n(如圖3～圖4);

2.gcd(m,n)=1(如圖5～圖6);

3.gcd(m,n)>1(圖7～圖8),其中g(shù)cd(m,n)表示m,n的最大公約數(shù).

對三種情況進(jìn)行研究,可得f(對角線穿過的小正方形數(shù)量)與m,n的關(guān)系(見表1).

表1

由表1，可提出如下猜想:長方形由m×n個(其中m,n是正整數(shù))小正方形組成,它的對角線穿過的小正方形數(shù)量f=m+n-gcd(m,n).

三、結(jié)論驗證

(2)對角線與m+1條豎直線有m+1個交點,與n+1條水平線有n+1個交點,由于對角線的兩個端點被重復(fù)計算,所以對角線與所有格線共有(m+1)+(n+1)-2=m+n個交點,且除去兩端端點外,其余的交點坐標(biāo)(a,b)中有且只有一個數(shù)值為整數(shù),0≤a≤m,0≤b≤n.

(3)這m+n個交點將對角線分為(m+n-1)段,每一小段都與穿越它的小方格一一對應(yīng),所以對角線共穿過了(m+n-1)個小方格,即滿足猜想公式f=m+n-gcd(m,n)，此時gcd(m,n)=1.

綜上所述,長方形由m×n個(其中m,n是正整數(shù))小正方形組成,其對角線穿過的小正方形數(shù)量f=m+n-gcd(m,n),無論m與n的數(shù)量關(guān)系如何均滿足此公式.

四、問題解決

對于問題(1),因為gcd(2022,120)=6,所以由2022×120個小正方形組成的長方形,它的對角線穿過的小正方形數(shù)量f=m+n-gcd(m,n)=2022+120-6=2136.

五、特殊問題一般化、具體問題抽象化

接下來,我們將上述結(jié)論推廣到由m×n×h(其中m,n,h是正整數(shù))個小立方體組成的長方體中,它的對角線穿過的小立方體的個數(shù).

在平面十字坐標(biāo)系中,筆者在解決“由m×n個(其中m,n是正整數(shù))小正方形組成的長方形中,它的對角線穿過的小正方形個數(shù)的計算公式”是通過計算對角線分別與橫格線、豎格線的交點數(shù),來計算對角線的分段數(shù),從而找出所穿越的小方格數(shù)量,得出f=m+n-gcd(m,n)的結(jié)論.

經(jīng)分析,不難發(fā)現(xiàn)公式f=m+n-gcd(m,n)形似容斥原理公式,即對于長方形的對角線每穿越一次縱、橫格線時產(chǎn)生一個交點,其在十字坐標(biāo)系內(nèi)坐標(biāo)為(a,b),0≤a≤m,0≤b≤n,a,b中至少有一個數(shù)值為整數(shù),這些交點將對角線分段,分段數(shù)為f(m∪n)=m+n-m∩n(如圖11).

而在立體三維坐標(biāo)系中,想象由m×n×h(其中,m,n,h是正整數(shù))個小立方體組成的長方體中,體對角線所穿越的將是內(nèi)部小立方體的頂點、棱和面.由前文中的平面體系證明，不難發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論:

2.當(dāng)體對角線穿越內(nèi)部小立方體棱上某點(棱兩端端點除外)的時候,必有棱所交界的兩個方向產(chǎn)生大于1的最大公約數(shù)的整數(shù)倍,即坐標(biāo)(a,b,c)中必有2個數(shù)值為整數(shù),此時體對角線可穿越2個數(shù)值為整數(shù)值的坐標(biāo)點后進(jìn)入一個新小立方體.

3.當(dāng)體對角線穿越內(nèi)部小立方體面上某點(四周棱上點除外)的時候,必有點的坐標(biāo)(a,b,c)中有且只有1個數(shù)值為整數(shù),而且每穿過一個面,就可以到達(dá)一個新的小立方體.

例如,由 9×5×6個小立方體組成的長方體,其三視圖如圖12所示.

因為gcd(9,5,6)=1,所以體對角線沒有直接穿越小立方體頂點;

因為gcd(9,6)=3,所以在m-h構(gòu)成的正視圖中,體對角線在長方體內(nèi)部2次穿越小立方體的棱(不包括兩端端點);

因為gcd(9,5)=1,gcd(5,6)=1,所以在m-n構(gòu)成的俯視圖、n-h構(gòu)成的側(cè)視圖中體對角線無穿越內(nèi)部小立方體棱,均穿越面到達(dá)新的小立方體.

經(jīng)過作圖計數(shù)得到體對角線穿越小立方體數(shù)量是:

9+5+6-gcd(9,6)-gcd(9,5)-gcd(5,6)+gcd(9,5,6)=16(個)

由上分析,可以將問題轉(zhuǎn)化為體對角線在立體坐標(biāo)系中與小立方體面、棱、頂點的所有交點坐標(biāo)(a,b,c),已知0≤a≤m,0≤b≤n，0≤c≤h,至少有一個數(shù)值為整數(shù),即可計入穿越一個新的立方體.

因此,由m×n×h(其中m,n,h是正整數(shù))個小立方體組成的長方體,它的體對角線穿過小立方體個數(shù)F的計數(shù)公式為:

F=m+n+h-gcd(m,n)-gcd(m,h)-gcd(n,h)+gcd(m,n,h).

同樣,上述公式也形似容斥原理公式m+n+h-m∩n-m∩h-n∩h+m∩n∩h.

六、反思

問題(1)中給出具體的行和列的數(shù)字,計算出對角線穿過的正方形,便于上手解決該問題,通過一般化、具體化的問題,找出相同點和不同點,從而推導(dǎo)出公式;問題(2)遞進(jìn)到一般化的m×n個(其中m,n是正整數(shù))小正方形組成的長方形中,它的對角線穿過的小正方形個數(shù)的計算公式,需要找出行列數(shù)互素以及不互素情況下如何用一個公式來表示;問題(3)更進(jìn)一步,從平面上升到立體,需要推導(dǎo)出長方體對角線穿過的正方體個數(shù)的公式.該探究題由具體數(shù)字到抽象字母,從平面圖形到立體圖形的延伸,開闊了學(xué)生的視野，激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.