基于Lewis和Liu定理的Ramanujan-Selberg連分數(shù)及其倒數(shù)的2-剖分

李紫微

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

拉馬努金(Srinivasa Ramanujan)是一位著名的數(shù)論家，其研究的內(nèi)容頗為豐富，在橢圓函數(shù)、超級幾何函數(shù)、整數(shù)拆分、級數(shù)等領(lǐng)域都做出了重大貢獻。其中大部分研究都起源于Theta函數(shù)和q級數(shù)，Theta函數(shù)是橢圓函數(shù)理論的基本組成部分，Ramanujan獨立發(fā)展了他自己的橢圓函數(shù)理論。這些研究成果都出自于Ramanujan遺失的筆記本。

連分數(shù)是Ramanujan遺失筆記本中重要的內(nèi)容之一，其研究方向頗多，比如連分數(shù)的收斂與發(fā)散、模方程、同余等式、剖分等。其中，連分數(shù)的剖分是人們最近研究的熱門方向。經(jīng)過多年的發(fā)展，人們也得到了許多連分數(shù)的研究成果，其中主要研究的Ramanujan連分數(shù)有Rogers-Ramanujan連分數(shù)[1]

Ramanujan立方連分數(shù)[2]

Ramanujan-Gollnitz-Gordon連分數(shù)[3]

Ramanujan-Selberg連分數(shù)[4-5]

關(guān)于它們的剖分是近年來研究的熱點。剖分是指將一個冪級數(shù)根據(jù)冪的模n剩余類展開。目前連分數(shù)剖分的主要研究手段為：Jacobi三重乘積恒等式、Jacobi五重乘積恒等式、theta函數(shù)的線性組合以及Lewis和Liu恒等式相關(guān)定理[6]。其中某些剖分等式對數(shù)學(xué)的其他方向也有重要的作用。例如，Z Cao[7]利用生成函數(shù)(q;q)∞(q2;q2)∞的3-剖分證明了Chan的同余等式

同余等式與連分數(shù)又有密切的聯(lián)系,Chan[8]用Ramanujan立方連分數(shù)的兩個結(jié)果也證明了上式。Ramanujan[9]用Rogers連分數(shù)的兩個等式證明了下面的等式

這里p(n)是分拆函數(shù)，該式被Hardy稱為Ramanujan“最漂亮的等式”，因此連分數(shù)的剖分具有一定的研究意義。

2010年，Vasuki,Bhaskar和Sharath用無窮乘積得到了Ramanujan-Selberg 連分數(shù)倒數(shù)的4-剖分[10]

除此之外，可以利用Jacobi三重乘積恒等式得到Ramanujan-Selberg連分數(shù)倒數(shù)的2-剖分[11]

在本篇文章中，將利用Lewis和Liu恒等式等相關(guān)定理得到Ramanujan-Selberg連分數(shù)及其倒數(shù)的2-剖分的不同的形式。

1 預(yù)備知識

為了敘述方便，對符號的約定如下：S(q)表示的是Ramanujan-Selberg連分數(shù)；S(q)-1表示的是Ramanujan-Selberg連分數(shù)的倒數(shù)；C表示全體復(fù)數(shù)；N表示正整數(shù)。

有關(guān)Ramanujan連分數(shù)剖分的證明比較復(fù)雜且會用到許多相關(guān)定義以及定理，這章內(nèi)容會簡單介紹。

定義1[11]設(shè)任意的z,q∈C,定義q為無窮移位階乘

(1)

(z1,z2,…zn;q)∞:=(z1;q)∞(z2;q)∞…(zn;q)∞，

(2)

令N0=N∪{0}，于是當(dāng)z,q∈C，q≠0且|q|<1時，所有的無窮乘積都是收斂的，然后由定義可以得到以下等式:

(z;q)∞=(z,zq;q2)∞;

(3)

(z2;q2)∞=(z;q)∞(-z;q)∞.

(4)

定義2[6]設(shè)任意的z,q∈C,當(dāng)q≠0且|q|<1時，有以下定義：

[z;q]∞:=(z;q)∞(z-1q;q)∞，

(5)

[z1,z2,…zn;q]∞:=[z1;q]∞[z2;q]∞…[zn;q]∞，

(6)

其中zn≠0(n=1,2,3,…)。

則由定義1和定義2我們可以得到下面相關(guān)等式：

[z-1;q]∞=-z-1[z;q]∞=[zq;q]∞，

(7)

[z;q]∞=[z,zq;q2]∞，

(8)

[z,-z;q]∞=[z2;q2]∞，

(9)

[z-1q;q]∞=[z;q]∞，

(10)

以及

[-1;q]∞[q;q2]∞=2.

(11)

引理1[6]設(shè)a1,a2,…an;b1,b2,…bn∈C|0|滿足

(1)當(dāng)ai≠qnaj，i≠j時，對任意的n∈Z(整數(shù))；

(2)當(dāng)a1a2…an=b1b2…bn時，我們則有

(12)

2 主要結(jié)果及證明

Ramanujan-Selberg連分數(shù)及其倒數(shù)的2-剖分的證明過程

定理1設(shè)任意的復(fù)數(shù)q，當(dāng)q≠0且|q|<1時，則S(q)的2-剖分為

(13)

證明

Ramanujan-Selberg連分數(shù)展開成冪級數(shù)為[4-5]

(14)

由等式(3)可知

(q;q2)∞=(q,q3;q4)∞,

(15)

又由等式(5)可以得到

(q;q2)∞=(q,q3;q4)∞=[q;q4]∞,

(16)

(q2,q2;q4)∞=[q2;q4]∞,

(17)

根據(jù)等式(8)(16)(17)得到

[q;q4]∞=[q,q5;q8]∞,

(18)

[q2;q4]∞=[q2,q6;q8]∞,

(19)

所以，結(jié)合上述由等式(14)可知

(20)

接著，我們令

S(q)=a(q2)+qb(q2),

則得到

(21)

再由等式(9)(21)得到

(22)

其中結(jié)合等式(8)可以得到

(23)

然后結(jié)合等式(22)(23)(9)，我們得到

(24)

然后利用等式(10)，可以得到

(25)

接著在引理1中，用q16代替q且取n=3為

于是得到

(26)

然后設(shè)(a1,a2,a3;b1,b2，b3)=(1，-1，-q15;q3,q5,q7)代入上面的等式得到

(27)

利用等式(7)可以得到

[-q-8;q16]∞=q-8[-q8;q16]∞,

[-q-10;q16]∞=q-10[-q10;q16]∞,

[-q-12;q16]∞=q-12[-q12;q16]∞,

[-q-15;q16]∞=q-15[-q15;q16]∞,

[q-15;q16]∞=-q-15[q15;q16]∞,

則結(jié)合等式(27)可以得到

(28)

又可以利用等式(9)(10)(11)，我們得到

(29)

最后結(jié)合等式(25)(29)可以得到a(q2)表示為

a(q2)=

再次利用等式(8)(9)(10)得到

(30)

同等式(21)同理可得

(31)

然后我們利用引理1，繼續(xù)用q16代替等式(12)中的q，令

(a1,a2,a3;b1,b2，b3)=(1，-1，-q;q5,q9,q-13),

將其代入等式(31)可得

(32)

接著利用等式(7)可得

[q-13;q16]∞=-q-13[q13;q16]∞,

[-q-13;q16]∞=q-13[-q13;q16]∞,

[-q-14;q16]∞=q-14[-q14;q16]∞,

[-q-1;q16]∞=q-1[-q;q16]∞,

[q-1;q16]∞=-q-1[q;q16]∞,

將上面五個等式代入(32)可得

接著同等式(28)的證明相同，可以得到

(33)

最后將等式(33)代入等式(31)中可得

(34)

所以，通過等式(30)(34)，得到了連分數(shù)S(q)的2-剖分為

于是，我們證明了定理1。

定理2設(shè)任意的復(fù)數(shù)q，當(dāng)q≠0且|q|<1時，S(q)-1的2-剖分為

(35)

證明

首先得到連分數(shù)S(q)的倒數(shù)為

然后，我們令

S(q)-1=c(q2)+qd(q2),

于是我們結(jié)合等式(9)(10)得到

(36)

再利用等式(8)可得

接著代入等式(36)以及結(jié)合等式(9)(10)可得

(37)

然后我們利用引理1，用q16代替等式(12)中的q，令

(a1,a2,a3;b1,b2，b3)=(1,-1,-q15;q3,q5,q7),

將其代入等式(26)得到

通過上面的等式，同等式(27)的證明一樣，得到等式(29)，然后將等式(29)代入到等式(37)中得到c(q2)的值為

c(q2)=

(38)

同等式(36)同理可得

(39)

利用引理1，用q16代替等式(12)中的q，令

(a1,a2,a3;b1,b2，b3)=(1,-1,q;-q3,-q9,-q-11),

接著將其代入等式(26)中得到

(40)

然后利用等式(7)可得

[-q-11;q16]∞=q-11[-q11;q16]∞,

[q-11;q16]∞=-q-11[q11;q16]∞,

[-q-12;q16]∞=q-12[-q12;q16]∞,

[-q-1;q16]∞=q-1[-q;q16]∞,

[q-1;q16]∞=-q-1[q;q16]∞,

將上述五個等式代入等式(40)中可得

(41)

最后將等式(41)代入等式(39)中可以得到d(q2)的值為

(42)

于是通過等式(38)和(42)，我們得到了連分數(shù)S(q)-1的2-剖分為

即證得定理2。

3 結(jié)語

在已有Ramanujan-Selberg連分數(shù)剖分的研究成果上，本文采用了新的方法推出了該連分數(shù)2-剖分的不同形式,除此之外，可以在以后的研究中，基于2-剖分的成果繼續(xù)得出Ramanujan-Selberg連分數(shù)的3-剖分和4-剖分。