黃夢(mèng)濤，胡禮芳，張齊波

(西安科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院，陜西 西安710054)

0 引 言

近年來(lái)，新能源汽車(chē)憑借節(jié)能、低排放、經(jīng)濟(jì)等優(yōu)勢(shì)，迅速占據(jù)汽車(chē)市場(chǎng)。鋰離子電池作為新能源汽車(chē)的主要?jiǎng)恿υ矗S著充放電循環(huán)次數(shù)的增加，電池容量會(huì)不同程度的衰退，導(dǎo)致電池使用壽命縮短，電池性能退化。鋰離子電池剩余壽命(remaining useful life，RUL)的精準(zhǔn)預(yù)測(cè)，對(duì)于電池狀態(tài)估計(jì)、預(yù)測(cè)性維護(hù)、自主健康管理具有重大意義，對(duì)保證新能源汽車(chē)安全穩(wěn)定運(yùn)行起到重要作用[1-3]。

目前，主流的鋰離子電池RUL預(yù)測(cè)方法分為2類(lèi)[4-5]。一類(lèi)是基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的預(yù)測(cè)方法[6-7]。使用鋰離子電池全壽命周期的退化實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用機(jī)器學(xué)習(xí)算法運(yùn)算，得出電池的退化狀態(tài)。馬里蘭大學(xué)高級(jí)生命周期工程中心學(xué)者ZHANG等人使用彈性均方反向傳播誤差的方法自適應(yīng)優(yōu)化長(zhǎng)短期記憶遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并使用Dropout技術(shù)解決神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的過(guò)擬合問(wèn)題。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，該方法相對(duì)于傳統(tǒng)的循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(recurrent neural network，RNN)可以更快速、更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)出電池的RUL[8]。徐東輝等提出一種非線性組合預(yù)測(cè)模型，將Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和非線性自回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(nonlinear auto-regressive model with exogenous inputs，NARX)預(yù)測(cè)得到的電池性能退化特征量，用最小二乘支持向量機(jī)和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行非線性組合，預(yù)測(cè)電池的RUL。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，2種方法的預(yù)測(cè)精度均比單一化的Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和NARX神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)精度高[9]。馬里蘭大學(xué)HU等將遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)、相關(guān)向量機(jī)、貝葉斯線性回歸模型等方法進(jìn)行加權(quán)組合，發(fā)現(xiàn)加權(quán)組合的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法預(yù)測(cè)精度高于單一的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)預(yù)測(cè)方法的精度[10]。

另一類(lèi)是基于機(jī)理模型的預(yù)測(cè)方法[11-12]。通過(guò)建立機(jī)理模型來(lái)表征鋰離子電池的容量退化過(guò)程，再使用基于Bayesian估計(jì)的濾波方法精確估計(jì)電池的退化狀態(tài)。同濟(jì)大學(xué)DAI等在Thevenin模型上增加一個(gè)RC回路(極化電阻和極化電容并聯(lián)組成一個(gè)RC回路)組成等效電路模型，在線辨識(shí)模型參數(shù)，完成RUL預(yù)測(cè)[13]。但在近似過(guò)程中，電池內(nèi)部參量之間的一些重要隱含關(guān)系易被忽略，等效電路模型難以完全考慮復(fù)雜的外界條件，模型對(duì)電池的動(dòng)、靜態(tài)特性描述較弱。馬里蘭大學(xué)高級(jí)生命周期工程中心HE等使用大量退化實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，建立雙指數(shù)經(jīng)驗(yàn)容量衰退模型，使用粒子濾波算法辨識(shí)模型參數(shù)，并不斷更新參數(shù)，實(shí)現(xiàn)RUL估計(jì)[14]。美國(guó)國(guó)家航空航天局艾姆斯研究中心的SAHA等通過(guò)電池的集中參數(shù)模型建立單指數(shù)經(jīng)驗(yàn)容量衰退模型，使用粒子濾波算法有效地估計(jì)RUL[15]。

基于電池經(jīng)驗(yàn)容量衰退模型的預(yù)測(cè)方法依據(jù)動(dòng)力電池參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)性建立模型，模型的適用性強(qiáng)，易于獲取。文中采用基于電池的經(jīng)驗(yàn)容量衰退模型的方法預(yù)測(cè)鋰離子電池的RUL，并設(shè)計(jì)平方根求積分卡爾曼濾波(square-root quadrature kalman filtering，SQKF)算法求解模型。

1 鋰離子電池經(jīng)驗(yàn)容量衰退模型建立

美國(guó)國(guó)家航空航天局(NASA)的一些學(xué)者研究發(fā)現(xiàn)，鋰離子電池的電荷轉(zhuǎn)移電阻與電解質(zhì)電阻之和與容量C具有線性關(guān)系。SAHA等據(jù)此提出一個(gè)能反映電池容量衰退過(guò)程的電池機(jī)理模型[15]。模型考慮庫(kù)倫效率對(duì)電池衰退的影響，也考慮電池靜置引起的容量再生，模型見(jiàn)式(1)。

Ck=ηCk-1+β1exp(-β2/Δtk-1)

(1)

式中k為周期索引，代表第k次充放電周期；Ck表示第k個(gè)充放電周期的放電容量；η為庫(kù)倫效率；Δtk-1為第k-1個(gè)充放電周期到第k個(gè)充放電周期的休息時(shí)間。β1和β2為待確定參數(shù)，受溫度、電流倍率等因素影響，文中采用模型狀態(tài)擴(kuò)張的方法將未知參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)為估計(jì)問(wèn)題。為模擬外界干擾對(duì)模型的影響，引入系統(tǒng)誤差和測(cè)量誤差。采用如下方程描述β1,β2以及Ck的變化。

(2)

Zk=Ck+ψk

(3)

式中Zk為第k個(gè)周期的容量觀測(cè)值；φ1,k-1，φ2,k-1，φk-1和ψk-1為彼此間相互獨(dú)立的零均值高斯噪聲。

令Xk=[x1,kx2,kx3,k]T=[β1,kβ2,kCk]T，ωk-1=[φ1,k-1φ2,k-1φk-1]，D=[001]，容量衰退模型狀態(tài)方程

(4)

式中Xk為系統(tǒng)狀態(tài)；Gk-1為噪聲驅(qū)動(dòng)矩陣，此處設(shè)為單位矩陣。Zk為狀態(tài)觀測(cè)矩陣；ωk-1和ψk-1為零均值高斯噪聲，彼此獨(dú)立，其協(xié)方差分別為Q和R。鋰離子電池容量衰退模型的非線性傳遞函數(shù)

(5)

2 SQKF算法估計(jì)電池容量

2.1 SQKF

基于Bayesian估計(jì)的濾波方法中，求積分卡爾曼濾波(quadrature kalman filtering，QKF)算法[16]是應(yīng)用Gauss-Hermite求積分準(zhǔn)則選擇采樣點(diǎn)來(lái)近似函數(shù)的概率密度分布的非線性采樣算法。其精度高于常用的擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended kalman filtering，EKF)[17]和無(wú)跡濾波(unscented filtering，UF)[18]，通過(guò)增加求積節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)能繼續(xù)提升精度[19]。

但在實(shí)際應(yīng)用中，QKF容易受到數(shù)值誤差的影響，導(dǎo)致非對(duì)稱(chēng)、非正定協(xié)方差的傳播，使得濾波器發(fā)散。SQKF是QKF的平方根擴(kuò)展，傳遞協(xié)方差矩陣的平方根，替換QKF的因式分解步驟，平方根的實(shí)現(xiàn)形式增強(qiáng)數(shù)值魯棒性，確保狀態(tài)協(xié)方差矩陣的半正定性，解決QKF的局限性。在一定條件下，SQKF的數(shù)值精度以及穩(wěn)定性有很大提高[20]。

2.1.1 單變量Gauss求積節(jié)點(diǎn)及求積系數(shù)

SQKF的Gauss求積節(jié)點(diǎn)及求積系數(shù)與QKF算法一致。已知Gauss-Hermite求積公式[21-22]

(6)

式中xi和Ai分別為求積節(jié)點(diǎn)及對(duì)應(yīng)系數(shù)；m為求積節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。該積分公式有2m+1次代數(shù)精確度，可以看出，m越大，精度越高。該積分公式的權(quán)函數(shù)為ω(x)=e-x2，其m階導(dǎo)數(shù)見(jiàn)式(7)。

(7)

(8)

求解式(7)中的零點(diǎn)，可以確定求積節(jié)點(diǎn)xi，求積系數(shù)通過(guò)公式(8)求解，并且均與函數(shù)g(x)無(wú)關(guān)。求積節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)一般為3點(diǎn)求積分，5點(diǎn)求積分和7點(diǎn)求積分。為保證估計(jì)精度，文中選擇7點(diǎn)求積分，求積節(jié)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)系數(shù)見(jiàn)表1[23]。

鋰離子電池RUL估計(jì)問(wèn)題是3維多變量問(wèn)題，需要對(duì)單變量的求積節(jié)點(diǎn)進(jìn)行多維擴(kuò)展。

表1 Gauss求積節(jié)點(diǎn)以及求積系數(shù)

2.1.2 多變量Gauss求積節(jié)點(diǎn)及求積系數(shù)

張量積能夠?qū)崿F(xiàn)2個(gè)不同大小的矩陣的運(yùn)算。設(shè)A的大小為m×n，B的大小為p×q，A與B的直積C=A?B,C的大小為mp×qn，張量積公式

(9)

x為服從高斯分布的三維變量，g(x)的期望

(10)

(11)

ξi={ξi1,…,ξim}T

(12)

式中I為n維單位矩陣；ωi由單變量求積系數(shù)的乘積組成；n為多變量的維數(shù);ξi為由多個(gè)單變量求積節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)向量；m為單變量時(shí)的求積節(jié)點(diǎn)數(shù)量，多維求積節(jié)點(diǎn)的總數(shù)量為mn。多維擴(kuò)展的具體方法如下。

P1,∶=ξi,W1,∶=ωi

form=2∶dim(x)

A1∶m-1,∶=P?I1×n

Am,∶=I1×n?Pm-1,∶

B1∶m-1,∶=W?I1×n

Bm,∶=I1×n?Wm-1,∶

P=A

W=B

end

ξi=A∶,i

已知單變量求積節(jié)點(diǎn)與權(quán)值，P1,∶為求積節(jié)點(diǎn)的第一行，W1,∶為求積系數(shù)的第一行，?為張量積變換，求得多維變量的求積節(jié)點(diǎn)ξi和系數(shù)ωi。

2.2 SQKF跟蹤估計(jì)鋰離子電池容量

2.2.1 初始化狀態(tài)變量及協(xié)方差

(13)

(14)

2.2.2 時(shí)間更新

用Cholesky分解法因式分解協(xié)方差矩陣Pk-1|k-1，得到下三角陣Sk-1|k-1

Sk-1|k-1=chol(Pk-1|k-1)

(15)

評(píng)估求積節(jié)點(diǎn)

(16)

非線性函數(shù)傳遞變換后的求積節(jié)點(diǎn)為

(17)

其中，f(·)為式(5)表示的非線性傳遞函數(shù)。

狀態(tài)一步預(yù)測(cè)

(18)

(19)

(20)

式中 qr{·}表示QR分解。

2.2.3 量測(cè)更新

評(píng)估求積節(jié)點(diǎn)

(21)

評(píng)估非線性量測(cè)函數(shù)傳遞的求積節(jié)點(diǎn)

Zl,k|k-1=DXl,k|k-1,l=1,2,…,mn

(22)

估計(jì)預(yù)測(cè)的量測(cè)值

(23)

定義一個(gè)矩陣Zk|k-1來(lái)估計(jì)新息協(xié)方差矩陣平方根Szz,k|k-1

(24)

(25)

定義矩陣Γk|k-1來(lái)估計(jì)互協(xié)方差矩陣Pxz,k|k-1

(26)

Pxz,k|k-1=Γk|k-1Zk|k-1T

(27)

卡爾曼增益

Kk=(Pxz,k|k-1/(Sz,k|k-1)T)/Szz,k|k-1

(28)

估計(jì)更新的狀態(tài)量

(29)

令U=KkSzz,k|k-1，得到狀態(tài)估計(jì)協(xié)方差矩陣的平方根形式

Sk|k=cholupdate{Sk|k-1,U,-1}

(30)

2.3 SQKF估計(jì)鋰離子電池容量的穩(wěn)定性證明

SQKF估計(jì)電池容量的穩(wěn)定性的證明分為2步：數(shù)值穩(wěn)定性證明及收斂性證明。證明過(guò)程如下。

2.3.1 SQKF的數(shù)值穩(wěn)定性證明

滿(mǎn)足以下2個(gè)條件，則經(jīng)由積分公式推導(dǎo)獲得的濾波算法穩(wěn)定。

1)求積節(jié)點(diǎn)集分布在積分區(qū)間內(nèi)。

2)求積節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的權(quán)值都為正數(shù)。

SQKF的求積節(jié)點(diǎn)和系數(shù)通過(guò)Gauss-Hermite求積分準(zhǔn)則獲得。由表1可知求積系數(shù)均是正數(shù)，且求積節(jié)點(diǎn)全部位于積分區(qū)間。此外，引入了濾波算法的穩(wěn)定因子I，規(guī)定算法穩(wěn)定因子I越接近于1，穩(wěn)定性越好。

(31)

式中ωl為求積系數(shù)，該式可以作為評(píng)判濾波算法穩(wěn)定性的標(biāo)準(zhǔn)?？梢宰C明，當(dāng)ωl均為實(shí)數(shù)時(shí)，I恒大于等于1。當(dāng)I>1時(shí)，即存在ωl為負(fù)數(shù)，對(duì)于有限字長(zhǎng)精度運(yùn)算的計(jì)算機(jī)，積分公式會(huì)引入大量的截?cái)嗾`差。SQKF的求積節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的權(quán)值均大于0，可得I恒等于1。即SQKF算法數(shù)值穩(wěn)定。

2.3.2 SQKF的收斂性證明

北京航空航天大學(xué)的XIONG等認(rèn)為算法的誤差有界是采樣型濾波算法收斂的充分條件[24]。

定義估計(jì)誤差及預(yù)測(cè)誤差

(32)

(33)

(34)

(35)

式中f′為非線性系統(tǒng)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)；f″為非線性系統(tǒng)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù);o(·)為高階無(wú)窮小項(xiàng)。由式(32)～式(35)計(jì)算可知，預(yù)測(cè)誤差exk|k-1

exk|k-1≈Fkexk-1

(36)

式中Fk為非奇異矩陣，可以表示為

(37)

式(37)對(duì)exk|k-1做一階泰勒展開(kāi)，可能引入狀態(tài)誤差預(yù)測(cè)的殘差。為了得到一個(gè)精確的預(yù)測(cè)誤差，引入對(duì)角矩陣Ak=diag(β1,k,β2,k,…,βl,k)，該對(duì)角矩陣與狀態(tài)誤差預(yù)測(cè)殘差相關(guān)，故式(36)可以表示為

exk|k-1=AkFkexk-1

(38)

量測(cè)誤差ezk|k-1定義見(jiàn)式(39)

(39)

由式(22)和式(35)可知，式(39)近似為

(40)

考慮量測(cè)誤差殘差的影響，引入一個(gè)與殘差相關(guān)的未知對(duì)角矩陣Bk=diag(α1,k,α2,k,…,αl,k)，則式(40)可改進(jìn)為

ezk|k-1=BkDexk|k-1

(41)

Fk為非奇異矩陣，若矩陣Ak滿(mǎn)足下式

(42)

(43)

由式(42)可知，Ak的特征值越小，SQKF越容易收斂到0。但由于Ak和Bk是由人為假定的未知矩陣，可能使得式(43)不成立。此時(shí)，增加額外的正定矩陣即可使其成立。另外，Bk與系統(tǒng)的量測(cè)協(xié)方差噪聲相關(guān)，協(xié)方差的噪聲越小，Bk越接近單位矩陣，式(42)成立。

文中的經(jīng)驗(yàn)容量衰退模型描述電池生命周期的容量變化，因此狀態(tài)方程為有界函數(shù)。而電池容量的變化率也是一個(gè)有界函數(shù)。即預(yù)測(cè)誤差exk|k-1

(44)

由式(43)和式(44)可得，SQKF的誤差有界，SQKF估計(jì)電池容量具有收斂性。證明了SQKF估計(jì)鋰離子電池容量的過(guò)程是穩(wěn)定的。

3 仿真與驗(yàn)證

3.1 SQKF跟蹤估計(jì)仿真

使用NASA卓越故障預(yù)測(cè)中心公開(kāi)的鋰離子電池?cái)?shù)據(jù)集[25]進(jìn)行RUL預(yù)測(cè)仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)選用商用18650鋰離子電池。

在相同的參數(shù)及初始值的情況下，對(duì)估計(jì)值采取蒙特卡洛求平均，蒙特卡洛次數(shù)設(shè)定為1 000次。過(guò)程噪聲協(xié)方差Q=0.001×I3，量測(cè)噪聲協(xié)方差R=0.001×I1。采用最優(yōu)化方法確定初始值

(45)

(46)

SQKF對(duì)B5號(hào)鋰離子電池容量跟蹤結(jié)果如圖1和圖2所示，β1,β2估計(jì)結(jié)果如圖3所示。

EKF，UF，QKF及SQKF等4種算法跟蹤估計(jì)B5號(hào)電池容量的仿真實(shí)驗(yàn)誤差見(jiàn)表2。由表2知，相同初值和噪聲情況下，SQKF的估計(jì)誤差均小于EKF，UF及QKF算法的估計(jì)誤差。

表2 B5號(hào)電池容量的估計(jì)仿真實(shí)驗(yàn)誤差

3.2 鋰離子電池RUL預(yù)測(cè)仿真

將電池的前T個(gè)充放電循環(huán)的容量數(shù)據(jù)作為歷史數(shù)據(jù)，使用4種算法跟蹤估計(jì)。再?gòu)牡赥個(gè)周期迭代估計(jì)鋰離子電池容量，每輸出一個(gè)容量估計(jì)值，判斷該估計(jì)值是否到達(dá)預(yù)先設(shè)定的閾值(文中設(shè)定閾值為電池容量的70%，即1.4 Ah)。若未到達(dá)失效閾值，則繼續(xù)迭代估計(jì)；若到達(dá)失效閾值，則停止迭代，迭代的次數(shù)即電池剩余壽命。文中通過(guò)分析預(yù)測(cè)起始點(diǎn)的選取和電池個(gè)體差異對(duì)預(yù)測(cè)精度的影響，分析算法性能。

3.2.1 預(yù)測(cè)起始點(diǎn)對(duì)算法預(yù)測(cè)的影響

為分析驗(yàn)證預(yù)測(cè)起始點(diǎn)的選取對(duì)算法的影響，分別使用EKF，UF，QKF及SQKF算法對(duì)B6號(hào)電池做RUL預(yù)測(cè)仿真實(shí)驗(yàn)，起始點(diǎn)分別設(shè)為50，70和90，4種算法對(duì)B6號(hào)電池RUL預(yù)測(cè)的實(shí)驗(yàn)仿真如圖4～圖6所示。

圖4～圖6中，不同預(yù)測(cè)起始點(diǎn)情況下，4種算法對(duì)B6號(hào)電池的RUL預(yù)測(cè)仿真結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 不同預(yù)測(cè)起始點(diǎn)下B6號(hào)電池的RUL預(yù)測(cè)結(jié)果

表3中，實(shí)驗(yàn)從起始周期T開(kāi)始預(yù)測(cè)，B6號(hào)電池的真實(shí)壽命結(jié)束周期EOL為109，RULtrue為RUL真實(shí)值，不同起始周期下RULtrue分別為59，39，19。EOLpre為各算法預(yù)測(cè)的壽命終止周期，RULpre為RUL預(yù)測(cè)值，RULerr為RUL預(yù)測(cè)的絕對(duì)誤差，Perror為預(yù)測(cè)的誤差率，定義如下所示。

RULerr=|RULpre-RULtrue|

(47)

(48)

由表3可知，一方面，在不同預(yù)測(cè)起始點(diǎn)下鋰離子電池RUL的預(yù)測(cè)結(jié)果中，SQKF的精度總是高于QKF，UF和EKF，并且誤差率總是保持在6%以?xún)?nèi)。另一方面，對(duì)于同一個(gè)電池(B6)，預(yù)測(cè)起點(diǎn)越大，容量的歷史數(shù)據(jù)越多，預(yù)測(cè)就越準(zhǔn)確。

3.2.2 電池個(gè)體差異對(duì)算法預(yù)測(cè)的影響

分析電池個(gè)體差異對(duì)算法預(yù)測(cè)的影響，起始周期T設(shè)為50，用4種算法分別對(duì)B6和B18號(hào)電池做RUL預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)仿真。其中，B6號(hào)電池的RUL預(yù)測(cè)仿真結(jié)果如圖4及見(jiàn)表3。B18號(hào)電池的RUL預(yù)測(cè)仿真結(jié)果如圖7～圖10所示。

B18號(hào)電池在起始周期T=50時(shí)，RULtrue=47，RUL預(yù)測(cè)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表4。

結(jié)合表3～表4可知，一方面，SQKF的RUL預(yù)測(cè)誤差小于EKF，UF和QKF，精度更高。另一方面，對(duì)于不同的單體電池，在相同的預(yù)測(cè)起始點(diǎn)下，EKF，UF和QKF的預(yù)測(cè)誤差率均有所變化，但SQKF的預(yù)測(cè)誤差率基本保持不變，說(shuō)明SQKF預(yù)測(cè)算法的精度受電池個(gè)體差異影響較小。實(shí)驗(yàn)表明，SQKF方法在鋰離子電池RUL預(yù)測(cè)中精度高、穩(wěn)定性好，具有很好的應(yīng)用價(jià)值。

表4 B18號(hào)電池的RUL預(yù)測(cè)結(jié)果

4 結(jié) 論

1)單指數(shù)經(jīng)驗(yàn)容量衰退模型適合描述鋰離子電池的容量衰退過(guò)程。

2)SQKF估計(jì)鋰離子電池容量的過(guò)程穩(wěn)定。

3)在不同預(yù)測(cè)起始點(diǎn)下，SQKF的精準(zhǔn)度均高于EKF，UF，QKF。

4)相比于EKF，UF，QKF，SQKF預(yù)測(cè)算法的精度受電池個(gè)體差異影響較小，穩(wěn)定性好。

5)基于單指數(shù)經(jīng)驗(yàn)容量衰退模型的SQKF算法為RUL預(yù)測(cè)提供了一個(gè)良好的選擇，若進(jìn)一步考慮電池壽命和工作環(huán)境溫度的關(guān)系，可以提高算法的適用性和精確性。