劉宗寶 LIU Zong-bao；陸廣地② LU Guang-di；趙克勤 ZHAO Ke-qin

（①江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院宿遷經(jīng)貿(mào)分院，沭陽 223600；②江蘇科技大學(xué)計算機(jī)信息與技術(shù)學(xué)院，鎮(zhèn)江 215600；③諸暨市聯(lián)系數(shù)學(xué)研究所，諸暨 311800）

0 引言

系統(tǒng)是客觀存在的，具有普遍性。從系統(tǒng)組成要素的性質(zhì)來看，可以劃分為自然系統(tǒng)和人造系統(tǒng)。自然系統(tǒng)是由自然物組成的，它的特點是自然形成的，如生態(tài)系統(tǒng)、星際系統(tǒng)等；人造系統(tǒng)是人們出于某種目的而制造的系統(tǒng)，如生產(chǎn)系統(tǒng)、交通系統(tǒng)、商業(yè)系統(tǒng)、管理系統(tǒng)等。還有從系統(tǒng)與環(huán)境的聯(lián)系程度來看，可以劃分為封閉系統(tǒng)和開放系統(tǒng)；從系統(tǒng)的狀態(tài)與時間的關(guān)系來看，可以劃分為靜態(tài)系統(tǒng)和動態(tài)系統(tǒng)等等。無論是何種分類的系統(tǒng)，它們都具有以下幾個共同的特征：整體性、層次性、目的性和適應(yīng)性。系統(tǒng)總是在相互合作和不斷演化的過程中呈現(xiàn)的耗散結(jié)構(gòu)。長期以來科技工作者總是嘗試捕捉大千世界的變化過程和演化強(qiáng)度，在變化的過程中把握其中的不變性。我國學(xué)者趙克勤先生1989年創(chuàng)立的集對分析理論為這方面研究提供了新思路；用一個聯(lián)系數(shù)刻畫一個系統(tǒng)中部分要素正常、部分要素異常、部分要素反常的狀態(tài)，簡稱同異反系統(tǒng)。聯(lián)系數(shù)的偏聯(lián)系數(shù)是刻畫這個系統(tǒng)部分要素正常、部分要素異常、部分要素反常這三部分之間相互遞進(jìn)和衰減演化的伴隨函數(shù)，目前已得到廣泛應(yīng)用，如覃杰、趙克勤（2007）將偏聯(lián)系數(shù)應(yīng)用于醫(yī)療質(zhì)量發(fā)展趨勢分析，王傳斌、王繼順（2011）將偏聯(lián)系數(shù)應(yīng)用于對高職教師執(zhí)行力的潛在分析，馬曉燕等人（2012）將偏聯(lián)系數(shù)應(yīng)用于公眾信任度潛在分析，陸廣地等（2015）將偏聯(lián)系數(shù)應(yīng)用于高校評價的排序與聚類分析，晏燕等（2018）把偏聯(lián)系數(shù)用于隱私風(fēng)險態(tài)勢評估，門寶輝（2022）將偏聯(lián)系數(shù)應(yīng)用于地下水開采評估，陳微，趙克勤（2022）將偏聯(lián)系數(shù)應(yīng)用于學(xué)生近視分析，楊紅梅（2019）給出了多元聯(lián)系數(shù)的偏聯(lián)系數(shù)計算方法，于2021年出版專著《偏聯(lián)系數(shù)的哲學(xué)原理與應(yīng)用》等。但三元聯(lián)系數(shù)的一階全偏聯(lián)系數(shù)中含有不確定性示性系數(shù)i和i，如何根據(jù)問題的已知條件客觀地給定i和i的值，直接影響到一階全偏聯(lián)系數(shù)的計算結(jié)果和聯(lián)系數(shù)系統(tǒng)的演化趨勢判定。趙克勤（2005）、楊紅梅（2019、2021）、陸廣地（2022）相繼給出了不同的取值方法。但是最近的研究表明，三元聯(lián)系數(shù)的一階全偏聯(lián)系數(shù)的不確定性示性系數(shù)i和i還存在新的算法，本文給出了這一新算法的原理，進(jìn)而給出了三元聯(lián)系數(shù)的一階全偏聯(lián)系數(shù)計值公式，用實例說明這一新公式的應(yīng)用。

1 三元聯(lián)系數(shù)及其一階全偏聯(lián)系數(shù)計值公式

1.1 三元聯(lián)系數(shù)

三元聯(lián)系數(shù)是集對的一種特征函數(shù)，其一般形式為μ=a+bi+cj，其中a、b、c∈[0，1]，i∈[-1，1]，j=-1，μ∈[-1，1]（1）

由（1）式知，聯(lián)系數(shù)具有以下性質(zhì)。

<性質(zhì)1>系統(tǒng)性。聯(lián)系數(shù)μ包含a，bi，cj3個聯(lián)系分量，且分別處于+1，[-1，1]，-1三個層次，“+”號表示a，bi，cj具有3個層次的空間聯(lián)系，i是b的示性系數(shù)，表明b的取值具有不確定性，j是c的示性系數(shù)，表示c與a具有正負(fù)對立性，在忽略不計i、j的示性系數(shù)意義時，“+”號表示單個聯(lián)系分量與三元聯(lián)系數(shù)整體的聯(lián)系；a，bi，cj分別稱為三元聯(lián)系數(shù)的同部、異部、反部。

<性質(zhì)2>可計算性。從數(shù)學(xué)角度看，式（1）是一種結(jié)構(gòu)函數(shù)，具有可計算的特點：既可以用來表征一個現(xiàn)實系統(tǒng)既有確定性測度a和c，又有不確定性測度bi的狀態(tài)，又可借助適當(dāng)?shù)陌殡S函數(shù)，展示式（1）聯(lián)系數(shù)所示系統(tǒng)狀態(tài)的演化趨勢。

1.2 三元聯(lián)系數(shù)的偏聯(lián)系數(shù)

由文獻(xiàn)[3]知，三元聯(lián)系數(shù)的偏聯(lián)系數(shù)由趙克勤先生于2005年提出，其概念的形成和相應(yīng)的計算規(guī)則主要依據(jù)聯(lián)系數(shù)的上述2條性質(zhì)。具體又分成三元聯(lián)系數(shù)的一階偏正聯(lián)系數(shù)和三元聯(lián)系數(shù)的一階偏負(fù)聯(lián)系數(shù)，以及三元聯(lián)系數(shù)的一階全偏聯(lián)系數(shù)，這些概念用如下3個定義體現(xiàn)。

以上式（4）中，j=-1是式（1）所示三元聯(lián)系數(shù)μ=a+bi+cj在正負(fù)型對立問題中規(guī)定的取值，但i與i如何在i的定義域[-1，1]中取值，則是一個有待于進(jìn)一步具體分析的復(fù)雜問題。

1.3 i與i的取值

趙克勤先生在2022年8月6-10日網(wǎng)絡(luò)在線舉辦的全國集對分析第16次學(xué)術(shù)研討會上提出了（5）式中i與i的一種新算法如下：

原理如下：

把（4）式所示的三元聯(lián)系數(shù)μ=a+bi+cj的一階全偏聯(lián)系數(shù)簡化為具有正極和負(fù)極兩個極性的一個線性系統(tǒng)S＾。

圖1 線性系統(tǒng)的兩種工作狀態(tài)（正常+1與反常－1）表示

圖2 線性系統(tǒng)SAC＾分解成兩個子系統(tǒng)SAB＾和SBC＾的圖示

再把圖2（1）與（1）式相比較，其演化分量的關(guān)系可以用如圖3（1）所示。

圖3 線性系統(tǒng)SAC＾分解成兩個子系統(tǒng)SAB＾和SBC＾的演化分量圖示

根據(jù)量子糾纏、對立互補(bǔ)的思想，系統(tǒng)表面層是從B向A方向運(yùn)動，但其微觀層是伴隨對立狀態(tài)，i起調(diào)節(jié)作用，所以i在微觀上遵從A向B作反向運(yùn)動，按照其運(yùn)動方向的“比例原則”進(jìn)行計算。由圖3（1）可知i應(yīng)該按照上式（5）進(jìn)行計算。

需要指出的是，式（6）中的分子中給出示性系數(shù)（jj=-1），體現(xiàn)了式（6）的絕對值是其演化內(nèi)容包含為反方向時的強(qiáng)度；至于式（5）中的i本來是正向，所以不必要添加表示正方向的示性系數(shù)+1。

把式（5）式（6）代入式（4），得到

2 應(yīng)用舉例

例：為了便于對照，這里引用文獻(xiàn)[7]中的例題，其原始數(shù)據(jù)全部在文獻(xiàn)[14]中，是我國曾經(jīng)的985工程建設(shè)高校中的8所學(xué)生滿意度調(diào)查數(shù)據(jù)處理成標(biāo)準(zhǔn)化的三元聯(lián)系數(shù)之后，再按照本文的公式（2）（3）聯(lián)系數(shù)處理如表1所示。

表1 學(xué)生對8所著名高校本科教育評價滿意度的偏聯(lián)系數(shù)態(tài)勢排序

將表1中聯(lián)系數(shù)中i與i使用本文給出的算法代入算出偏正聯(lián)系數(shù)、偏負(fù)聯(lián)系數(shù)，按照公式（4）求出全偏聯(lián)系數(shù)值，再據(jù)其值進(jìn)行態(tài)勢排序，與文獻(xiàn)[14]進(jìn)行比較，如表2所示。

表2 學(xué)生對8所著名高校本科教育滿意度的偏聯(lián)系數(shù)中i+、i-按本文取值的態(tài)勢排序

從表2可以清楚地反映出，本文對i和i的新方法與文獻(xiàn)[7]的態(tài)勢排序具有內(nèi)在的一致性，差別在于文獻(xiàn)[7]把三元聯(lián)系數(shù)μ=a+bi+cj中的i看成是不確定性聯(lián)系分量b的示性系數(shù)，本文則從三元聯(lián)系數(shù)μ=a+bi+cj整體角度對i取值，殊途同歸，相互證明了兩種取值方法的科學(xué)性。

3 討論與結(jié)論

3.2 結(jié)語 本文給出三元聯(lián)系數(shù)的一階全偏聯(lián)系數(shù)計值公式及其原理，用實例說明其應(yīng)用的有效性。但三元聯(lián)系數(shù)已應(yīng)用到水文水資源、地質(zhì)礦山、交通物流、社會經(jīng)濟(jì)等不同領(lǐng)域，不同領(lǐng)域不同問題中的三元聯(lián)系數(shù)有不同的物理意義，如何根據(jù)不同領(lǐng)域不同實際問題要求計算三元聯(lián)系數(shù)的一階全偏聯(lián)系數(shù)數(shù)值，需要不同領(lǐng)域?qū)＜腋鶕?jù)不同問題要求從不同角度探索，本文提出的的計算公式僅作為一家之言，作為引玉之磚供有關(guān)專家參考。