切線放縮在函數(shù)雙零點問題中的應(yīng)用

林國紅

(廣東省佛山市樂從中學(xué) 528315)

函數(shù)的凹凸性是高等數(shù)學(xué)研究函數(shù)的性質(zhì)之一，雖然高中數(shù)學(xué)中沒有對函數(shù)的凹凸性作具體要求，但以函數(shù)凹凸性為背景的試題屢見不鮮，這些試題情景新穎，能考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學(xué)素質(zhì)，常作為壓軸題出現(xiàn).

下面簡單介紹函數(shù)的凹凸性，并從函數(shù)凹凸性的視角，利用切線放縮對一類雙零點的函數(shù)壓軸題進行探究，供大家參考.

1 函數(shù)的凹凸性及常用性質(zhì)

1.1 凹凸函數(shù)的定義

1.2 凹凸函數(shù)的常用性質(zhì)

1.2.1 凹凸函數(shù)的判定定理

設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么：

若f(x)在(a,b)內(nèi)有f″(x)>0，則f(x)在[a,b]上是下凸函數(shù)；

若f(x)在(a,b)內(nèi)有f″(x)<0，則f(x)在[a,b]上是上凸函數(shù).

1.2.2 切線放縮(切線不等式)

若f(x)在區(qū)間I為下凸函數(shù)，則對于?x0∈I，有f(x)≥f′(x0)(x-x0)+f(x0)；

若f(x)在區(qū)間I為上凸函數(shù)，則對于?x0∈I，有f(x)≤f′(x0)(x-x0)+f(x0).

評注下凸函數(shù)圖象上任意一點的切線在函數(shù)圖象的下方，上凸函數(shù)圖象上任意一點的切線在函數(shù)圖象的上方.

2 切線放縮估計函數(shù)雙零點范圍的基本原理

若f″(x)>0，則f(x)在區(qū)間Ⅰ為下凸函數(shù)，因此f′(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，從而f(x)最多有一個最小值，即下凸函數(shù)的圖象僅有兩種形態(tài)：無最小值型(如圖1)和有一個最小值型(如圖2).

圖1 圖2

若f(x)在區(qū)間Ⅰ為下凸函數(shù)，且f(x)有最小值，f(x)的圖象與y=m交于A(x1,m),B(x2,m)兩點，f(x)在點C處的切線l1，在點D處的切線l2(如圖3).這樣我們就可以利用切線l1與l2和y=m的交點來估計x1與x2相關(guān)的范圍，這是切線放縮估計函數(shù)雙零點范圍的基本原理.

圖3

對于上凸函數(shù)，其原理與下凸函數(shù)類似，限于篇幅，不再給出.

3 典型例題

例1 (2021年新高考Ⅰ卷22題)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

解析(1)f(x)的定義域為(0,+∞)，且f′(x)=-lnx，故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

(2)由(1)可知，f(x)在(0,+∞)上只有一個極值點1.

因為blna-alnb=a-b

已知f(x1)=f(x2)，證明：2

下面僅證x1+x2

圖4

設(shè)f(x)與y=m,m∈(0,1)交于A,B兩點，A(x1,m),B(x2,m)，則0

由于f(x)在點(e,0)處的切線方程為

y=-x+e

設(shè)切線與y=m交于點C(xc,m)，則

xc=-m+e.

直線y=x與y=m的交點為(m,m)，如圖4，所以0

兩式相加，即得x1+x2

例2 (2021年湖北部分重點中學(xué)聯(lián)考21題)已知函數(shù)f(x)=3x-x3，若關(guān)于x的方程f(x)=a有兩個正實數(shù)根x1,x2，且x1

(1)求實數(shù)a的取值范圍；

解析(1)a的取值范圍為(0,2)，過程略.

(2)由于f′(x)=3-3x2，f″(x)=-6x，可得f(x)在(0,+∞)上是上凸函數(shù).

圖5

如圖5可知，

x2-x1

(1)求函數(shù)f(x)的零點x0，以及曲線y=f(x)在x=x0處的切線方程；

所以曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為

由于f′(-1)=2e，

所以曲線y=f(x)在x=-1處的切線方程為

y=2e(x+1).

則f′(0)=-1，且f(0)=1.

所以曲線y=f(x)在x=0處的切線方程為

y=-x+1.

從而當x∈(-1,0]時，直線y=2e(x+1)在曲線y=f(x)上方.

當x∈(0,1)時，直線y=-x+1在曲線y=f(x)上方.

因為方程f(x)=m(m>0)有兩個實數(shù)根x1,x2，設(shè)直線y=m與曲線y=f(x)交于A,B兩點，則A(x1,m),B(x2,m)，直線y=2e(x+1)與直線y=m交于點C(x3,m)，直線y=-x+1與直線y=m交于點D(x4,m)，如圖6.

圖6

解得x4=1-m.

如圖6可知，

|x1-x2|<|x3-x4|

圖7

以函數(shù)凹凸性中的切線放縮為命題背景的試題還有很多，通過以上幾道例題，不難體會函數(shù)凹凸性等相關(guān)知識的豐富性，雖然函數(shù)凹凸性不屬于高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容，將其“鑲嵌”在高中試題中可謂獨具匠心.這也表明：高等數(shù)學(xué)的相關(guān)理論是命制一些具有創(chuàng)新力與區(qū)分度試題的重要來源.若能多了解一些函數(shù)凹凸性的相關(guān)理論知識，可以“登高望遠”，便于找到問題的本質(zhì)內(nèi)涵，養(yǎng)成對試題背后的內(nèi)在關(guān)系進行分析與思考習(xí)慣.

最后提供兩個題目作為練習(xí)，以加深體會切線放縮的解題思路.

練習(xí)1(2020年哈爾濱二模理21題)已知函數(shù)f(x)=mxlnx-(m+1)lnx，f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)討論函數(shù)f′(x)的單調(diào)性；

練習(xí)2(2020年1月清華大學(xué)中學(xué)生學(xué)術(shù)能力測試理21題)已知函數(shù)f(x)=(x+1)(ex-1).

(1)求f(x)在點(-1,f(-1))處的切線方程；