丁 杰，丁 丹，胡博仁

（1.航天工程大學(xué)研究生院，北京 101416；2.航天工程大學(xué) 電子與光學(xué)工程系，北京 101416）

0 引 言

正交頻分復(fù)用（OFDM）由于其抗干擾、高頻帶利用率等優(yōu)點(diǎn)，在無線通信領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。但由于OFDM技術(shù)為多載波通信技術(shù)，當(dāng)多個(gè)子載波相位相近時(shí)，信號(hào)的疊加會(huì)產(chǎn)生較大的瞬時(shí)功率峰值，即產(chǎn)生較大的峰值功率與平均功率比值。高峰均比（PAPR）會(huì)對(duì)放大器的數(shù)模轉(zhuǎn)換器和模數(shù)轉(zhuǎn)換器的線性動(dòng)態(tài)范圍產(chǎn)生很高的要求，如果系統(tǒng)的線性動(dòng)態(tài)范圍不能滿足信號(hào)的變化，就會(huì)造成信號(hào)的非線性失真，增加信號(hào)傳輸?shù)恼`碼率，嚴(yán)重影響通信系統(tǒng)的性能。因此，如何高效降低峰均比是研究OFDM通信的重要部分之一。

OFDM系統(tǒng)降低信號(hào)峰均比的方法主要包括限幅類技術(shù)、概率類技術(shù)、編碼類技術(shù)。其中，概率類技術(shù)中最典型的是選擇性映射（SLM）技術(shù)和部分傳輸序列（PTS）技術(shù)，基本原理為通過線性干擾降低峰值出現(xiàn)的概率，而PTS技術(shù)由于更好的抑制PAPR性能而得到大量研究。為了平衡抑制效果和實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度，國(guó)內(nèi)外大量文獻(xiàn)提出了針對(duì)PTS技術(shù)的改進(jìn)算法，如預(yù)設(shè)門限法，使用低復(fù)雜度相位因子優(yōu)化PTS算法，聯(lián)合削波改進(jìn)，使用改進(jìn)粒子群算法尋找最優(yōu)加權(quán)系數(shù)等。其中最經(jīng)典的降低復(fù)雜度算法為迭代翻轉(zhuǎn)部分傳輸序列法（IPTS），該算法將原PTS指數(shù)級(jí)別的復(fù)雜度降低至乘法級(jí)別，但減小計(jì)算量帶來的是抑制效果的大打折扣。文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[11]分別從對(duì)相位因子進(jìn)行WHT優(yōu)化和對(duì)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行WHT編碼，這兩種不同的角度提出了IPTS聯(lián)合沃爾什哈達(dá)瑪變換（WHT）的改進(jìn)方法，與原有的IPTS算法相比抑制PAPR性能有所提升，但和原PTS算法相比仍然有不可忽略的差距。

本文在PTS技術(shù)和IPTS技術(shù)的基礎(chǔ)上，提出了計(jì)算量介于二者之間的次優(yōu)分層迭代PTS算法，并利用沃爾什哈達(dá)瑪矩陣互相關(guān)為0的特性，提出WHT聯(lián)合次優(yōu)分層迭代PTS算法矩陣的改進(jìn)方法。使得改進(jìn)算法在大幅度降低計(jì)算量的前提下，仍然能擁有和原算法非常接近的性能。文中給出次優(yōu)分層迭代PTS算法的算法描述，改進(jìn)算法流程圖和框圖；并對(duì)提出算法使用Matlab進(jìn)行仿真，對(duì)其復(fù)雜度和抑制PAPR性能做出詳細(xì)的分析。

1 PTS、IPTS算法以及Hadamard矩陣原理

OFDM系統(tǒng)是一個(gè)多載波相位系統(tǒng)，由多個(gè)相互正交的子載波疊加而成，原始的頻域信號(hào)為：

式中為子載波的數(shù)量，經(jīng)過逆傅里葉變換后得到時(shí)域信號(hào)：

峰均比PAPR的定義為峰值平均功率比，用公式表示為：

互補(bǔ)累積概率分布函數(shù)（CCDF）用于表示PAPR超過某個(gè)值的概率，即：

式中PAPR為門限值。

1.1 PTS算法抑制峰均比原理

圖1 傳統(tǒng)PTS算法原理框圖

1.2 迭代PTS算法（IPTS）

由上一節(jié)可知，要得到最優(yōu)的相位因子加權(quán)排列值，必須窮舉出所有子塊與相位因子的排列組合，這讓PTS算法的計(jì)算量隨著相位因子和子塊數(shù)量的增加呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)。文獻(xiàn)[9]提出了迭代PTS方法（IPTS），該方法不需要窮舉所有的排列組合，只需要較少的迭代搜索就能找到一組優(yōu)化系數(shù)，算法描述如下：

1）令相位因子個(gè)數(shù)為，即b(=1,2,…,)；子塊數(shù)為個(gè)，即x(=1,2,…,)；

2）改變第一個(gè)子塊，即所有加權(quán)系數(shù)，得到'=b(=1,2,…,)，分別計(jì)算所有'的PAPR值，找出最小的PAPR值所對(duì)應(yīng)的相位因子，并固定該系數(shù)為的加權(quán)系數(shù)；

3）按照該方法尋找下一個(gè)子塊對(duì)應(yīng)的最優(yōu)相位因子，直到所有個(gè)子塊的加權(quán)系數(shù)取值都被確定。

可以看出，上述IPTS只需要*次迭代搜索，對(duì)比傳統(tǒng)的PTS需要W次迭代搜索，大大降低了系統(tǒng)的復(fù)雜度。但是，在迭代搜索過程中，IPTS算法的相位因子僅僅被計(jì)算一次，若當(dāng)前的加權(quán)系數(shù)和之間的加權(quán)系數(shù)組合能夠產(chǎn)生更小的PAPR值，IPTS算法將找不到這組更優(yōu)的相位因子。通過理論分析可知，這種簡(jiǎn)化的算法會(huì)對(duì)系統(tǒng)降低PAPR性能產(chǎn)生損失。

1.3 Hadamard矩陣

Hadamard矩陣也稱為矩陣，由+1，-1構(gòu)成，每一行或列都是相互正交的。

二階Hadamard方陣的構(gòu)成如下：

高階Hadamard矩陣的階數(shù)一般都是2的冪次方，根據(jù)二階Hadamard矩陣可以推導(dǎo)出高階的Hadamard矩陣，遞推關(guān)系如下：

且在Hadamard矩陣中，任意交換兩行或兩列，或者改變?nèi)我庖恍谢蛞涣兄械哪硞€(gè)元素的符號(hào)都不會(huì)破壞矩陣的正交性。

2 基于IPTS和Hadamard矩陣的改進(jìn)算法

由上一部分內(nèi)容可知，PTS算法可以有效地降低系統(tǒng)PAPR值，但龐大的計(jì)算量對(duì)信息傳輸?shù)男十a(chǎn)生不可忽視的影響；IPTS算法雖減小了計(jì)算量，卻損失了降低PAPR的性能。本文在IPTS的基礎(chǔ)上，提出一種改進(jìn)的次優(yōu)分層迭代PTS算法，其計(jì)算量介于IPTS和PTS之間，對(duì)PAPR的抑制效果盡可能貼近原PTS算法，達(dá)到對(duì)于系統(tǒng)性能和復(fù)雜度的折中。并將該算法與WHT聯(lián)合，利用WHT互相關(guān)為0的特性，進(jìn)一步提升PAPR抑制效果。

2.1 次優(yōu)分層迭代PTS算法

次優(yōu)分層迭代PTS算法是將個(gè)子塊分為層，通過計(jì)算每一層最小的PAPR值得到一個(gè)子塊的最優(yōu)加權(quán)系數(shù)，再將該加權(quán)系數(shù)代入下一層進(jìn)行計(jì)算。經(jīng)過次計(jì)算量逐層遞減的循環(huán)迭代，可以得到一組優(yōu)化的相位因子。算法描述如下：

1）令相位因子個(gè)數(shù)為，即b(=1,2,…,)；子塊數(shù)為個(gè)，即x(=1,2,…,)；

2）改變所有個(gè)子塊，即x(=1,2,…,)的所有加權(quán)系數(shù)，得到：

分別計(jì)算所有*個(gè)的PAPR值，找出最小的PAPR值所對(duì)應(yīng)的相位因子和子塊，并固定該相位因子是的加權(quán)系數(shù)，即：

3）改變除以外，所有其他-1個(gè)子塊的加權(quán)系數(shù)，同時(shí)代入已經(jīng)找到的最小相位因子，得到：

分別計(jì)算所有(-1)×個(gè)的PAPR值，找出最小的PAPR值所對(duì)應(yīng)的相位因子和子塊并固定，代入下一層循環(huán)迭代運(yùn)算；

4）重復(fù)上述計(jì)算，直到第層，改變-+1個(gè)子塊的加權(quán)系數(shù)，同時(shí)代入已經(jīng)找到的個(gè)最優(yōu)相位因子對(duì)應(yīng)的子塊，計(jì)算最小PAPR值，直到最后一層，也就是第層，次優(yōu)分層迭代PTS算法結(jié)束，得到一組優(yōu)化的加權(quán)系數(shù)。

舉例說明，令=8,=4。在第一層優(yōu)化中，每個(gè)子塊分別對(duì)應(yīng)4個(gè)相位因子，可以計(jì)算出32個(gè)PAPR值，在這32個(gè)PAPR值的集合中找出最小值，并固定其對(duì)應(yīng)的相位因子和子塊。假設(shè)第10個(gè)PAPR值最小，那么對(duì)應(yīng)的則是子塊3，相位2，即=，=。那么，在第一層優(yōu)化中找出了第3個(gè)子塊對(duì)應(yīng)的優(yōu)化系數(shù)為第2個(gè)相位。進(jìn)入第二層優(yōu)化，第1，2，4，…，8子塊可以計(jì)算28個(gè)PAPR的值，備選信號(hào)可表示為：

找出這28個(gè)備選信號(hào)中的最小PAPR值，固定其對(duì)應(yīng)的加權(quán)系數(shù)和子塊。假設(shè)第20個(gè)PAPR值最小，則對(duì)應(yīng)子塊為6，相位是4，即=，=。那么，在第二層優(yōu)化中找出了第6個(gè)子塊對(duì)應(yīng)的優(yōu)化系數(shù)為第四個(gè)相位。如此循環(huán)迭代，直到8個(gè)子塊的加權(quán)系數(shù)都找到，算法結(jié)束。

2.2 WHT聯(lián)合次優(yōu)分層迭代PTS算法

由本文1.3節(jié)可知，Hadamard矩陣的每一行或列都是相互正交的，具有非常優(yōu)秀的互相關(guān)特性，而信號(hào)之間的相關(guān)性大小與PAPR值的大小為正比的關(guān)系，相關(guān)性越強(qiáng)則PAPR值越大，相關(guān)性越小則抑制PAPR性能越好。因此，減小備選信號(hào)之間的互相關(guān)性，可以更有效地抑制PAPR值。所以聯(lián)合算法對(duì)相位因子進(jìn)行WHT優(yōu)化以降低互相關(guān)性，再進(jìn)行次優(yōu)分層迭代。對(duì)于聯(lián)合次優(yōu)分層迭代PTS和WHT的具體處理方式如圖2所示。

圖2 WHT聯(lián)合次優(yōu)分層迭代PTS算法原理框圖

子載波數(shù)量為的輸入信號(hào)分割成個(gè)子塊，用個(gè)階Hadamard矩陣的每行作為加權(quán)系數(shù)對(duì)個(gè)相位因子進(jìn)行擾碼，再用個(gè)優(yōu)化后的相位因子作為加權(quán)系數(shù)進(jìn)行次優(yōu)分層迭代。同時(shí)將個(gè)相位因子對(duì)應(yīng)的行Hadamard矩陣的行序號(hào)作為輔助信息發(fā)送給接收端，以減少信號(hào)傳輸所需要的輔助信息比特?cái)?shù)，提高頻帶利用率。接收端根據(jù)發(fā)送的序號(hào)通過查表的方式找到對(duì)應(yīng)行序號(hào)的加權(quán)系數(shù)，恢復(fù)原信號(hào)。算法的流程圖如圖3所示。

圖3 WHT聯(lián)合次優(yōu)分層迭代PTS算法流程圖

3 算法復(fù)雜度以及仿真分析

3.1 復(fù)雜度分析

表1 運(yùn)算量對(duì)比

為了更加直觀地對(duì)比四種算法計(jì)算量的大小，取=512，=4，在2，4，8時(shí)四種方法加法和乘法的次數(shù)對(duì)比，如表2所示。并使用CCRR衡量計(jì)算量降低程度，其定義為：

表2 V=2，4，8時(shí)加法和乘法次數(shù)以及CCRR對(duì)比

可以看出，在=4，=2，4，8的條件下，次優(yōu)分層迭代PTS相對(duì)于傳統(tǒng)的PTS計(jì)算量降低程度隨著子塊數(shù)量的增加而增加，在始終保持比傳統(tǒng)PTS計(jì)算量更低的情況下，當(dāng)=8時(shí)降低程度達(dá)到99%以上；聯(lián)合WHT次優(yōu)分層迭代PTS相對(duì)于傳統(tǒng)的PTS計(jì)算量降低程度也是隨著子塊數(shù)量的增加而增加，在=2時(shí)，由于相位因子需進(jìn)行Hadamard矩陣優(yōu)化，計(jì)算量相對(duì)于傳統(tǒng)PTS較高，但當(dāng)=8時(shí)，計(jì)算量降低程度與IPTS和次優(yōu)分層迭代PTS相差不大，也能達(dá)到99%以上。

3.2 仿真結(jié)果分析

本文在相位因子=4，b={1;-1;1;-1}，子載波數(shù)=512，調(diào)制方式為QPSK，OFDM符號(hào)數(shù)為5 000，分割方式為隨機(jī)分割法，子塊數(shù)量=2，4，8，16的條件下仿真了次優(yōu)分層迭代PTS和聯(lián)合WHT次優(yōu)分層迭代PTS兩種方法抑制峰均比的性能，如圖4所示?？梢钥闯?，兩種改進(jìn)方法的PAPR都在隨著的不斷增大而降低。相比較之下，聯(lián)合WHT的次優(yōu)分層迭代法比次優(yōu)分層迭代PTS法性能更優(yōu)，例如在=4，CCDF在10處，次優(yōu)分層迭代PTS法的PAPR值為7 dB，聯(lián)合WHT次優(yōu)分層迭代法的PAPR值為6.5 dB，性能提升0.5 dB。而原信號(hào)在CCDF為10時(shí)，PAPR=10 dB，聯(lián)合WHT次優(yōu)分層迭代法和次優(yōu)分層迭代PTS法PAPR抑制性能分別提升了3.5 dB和3 dB。

圖4 本文兩種算法抑制PAPR性能對(duì)比

圖5給出在同樣條件下進(jìn)行PTS，IPTS，次優(yōu)分層迭代PTS和聯(lián)合WHT次優(yōu)分層迭代PTS抑制PAPR性能的對(duì)比?？梢钥闯?，除了在=2時(shí)，由于聯(lián)合WHT次優(yōu)分層迭代PTS法是四種方法計(jì)算量最大，故性能最優(yōu)，和PTS算法相比有0.2 dB的提升。在其他三種情況下，本文提出的聯(lián)合WHT次優(yōu)分層迭代PTS法和PTS算法相比，性能損失在0.3 dB左右，和IPTS算法相比性能提升2 dB左右。

圖5 V=2，4，8，16時(shí)四種算法抑制PAPR性能對(duì)比

為了可以更加直觀地對(duì)比四種算法抑制PAPR性能，根據(jù)仿真結(jié)果統(tǒng)計(jì)出PAPR大于6 dB時(shí)，=2，4，8，16的情況下四種算法的CCDF值，如表3所示。

表3 PAPR大于6 dB時(shí)四種算法CCDF值對(duì)比

從表3可以清晰看出，四種算法在分割子塊數(shù)的提升下，抑制PAPR性能都有明顯增加。IPTS算法雖計(jì)算量最低，但在=16，PAPR大于6 dB的信號(hào)仍然有76.6%，而WHT聯(lián)合次優(yōu)分層迭代算法將這一比例降低至0.2%。盡管與PTS算法相比仍有些許差距，但相較于IPTS算法，抑制PAPR性能有明顯提升。

4 結(jié) 語

本文在IPTS和Hadamard矩陣的基礎(chǔ)上，提出了聯(lián)合WHT次優(yōu)分層迭代PTS算法，并在Matlab中對(duì)PTS算法、IPTS算法、次優(yōu)分層迭代PTS算法以及聯(lián)合WHT次優(yōu)分層迭代PTS算法在子塊數(shù)量不同的情況下，對(duì)其PAPR抑制性能進(jìn)行仿真。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，和原PTS算法相比，本文提出的算法計(jì)算量有顯著下降，性能雖然略有損失但與PTS算法十分貼近。和降低計(jì)算量的程度相比，損失的性能在可接受范圍內(nèi)，適用于對(duì)峰均比的限制并不十分嚴(yán)格，以及要求計(jì)算量較小的環(huán)境中。本文算法對(duì)于OFDM通信中抑制峰均比領(lǐng)域具有重要參考價(jià)值。