一道課后習(xí)題的多解與反思
——對(duì)數(shù)比較大小問題

俞文銳

(福建省福清華僑中學(xué) 350300)

對(duì)數(shù)比較大小問題是每年高考的熱點(diǎn)題型，題型雜方法多，重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想，以及數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)，那么對(duì)于底數(shù)不同、真數(shù)也不同的對(duì)數(shù)比較大小，究竟要應(yīng)用什么方法予以解決呢？本文以人教A版必修第一冊(cè)一道習(xí)題為例對(duì)該問題進(jìn)行探究.

1 試題呈現(xiàn)

例1(人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)P141拓廣探索第13題)比較log23，log34，log45的大小

2 解法探究

我們先比較log34，log45的大小.

解法1(運(yùn)用作差法+基本不等式比較大小)

解法2(運(yùn)用換底公式+糖水不等式比較大小)

解法3(運(yùn)用析整顯微法+指數(shù)式比較大小)

所以31+x=4，41+y=5.

即3x>4y.

兩邊取對(duì)數(shù)得xln3>yln4，

所以x>y.

即log34>log45.

圖1

解法4(運(yùn)用析整顯微法+圖象法比較大小)

解法5(運(yùn)用析整顯微法+放縮法比較大小)

所以log34>log45.

解法6(運(yùn)用減數(shù)法+分析法比較大小)

所以log34>log45.

解法7(構(gòu)造函數(shù)比較大小)

設(shè)函數(shù)f(x)=logx(x+1)(x>1) ，即

而函數(shù)g(x)=xlnx在 (1,+∞) 上單調(diào)遞增，

所以g(x)-g(x+1)<0, 即f′(x)<0.

所以f(x) 在 (1,+∞) 上單調(diào)遞減.

所以f(3)>f(4).

即 log34>log45.

評(píng)析通過構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，也是我們常用的一種策略，解題教學(xué)中要給予充分的關(guān)注.

3 解題反思

本題中兩個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)具有規(guī)律性，我們可以將它推廣到一般性結(jié)論.

性質(zhì)1當(dāng)a>1 時(shí)，loga(a+1)>log(a+1)(a+2).

證明由解法7已知結(jié)論成立可知命題成立.

性質(zhì)2當(dāng)11 時(shí), logab>logambm,

所以logab>logambm.

性質(zhì)3設(shè)b>a>1,n>0,m≥1, 則有

logam+n(bm+n)

則lnb-lna>ln(bm+n)-ln(am+n).

又因?yàn)?

因此logam+n(bm+n)

性質(zhì)4若10,則

logab>log(a+n)(b+n)

證明性質(zhì)3中當(dāng)m=1時(shí)，可得性質(zhì)4.

利用性質(zhì)1、性質(zhì)3、性質(zhì)4我們可以輕松獲得log23>log34>log45，對(duì)于底數(shù)、真數(shù)呈現(xiàn)以上規(guī)律的對(duì)數(shù)我們可以快速比較大小，那么對(duì)于任意的底數(shù)不同、真數(shù)也不同的對(duì)數(shù)比較大小問題，我們能否獲得一般性的結(jié)論呢.通過引例的證明方法，我們可以得到以下幾條性質(zhì).

證明logax-logby=logax-1-(logby-1)

所以①成立.

證明logax-logby=logax-N-(logby-N)

所以①成立.

性質(zhì)7若b>a>1,x,y>0則

logax0?bn-m>1

4 高考真題鏈接

例2(2013 年全國(guó)Ⅱ卷第8題) 設(shè)a=log36,b=log510,c=log714, 則( ).

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

例3(2020年全國(guó)Ⅲ卷理科第12 題)已知55<84，134<83. 設(shè)a=log53,b=log85,c=log138, 比較a,b,c的大小.

由已知可得

5ln5<4ln8,4ln13<5ln8,

所以a

所以a

比較大小問題是經(jīng)典的題型，教材中蘊(yùn)含有多種解題方法，如作差法、構(gòu)造法、單調(diào)性法、基本不等式法、不等式性質(zhì)法、分析法、中間量法、圖象法等，充分挖掘教材中的解題方法，通過一題多解教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，同時(shí)也讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到不同知識(shí)之間的緊密聯(lián)系.通過對(duì)習(xí)題的拓展，學(xué)生依據(jù)從特殊到一般的推理，從特殊的命題log34>log45出發(fā)，得到一般性的命題：若b>a>1,n>0,m≥1, 則有l(wèi)ogam+n(bm+n)