多視角研究一道聯(lián)考解析幾何等角題

賀鳳梅

(新疆伊犁鞏留縣高級中學(xué) 835400)

1 問題呈現(xiàn)

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)證明：∠MFN=2∠PFN.

2 總體分析

解析幾何中的角度問題有些可以轉(zhuǎn)化為斜率來處理，比如角度是與坐標(biāo)軸的夾角；也可以采用余弦定理解答；還可以利用平面向量解答；如果涉及到2倍角關(guān)系，還可以采用角平分線的性質(zhì)或到角公式來進(jìn)行求解.

3 試題解答

3.1 第(1)問解析

解析由c+a=4-c且c=1,解得a=2.

所以b2=a2-c2=3.

3.2 第(2)問解析

視角1借助直線的傾斜角與斜率的關(guān)系及正切二倍角公式解答.

解法1 由(1)知點(diǎn)A(-2,0).

結(jié)合圖1可知，

圖1

利用二倍角公式,得

①

②

所以tan∠MFN=tan(2∠PFN).

由條件知∠MFN,∠PFN∈(0,π)，

故∠MFN=2∠PFN.

評注此解法屬于常規(guī)解法，要證兩角相等，結(jié)合角的范圍，只需求兩角的正切值相等即可.而由圖象可知，兩角的正切值又與對應(yīng)直線的斜率密切相關(guān)，于是問題等價轉(zhuǎn)化為：先求相關(guān)點(diǎn)，再求出相關(guān)直線的斜率，即得兩角的正切值，最后借助正切二倍角公式進(jìn)行運(yùn)算求解即可.這種解法充分體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

視角2借助到角公式解答.

結(jié)合圖1，并利用到角公式可得

所以tan∠MFP=tan∠PFN.

結(jié)合角的取值范圍易得∠MFP=∠PFN.

從而∠MFN=2∠PFN.

評注現(xiàn)行教材對到角公式不作要求，感興趣的讀者可查閱到角公式，注意公式結(jié)構(gòu)的特征和正切差角公式一致.很多題目用此公式還是切實(shí)可行的.建議學(xué)有余力的學(xué)生掌握，并能靈活運(yùn)用.

視角3利用角平分線的性質(zhì)解答.

即y0x-(x0-1)y-y0=0.

顯然，點(diǎn)P在FM的右側(cè)，

與②聯(lián)合，x0<4，化簡，得

所以d1=d2，F(xiàn)P為∠MFN的角平分線.

所以∠MFP=∠PFN.

從而∠MFN=2∠PFN.

評注此解法結(jié)合圖象及待證結(jié)論，發(fā)現(xiàn)只要證明FP為∠MFN的角平分線即可.而根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.d2=|PN|=yP易求，求d1時，結(jié)合圖象的位置關(guān)系及x0的取值范圍，需要學(xué)生具備一定的觀察能力、邏輯推理能力和較高的運(yùn)算求解能力.

視角4借助向量的數(shù)量積解答.

③

結(jié)合②整理可得

所以等式③成立，即∠MFP=∠PFN.

從而∠MFN=2∠PFN.

評注欲證∠MFN=2∠PFN，結(jié)合圖象，即證∠MFP=∠PFN，設(shè)法找到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，得出對應(yīng)向量坐標(biāo)，由向量的數(shù)量積公式可得cos∠MFP，cos∠PFN，通過以上求解得到cos∠MFP=cos∠PFN，問題也就迎刃而解了.這也是等價轉(zhuǎn)化的思想.

在新課程背景下，課程強(qiáng)調(diào)對學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng). 在教學(xué)過程中，多視角、多策略處理問題可以調(diào)動學(xué)生的積極性，培養(yǎng)他們的思維能力，提高學(xué)習(xí)效率. 而圓錐曲線涉及的概念多、性質(zhì)多，在解答圓錐曲線類試題時經(jīng)常會有多種解答方法. 因此，在學(xué)習(xí)這部分知識的過程中，我們要重視一題多解，整合知識，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)、向量、不等式等代數(shù)問題來求解.幫助學(xué)生完備知識體系，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量，深挖他們的潛能，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì).