七種方法求解直線方程

盧會(huì)玉

(甘肅省嘉峪關(guān)市第一中學(xué) 735100)

高考對(duì)直線方程的考查也是比較常見(jiàn)，但是一般都是選擇或者填空題.有時(shí)用相關(guān)的平面幾何的知識(shí)解決問(wèn)題是非常快捷的，有時(shí)用適合題目特點(diǎn)的一些方法也是比較合適.本文對(duì)一道涉及角平分線的題進(jìn)行了深入的分析和探究，用七種方法揭秘這種類(lèi)型問(wèn)題的解法.

1 試題呈現(xiàn)

題目已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,3),B(-2,0),C(2,0),則∠A的平分線所在直線l的方程為_(kāi)___.

2 試題解析

解法1(利用角平分線的性質(zhì)求解)易知直線AB的方程為3x-4y+6=0，直線AC的方程為x=2.

設(shè)M(x,y) 是l上任意一點(diǎn)，則由點(diǎn)M(x,y)到兩直線AB,AC的距離相等，得

化簡(jiǎn),得2x-y-1=0 ，或x+2y-8=0(易知斜率為負(fù)的舍去).

故所求直線l:2x-y-1=0.

解法2(利用角平分線的性質(zhì)及線性規(guī)劃知識(shí)求解)易知直線AB的方程為3x-4y+6=0，直線AC的方程為x=2.

化簡(jiǎn),得2x-y-1=0，即為所求.

圖1

則容易求得l:2x-y-1=0.

解法4(利用平面幾何知識(shí)求解)依題意可知，直線l必過(guò)△ABC的內(nèi)切圓的圓心，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為P，半徑為r(如圖2).

圖2

又由|AB|=5,|BC|=4,|AC|=3可知，△ABC為直角三角形.

所以P(1,1).

由直線l過(guò)P(1,1)和A(2,3)，

容易求得l:2x-y-1=0.

解法5(利用等面積法求解)依題意可知，直線l必過(guò)Rt△ABC的內(nèi)切圓的圓心，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為P，半徑為r.

由直角三角形可知

所以6r=6.即r=1.則P(1,1).

由直線l過(guò)P(1,1)和A(2,3)，

容易求得l:2x-y-1=0.

解法6(利用等面積法求解)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x0,0)，則點(diǎn)D到直線AB的距離d=|DC|=2-x0(如圖3).

圖3

又|BD|=x0+2，則

則容易求得l:2x-y-1=0.

則tan∠BAD=tan(∠ADC-∠ABD)

故所求直線l:2x-y-1=0.

以上七種解法，有的靈活運(yùn)用了角平分線的定義、點(diǎn)到直線的距離公式、線性規(guī)劃等知識(shí)；有的巧用了三角形內(nèi)角平分線和圓的切線性質(zhì)，利用了內(nèi)切圓半徑r與Rt△ABC的三邊關(guān)系；有的靈活運(yùn)用了等面積法，從而快捷地求得內(nèi)心的坐標(biāo)及直線l的方程；有的利用了三角函數(shù)知識(shí)解決了問(wèn)題.應(yīng)該說(shuō)不同的方法打開(kāi)不同的思維通道，能給人很多啟發(fā).