城市標度研究的起源、本質(zhì)和主要方向

陳彥光

(北京大學 城市與環(huán)境學院 城市與經(jīng)濟地理系， 北京 100871)

0 引言

科學研究始于描述，成于理解。只有采用適當?shù)姆椒ㄓ行枋鲆粋€系統(tǒng)，才能真正理解它的運行機理。城市是復雜空間系統(tǒng)，如何有效描述城市現(xiàn)象，從而理解其演化規(guī)律，進而實現(xiàn)對城市的規(guī)劃和管理，一直是城市地理學家關心的難題。復雜系統(tǒng)都具有非線性特征，從而具有反直觀性質(zhì)，單純地定性描述不能滿足深入研究的需求，需要采用定量和定性相互結(jié)合的方法進行刻畫。然而，并非有了數(shù)學方法就可以恰如其分地描述城市的一種現(xiàn)象或者行為。實際上，城市地理現(xiàn)象分為兩大類別：一是有特征尺度，可以采用通常的數(shù)學方法描述和分析；二是無特征尺度，不能采用通常的數(shù)學方法建模和分析，需要代之以標度分析[1]。地理學計量革命之后的理論革命之所以受挫，障礙之一在于，在當時的條件下，無法區(qū)分特征尺度分析和標度分析。所有標度性質(zhì)的復雜地理現(xiàn)象都被當作有特征尺度的簡單地理現(xiàn)象處理，從而解釋不準確，預測不可靠。

在沒有特征尺度的情況下，需要代之以標度思想。標度問題和標度分析在城市地理研究中由來已久。著名的距離衰減律、位序-規(guī)模律和異速生長律都與標度有關。標度是當今科學理論研究的熱點之一，近年來各個領域都在關注標度，地理學家、物理學家和經(jīng)濟學家都在研究城市標度問題[2-4]。作者長期從分形、位序-規(guī)模分布和異速生長的角度研究城市標度問題，對這一領域的來龍去脈比較熟悉，故撰此文，對城市標度研究的來龍去脈做一個概略性論述。

1 城市標度起源和本質(zhì)

1.1 起源和本質(zhì)

城市標度問題起源于地理空間測量。要想研究一個現(xiàn)象，首先得描述其基本特征。要進行準確的描述，就得明確一些測度：長度、面積、體積、重量、密度，如此等等[5]。TAYLOR[6]在其《地理學中的定量方法》一書中指出：“測度是數(shù)學和經(jīng)驗研究聯(lián)系的橋梁。”在各種測度中，一維測度——長度——屬于基本測度，從而最為重要。然而，地理學家發(fā)現(xiàn)，地理系統(tǒng)中的長度測量并非輕而易舉。恰恰相反，許多地理線的長度，包括河流、山脊線、海岸線、國境線、城市邊界線，無法獲得確定的數(shù)值。其中最早引起地理學家注意的是河流“長度之謎(conundrum of length)”：不同機構(gòu)給出的同一條河流的長度數(shù)據(jù)往往有顯著差別，人們稱之為“Steinhaus佯謬(paradox)”[7]。1960年代，美國密歇根數(shù)量地理學家校際共同體(Michigan Inter-University Community of Mathematical Geographers,CMG)著手調(diào)研地理空間的長度之謎以及與此相關的學術問題。調(diào)查工作完成之后，NYSTUEN[8]于1966年撰寫了一篇題為“邊界形狀效應和局部凸性概念”的文章，該文指出：對于地理現(xiàn)象，長度的測算依賴于尺度?；诤０毒€的長度的尺度依賴性，MANDELBROT[9-10]提出了分維概念，進而發(fā)展了分形理論。分形是一種典型的標度現(xiàn)象，其本質(zhì)是伸縮對稱性的發(fā)現(xiàn)[10]。

在城市地理研究中，經(jīng)?？梢姕y量結(jié)果依賴于尺度的現(xiàn)象。城市周長、城區(qū)建筑面積、城市交通網(wǎng)絡長度，諸如此類，都存在尺度依賴性[11-12]。近年來地理學家的一個熱門話題是可變地域單元問題(modifiable areal unit problem, MAUP)。所謂MAUP，是指空間計量的地域單元大小的改變，會顯著影響統(tǒng)計量的計算結(jié)果，嚴重時會影響統(tǒng)計推斷結(jié)論的有效性[13-15]。今天看來，MAUP的本質(zhì)在于地理分布的無尺度性，MAUP其實也就是空間分析的尺度依賴性[16]。

標度本質(zhì)上是數(shù)學中的變換不變性，可以視為一種數(shù)學方法，這種數(shù)學方法在城市研究中又表現(xiàn)為一種地理規(guī)律。對于任何科學研究，數(shù)學工具都有兩種功能：一是構(gòu)建假設、建立模型、發(fā)展理論的工具(數(shù)學建模)，二是觀測數(shù)據(jù)的整理手段(統(tǒng)計分析)。標度分析用于城市研究，也有兩種功能：一是構(gòu)建假設建立理論模型，二是整理實驗與觀測數(shù)據(jù)，發(fā)展經(jīng)驗模型(表1)。英國伯明翰大學地理學者MOSS[17]曾經(jīng)指出，地理學家過去過于重視數(shù)學的第二種功能的發(fā)揮(整理觀測數(shù)據(jù))，而不太重視第一種功能(假設、建模、發(fā)展理論)[18]，從而地理學的計量革命沒有達到預期的效果。從目前的研究成果看來，城市研究中大多是標度現(xiàn)象的冪律分析，本質(zhì)上屬于數(shù)據(jù)整理。只有在第二個功能方面打開局面，即基于城市標度思想，構(gòu)建假設、建立模型，才能為發(fā)展城市地理學理論做出力所能及的貢獻。

表1 城市標度分析的兩種功能：理論研究中的數(shù)學建模和經(jīng)驗研究中的觀測數(shù)據(jù)整理Tab. 1 Two functions of urban scaling analysis: Mathematical modeling in theoretical research and data processing in empirical research

1.2 城市地理學中的經(jīng)典標度律

就城市地理研究而言，特征尺度分析和標度分析一直交織在一起，只不過是在標度概念和理論產(chǎn)生之前，人們沒有注意二者的聯(lián)系和區(qū)別。城市研究中最顯著的三個規(guī)律：距離衰減律(誕生于1895年乃至更早)、位序-規(guī)模律(誕生于1913年)和異速生長律(誕生于1956年)都與標度有關。著名的中心地理論模型則隱含著距離衰減律、位序-規(guī)模律和異速生長律。TOBLER[19-20]的地理學第一定律，本質(zhì)上是一個空間標度問題。在各種經(jīng)典地理數(shù)學模型中，基于標度的模型出現(xiàn)的概率大于基于特征尺度的模型出現(xiàn)的概率。如果兩種模型同時出現(xiàn)，一般基于標度的模型影響深遠，而基于特征尺度的模型則知者不多。出現(xiàn)這種局面的原因如下：第一，地理現(xiàn)象和過程原本包括有特征尺度和無特征尺度兩個方面[16]；第二，地理過程的有尺度分布和無尺度分布在一定條件下可能相互轉(zhuǎn)化[11, 21]；第三，考察的地理尺度不同，或者發(fā)展階段不同，數(shù)學規(guī)律不盡一致[11,22]。上述事實說明，在城市地理學中，從傳統(tǒng)的經(jīng)典模型，到前沿的復雜問題，存在一系列基礎問題值得深入探索。

2 城市研究中的標度

2.1 地理研究的兩個環(huán)節(jié)：從描述到理解

描述是分析的基礎，理解是解釋的前提。故所有的科學研究都包括兩個環(huán)節(jié)：描述和理解[23-24]。有了適當?shù)拿枋?，才能解釋和預言(表2)。城市系統(tǒng)是復雜空間系統(tǒng)。復雜系統(tǒng)的基本性質(zhì)之一是沒有特征尺度，無法采用常規(guī)的數(shù)學方法描述和分析。要想有效解決無特征尺度系統(tǒng)的問題，必須借助標度分析方法。標度之所以成為科學界普遍關心的熱點問題，是科學家已經(jīng)認識到，常規(guī)的科學描述方法對于復雜系統(tǒng)效果有限。城市地理學家之所以重視標度，是因為城市系統(tǒng)涉及空間復雜性[25]。研究城市標度問題，至少具有如下學術意義：其一，對城市不同方面的基本屬性進行分類，以便于采用適當?shù)姆椒?，有針對性地解決城市問題；其二，揭示城市地理系統(tǒng)中的標度規(guī)律；其三，基于無特征尺度的思想，發(fā)展城市地理學的描述和分析方法。

表2 科學研究的兩個環(huán)節(jié)：描述和理解Tab. 2 Two links of scientific research: Description and understanding

2.2 常規(guī)描述的前提：特征尺度

對于常規(guī)的地理數(shù)學方法而言，描述的前提是找到地理系統(tǒng)的特征尺度。所謂特征尺度(characteristic scale)，就是一個系統(tǒng)的某種典型尺度。這種典型尺度在幾何和微積分中表現(xiàn)為確定的半徑、邊長等，在線性代數(shù)中表現(xiàn)為確定的特征值(根)，在概率論與統(tǒng)計學表現(xiàn)為確定的平均值和標準差。由于特征尺度通常用1維測度表示，故 文獻中稱之為特征長度(characteristic length)[26-29]。有特征尺度的地理系統(tǒng)，基本特征是測量不依賴于尺度，從而有確定的長度、面積、體積、密度等測度，概率分布為中庸型，或者可以轉(zhuǎn)換為中庸型——中間高、兩頭低的單峰曲線；無特征尺度的地理系統(tǒng)，基本特征相反，測量依賴于尺度，找不到確定的長度、面積、體積、密度，概率分布為極端型的長尾分布：一端短高而少，另一端低長而多[16]。

利用平均值和標準差可以對有特征尺度的現(xiàn)象進行預測分析，然而，平均值和標準差無法預測無尺度現(xiàn)象。人類身高服從正態(tài)分布，有特征尺度。95%的人的身高在平均值加、減二倍標準差范圍之內(nèi)；身高大于平均值2倍的人現(xiàn)實中找不到。但是，城市不然。如果城市規(guī)模分布服從Zipf定律，那么具有標度性質(zhì)，規(guī)模大于平均值2倍乃至4倍、8倍、16倍的城市毫不奇怪。根據(jù)基于中國六普數(shù)據(jù)的城市規(guī)模處理結(jié)果，中國654個城市的平均市人口規(guī)模是61.3萬人，上海市人口是1 764.1萬人，最大城市人口相當于平均值的28.8倍左右。實際上，中國的城市絕對不止這654個，否則2010年中國全部城鎮(zhèn)人口占據(jù)總?cè)丝诘谋戎刂挥?5.5%，不可能達到49.68%。考慮到許多縣城沒有得到官方認證，從而缺乏公開普查數(shù)據(jù)，這個倍數(shù)就不知道有多大了。這意味，采用統(tǒng)計學中基于平均值和標準差的常規(guī)方法，不可能預見一個陌生城市的人口規(guī)模。

2.3 復雜空間系統(tǒng)的描述方法：標度

標度是描述和理解復雜系統(tǒng)的有效途徑。城市是復雜空間系統(tǒng)[1, 30-33]。復雜系統(tǒng)的基本特性之一是標度性質(zhì)，標度意味著沒有特征尺度。所謂標度，就是對一個系統(tǒng)的進行尺度縮放，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不變。換言之，系統(tǒng)的測度依賴于測量尺度，但系統(tǒng)的性質(zhì)卻不因尺度改變而發(fā)生變化。地理學家容易理解標度，因為按照一定的比例尺對地圖進行縮小和放大的過程，就是一個標度處理過程。這個比方雖然簡明易懂，但似乎無助于地理學家理解標度的原理和意義。如果一個城市地理系統(tǒng)不是標度過程，而是有特征尺度，則可以通過改變測量尺度很快得到收斂的測量結(jié)果，或者通過反復測量，找到有效的測量均值。但是，如果城市系統(tǒng)是標度的，那就無法得到收斂的測量結(jié)果，或者找到有效的均值。標度的數(shù)學本質(zhì)是尺度伸縮變換的不變性，從數(shù)學變換的角度理解，才能深入其內(nèi)涵[34]。城市地理學中有兩個經(jīng)典的模型，城市人口密度的Clark模型[35]和城市交通網(wǎng)絡密度分布的Smeed模型[36]，分別作為特征尺度分布和標度分布的代表。這兩個模型有助于我們理解城市地理學系統(tǒng)的特征尺度和標度[37]。

2.4 標度與冪律

如果一個城市地理現(xiàn)象可以建立有效的數(shù)學模型，則其標度性質(zhì)容易鑒別。只要服從標度律，就可以判斷該模型具有標度性質(zhì)，從而所描述的地理現(xiàn)象具有標度過程。經(jīng)驗上，科學家借助冪律識別標度。之所以如此，是因為冪函數(shù)是反映標度關系的泛函方程式的特解之一[34,37]。標度不限于冪律，但在絕大多數(shù)情況下，從標度關系中可以引導出或明或隱的冪律關系。標度起源于測量的不確定性，表現(xiàn)為測量結(jié)果的尺度依賴性，數(shù)學上特征則是測量過程的尺度不變性，本質(zhì)上則是伸縮對稱性[38]。改變尺度，測量結(jié)果不一樣，找不到代表性的測量結(jié)果，但數(shù)學模型的結(jié)構(gòu)和反映系統(tǒng)性質(zhì)的標度指數(shù)卻是不變的。如果測量過程隨尺度的變化很快收斂到一個確定的數(shù)值，則是有特征尺度的，無須標度分析。與此對照，如果測量過程依賴于尺度，結(jié)果并不收斂，就可以嘗試構(gòu)建測量尺度與測量結(jié)果的冪指數(shù)關系。借助一定的算法，如最小二乘法或者最大似然法，計算出冪指數(shù)，該指數(shù)代表標度指數(shù)。如果要求不太嚴格，標度指數(shù)可以通過尺度和測度的雙對數(shù)坐標圖的斜率來估計。標度分析在經(jīng)驗上通常就是采用標度指數(shù)代替常規(guī)的測度如長度、面積、體積、密度等。

3 城市標度研究的現(xiàn)狀

3.1 城市標度研究的興起

標度是目前整個科學界普遍關心的問題，原因在于復雜性科學的興起。探索復雜性，既要應用標度分析方法，也要解決標度本身的問題。復雜系統(tǒng)之所以復雜，原因之一在于沒有特征尺度，不能采用常規(guī)的數(shù)學方法有效描述，從而難以深入理解。標度分析提供了描述無尺度現(xiàn)象的新視角，但也引發(fā)一系列的理論和應用問題。因此，越來越多的學者開始基于各自的學科探索標度問題。一方面，揭示各種各樣的標度現(xiàn)象，為發(fā)展標度分析方法提供根據(jù)；另一方面，通過標度方法，的確可以解決許多過去解決不了的現(xiàn)實問題。

數(shù)學建模的主線，可以反映科學重心的轉(zhuǎn)移。有學者將近現(xiàn)代科學的理論研究概括為三個函數(shù)：正態(tài)函數(shù)(Gauss函數(shù))、指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)[39]。前兩個函數(shù)是特征尺度分析的典型，后一個則是標度描述的標志。如前所述，城市是復雜空間系統(tǒng)，研究城市無法回避空間復雜性問題[31]。城市地理學家重視標度研究是大勢所趨。計量革命時期，地理學家發(fā)展了很多城市地理學模型，但它們的應用效果卻令人失望：往往解釋不準確，預測不可靠[40]。究其原因在于，特征尺度與標度的混淆。城市理論學者已經(jīng)認識到：將特征尺度現(xiàn)象與標度現(xiàn)象有效區(qū)分，用標度思想和方法研究城市中的無特征尺度問題，有特征尺度的現(xiàn)象采用常規(guī)數(shù)學方法描述，才能避免認識的混亂和研究的誤入歧途。

3.2 城市標度研究的主要方向

在城市地理研究中，標度研究的文獻越來越多，主要集中在四個領域：分形現(xiàn)象、位序-規(guī)模分布、異速生長和復雜網(wǎng)絡。分形、異速生長和復雜網(wǎng)絡的共性在于標度律。著名城市理論家BATTY[41]甚至認為三者可以集成發(fā)展為解釋城市演化的新理論。位序-規(guī)模分布屬于等級標度，分形研究包括空間標度和等級標度，但以空間標度為主，復雜網(wǎng)絡包括空間標度和等級標度，但以等級標度為主；異速標度可以從等級標度推導出來。城市分形研究有較多的文獻綜述，下面簡單論述分形標度之外的城市標度研究方向。

(1)城市位序-規(guī)模標度研究。此類研究源于城市規(guī)模分布的Zipf定律和Pareto分布。城市位序-規(guī)模分布研究可以追溯到1913年的Auerbach模型[42]。Zipf分布是一種長尾概率分布[43]，屬于功能意義的分形[29, 44]。城市位序-規(guī)模律暗示城市體系具有整潔而又簡單結(jié)構(gòu)[45]。這個簡單的城市規(guī)律，吸引了無數(shù)的城市地理和經(jīng)濟學者投入研究[2, 46]。幾乎每年都有相關的論文發(fā)表。但是，其背后的基本原理依然不夠清楚。21世紀以來人們從標度的角度研究城市位序-規(guī)模分布[3, 41, 47-48]。城市規(guī)模分布可以轉(zhuǎn)換為等級體系，屬于等級標度問題。

(2)城市異速生長和異速標度關系研究。此類源于生物器官相對生長速度的比例關系類比，20世紀50年代由一般系統(tǒng)論創(chuàng)始人BERTALANFFY及其合作者“推送”到城市地理學[49]。城市地理學家用異速生長律研究城市中的各種生長和分布的比例關系，包括城市化中的城鄉(xiāng)人口關系、城市體系中的中心城市與全部城市的關系、城市人口-城區(qū)面積關系、城區(qū)面積-城市周長關系、城市人口規(guī)模與經(jīng)濟產(chǎn)出關系[46,50-55]。雖然異速生長律在城市應用研究中效果較好，但其標度指數(shù)無法用歐氏幾何學的思想解釋，這就引起了理論上的量綱困惑，從而阻礙了它的進一步發(fā)展[54]。由于異速標度指數(shù)解釋的量綱難題[51]，城市異速生長研究在地理學界一度冷落。由于分形和分維概念的引入，異速標度指數(shù)的量綱障礙得以解除[4,56]。由于美國圣菲復雜性研究所(Santa Fe Institute,SFI)當年首席科學家West與城市地理學家合作[3]，再度復興了城市問題的異速標度研究。如今，在各種城市異速標度研究中，最熱門的主題之一是城市規(guī)模與各種投入和產(chǎn)出的關系。筆者及其合作者很早就著手研究這種關系[55, 57-59]，但未能引起廣泛關注。后來，由于西班牙裔學者BETTENCOURT及其同事將城市規(guī)模-產(chǎn)出異速標度模型進行精心包裝并在國際頂級科學期刊如Science和PNAS發(fā)表論文[60-61]，有關研究引起地理和城市學者的廣泛注意。最近常有相關成果問世[62-66]，但有關研究也引起新的困惑[67]。科學發(fā)展就是這樣：既然出現(xiàn)了新問題，自然會引發(fā)新研究。

(3)城市復雜網(wǎng)絡的標度研究。網(wǎng)絡科學起源于七橋問題的數(shù)學抽象。最初人們研究簡單的隨機網(wǎng)絡。小世界概念提出以后，有關研究開始接近復雜網(wǎng)絡問題。20世紀末期，由于計算機和互聯(lián)網(wǎng)技術的發(fā)展、復雜性科學的興起以及學科之間的交叉與滲透，復雜網(wǎng)絡研究涌現(xiàn)出來，形成所謂網(wǎng)絡新科學[68]，并且一開始就與標度問題產(chǎn)生關聯(lián)[69-70]。由于地理世界既存在簡單網(wǎng)絡又存在復雜網(wǎng)絡[71]，地理學家將網(wǎng)絡引入城市研究自然而然[72]。復雜網(wǎng)絡在標度問題上與分形和異速生長產(chǎn)生聯(lián)系。復雜網(wǎng)絡包括無尺度網(wǎng)絡和等級網(wǎng)絡，前者是一種具有標度性質(zhì)的網(wǎng)絡，后者則不僅具有標度性質(zhì)，而且具有分形結(jié)構(gòu)——等級網(wǎng)絡的標度指數(shù)等于分維加上1。網(wǎng)絡新科學與分形幾何學、異速生長理論交叉激發(fā)了城市新科學探索[41]。英國UCL的高級空間分析中心的研究團隊研究了倫敦城市內(nèi)部的復雜網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)和分形性質(zhì)[73]。

(4)城市空間分布和結(jié)構(gòu)的標度研究?？臻g維度是數(shù)學建模的難題之一[74]。但空間是城市地理研究的核心概念，地理學家最感興趣，也無法回避。標度為城市地理空間建模提供了新途徑。然而，早年基于負冪律距離衰減的經(jīng)典研究，包括空間擴散、引力、空間相互作用，都是空間標度問題。分形城市研究興起后，標度概念便引人注意[1, 11,75-77]。分形城市研究大部分屬于空間標度問題，少部分屬于等級標度。分形研究可以劃歸標度范疇，但反之未必：標度研究不一定屬于分形研究。相對于分形概念，標度概念的內(nèi)涵更小，從而外延更大。人口空間活動、技術擴散等等，都發(fā)現(xiàn)標度現(xiàn)象[39,78-79]，而類似的規(guī)律在城市研究中屢見不鮮[80]。中心地理論模型中，也發(fā)現(xiàn)新的標度現(xiàn)象[81]。

3.3 城市標度研究的問題

城市標度研究取得了可喜的成績，但也存在不少問題，主要問題表現(xiàn)在如下方面。其一，標度的過度識別。早年，特別是計量革命時期，在地理學家認識到標度律之前，地理學現(xiàn)象都被當作有特征尺度的現(xiàn)象進行描述和理解，這就不免引起解釋和預測的失誤。新世紀標度分析興起，又導致另一個極端，那就是冪律的過度識別：許多不是標度的現(xiàn)象也被當作標度問題了。探索城市標度，澄清問題，規(guī)范方法，學科理論建設和應用研究才能順利發(fā)展。其二，基于標度的理論建模研究不夠。標度分析涉及基于尺度的數(shù)學變換。如前所述，如同其他數(shù)學方法一樣，用于城市研究，具有兩種功能：一是構(gòu)建假設、建立模型、發(fā)展理論;二是整理觀測或者模擬實驗數(shù)據(jù)。對于地理學科建設而言，第一種功能比第二種功能更為重要[17]。但是，從發(fā)表的論文看來，大多數(shù)城市標度研究屬于第二類——數(shù)據(jù)整理，而在理論模型建設方面做得不夠深入。其三，研究方法與參數(shù)估計困惑。主要的難題在于，采用不同口徑的變量，或者不同范圍的研究區(qū)，計算的異速標度指數(shù)不盡一致：有時大于1，有時則小于1，地理意義截然不同[66-67]。這類問題不解決，對標度在城市研究中的應用會有消極影響。其四，不同的研究分支缺乏統(tǒng)一的邏輯框架。城市標度研究涉及空間標度、等級標度、網(wǎng)絡標度、異速標度等等。這些標度現(xiàn)象存在內(nèi)在的深刻聯(lián)系。但是，目前揭示出來邏輯關系的依然有限。

不論怎樣，標度代表城市描述的新思維。標度分析的有力數(shù)學工具是分形幾何學，因為分形的本質(zhì)就是標度對稱性[38]。城市是復雜空間系統(tǒng)。復雜系統(tǒng)的基本性質(zhì)之一是基本結(jié)構(gòu)沒有特征尺度，許多問題不能采用通常的數(shù)學建模和定量分析方法解決。在這種情況下，借助分形幾何學之類的方法開展城市標度分析是必然選擇。城市標度研究的實證困難在于區(qū)分有無特征尺度，然后有針對性地選擇空間建模和分析工具。城市標度的識別方法正在發(fā)展之中。具有標度性質(zhì)的城市地理現(xiàn)象有如下特征：(1)測量結(jié)果依賴于測量尺度，尺度與測量結(jié)果之間形成某種冪律關系；(2)分布曲線表現(xiàn)為單邊衰減的長尾曲線，并且不能轉(zhuǎn)換為單峰凸起的分布曲線；(3)數(shù)學模型為伸縮變換下的本征函數(shù)，特征參數(shù)則是本征值的函數(shù)；(4)自相關函數(shù)和偏自相關函數(shù)都具有拖尾特征，不會出現(xiàn)截尾現(xiàn)象。

4 結(jié)束語

標度分析代表城市數(shù)學建模和定量分析的新方向。如果一種城市現(xiàn)象具有特征尺度，采用常規(guī)數(shù)學方法即可奏效；否則，需要借助標度分析代替特征尺度分析。本文的要點如下：其一，城市標度研究的起源在于空間測量的尺度依賴性。為了理解一種城市過程，首先要描述相應的城市現(xiàn)象，而定量描述基于測量。但是，復雜城市系統(tǒng)在許多方面沒有確定的測量結(jié)果，城市邊界線和交通線的長度、城區(qū)范圍的建筑用地面積、城市規(guī)模分布的平均值、城市空間關聯(lián)矩陣的特征根，如此等等，都依賴于尺度。在常規(guī)測度不確定的情況下，可以借助測量尺度和相應的測度建立冪律關系，獲得有效的特征參數(shù)——標度指數(shù)。其二，城市標度的本質(zhì)在于城市結(jié)構(gòu)的伸縮對稱性。對一個城市結(jié)構(gòu)的數(shù)學模型在尺度放大或者縮小變換下具有不變性，這種變換下的不變性乃是伸縮對稱性。伸縮對稱性意味著自相似性：不同尺度的城市部分具有相同的空間信息。其三，城市標度研究的主要方向包括五大領域：一是城市分形標度研究，二是城市位序-規(guī)模分布標度研究，三是城市異速生長標度研究，四是距離衰減標度分析，五是城市網(wǎng)絡標度研究。雖然城市標度研究取得了顯著測成績，但也暴露出一系列問題，例如標度關系的過度識別、城市標度理論建模研究偏少、標度指數(shù)測算的不確定、不同方向的城市標度研究缺乏統(tǒng)一邏輯框架。有問題才有研究發(fā)展的空間。在研究方法具備的前提下，一個領域的問題越多，科學研究的前景越是廣闊。