一道雙變?cè)鷶?shù)式最值的探究

王 健

(安徽省滁州中學(xué) 239000)

涉及雙變?cè)?或多變?cè)?代數(shù)式的最值或取值范圍問題是高考、自主招生以及各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的熱點(diǎn)之一．此類問題的破解方法與切入點(diǎn)多種多樣，往往能合理交匯數(shù)學(xué)知識(shí)，融合數(shù)學(xué)思想，拓展思維方法，提升數(shù)學(xué)能力，是培養(yǎng)考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一大主陣地，備受各方關(guān)注．

1 問題呈現(xiàn)

2 問題剖析

此題以雙變?cè)拇鷶?shù)式的值為條件，進(jìn)而求解其中涉及一次分式的關(guān)系式的最大值與最小值，參數(shù)不具有對(duì)稱性或輪換性，沒有特殊的規(guī)律．

結(jié)合題目條件與代數(shù)關(guān)系式的特征，可以通過(guò)換元思維(單變量換元或雙變量換元)，利用解二次不等式來(lái)達(dá)到目的；可以通過(guò)配湊思維，利用基本不等式來(lái)達(dá)到目的；可以借助不等式的性質(zhì)以及不等式的求解，借助不等式性質(zhì)達(dá)到目的；還可以通過(guò)重要不等式，利用權(quán)方和不等式來(lái)達(dá)到目的等．

3 問題解決

解法1(換元法1)結(jié)合基本不等式，可得

由柯西不等式，可得

解后反思根據(jù)題目條件中代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)巧妙換元處理，進(jìn)行整體化思維，利用條件加以代換，轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)參數(shù)的函數(shù)、方程或不等式問題，從而更加有效地利用函數(shù)性質(zhì)、方程的解或不等式的應(yīng)用等來(lái)解決代數(shù)式的最值問題．

解后反思根據(jù)題目條件中代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行合理的配湊處理，使得對(duì)應(yīng)的代數(shù)關(guān)系式更加吻合重要不等式的特征，為進(jìn)一步確定代數(shù)式的最值提供條件．配湊法處理問題時(shí)，技巧性強(qiáng)，具有一定的“設(shè)計(jì)”性與目的性，對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理以及數(shù)學(xué)思想方法的要求非常高．

利用基本不等式，可得

3.1 煙農(nóng)文化水平低、種植分散管理困難 該研究中煙農(nóng)以中青年男性為主，整體文化程度低，大部分人只有初中及以下學(xué)歷。煙農(nóng)文化素養(yǎng)低，雖然參加過(guò)一些相關(guān)培訓(xùn)，但在實(shí)際操作中，并沒有嚴(yán)格遵守規(guī)定，缺乏用藥安全意識(shí)，不能做到科學(xué)用藥。全州種煙農(nóng)戶以5年以上的小面積煙農(nóng)為主，僅有岑鞏縣地區(qū)3.3 hm2以上大戶比較多，因戶均面積小、烤煙種植較分散、管理難度大，難以有效監(jiān)督農(nóng)藥使用情況，容易造成農(nóng)藥殘留。

解后反思根據(jù)題目條件中代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)所求的代數(shù)關(guān)系式進(jìn)行整體化思維，綜合利用代數(shù)關(guān)系式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，以及基本不等式的應(yīng)用、二次不等式的求解等，綜合不等式的性質(zhì)等來(lái)巧妙處理，實(shí)現(xiàn)問題的巧妙轉(zhuǎn)化與應(yīng)用．

化簡(jiǎn)，得2(a+2b)2-13(a+2b)+18≤0.

解后反思根據(jù)題目條件中代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合代數(shù)式的合理化歸與轉(zhuǎn)化，借助一些常見的重要不等式(柯西不等式、權(quán)方和不等式、排序不等式等)來(lái)分析與處理．

4 變式拓展

探究1保留原來(lái)題目的條件，將求解相關(guān)代數(shù)式的“最大值與最小值之和”問題變?yōu)榍蠼狻白畲笾怠被颉白钚≈怠眴栴}．

解后反思根據(jù)以上變式問題的創(chuàng)設(shè)，只求出相應(yīng)代數(shù)關(guān)系式的最大值或最小值，目標(biāo)更加直接，難度也有所降低，比較吻合中等學(xué)生的能力范圍．

解析結(jié)合基本不等式，可得

解后反思這里只是以上變式問題的一種解析方法，還可以參照原問題的不同解析思維與方法，同樣可以用來(lái)解決該變式問題，這里不多加以敘述．

5 教學(xué)啟示

5.1 通技通法，技巧策略

破解雙變?cè)鷶?shù)式的最值問題，關(guān)鍵是利用題目條件，通過(guò)合理配湊與巧妙轉(zhuǎn)化，借助基本不等式以及柯西不等式、權(quán)方和不等式等一些重要不等式來(lái)確定最值問題．而其他的技巧方法，如換元、配湊、不等式求解等方法的應(yīng)用，是在整體思維下的一點(diǎn)靈活變通與創(chuàng)新．

5.2 思維視角，能力提升

具體解決涉及雙變?cè)鷶?shù)式的最值(最大值或最小值)或取值范圍問題，破解思維各異，但一些基本的破解思維和常見方法值得我們系統(tǒng)掌握，并在此基礎(chǔ)上舉一反三、融會(huì)貫通、深化思維、巧妙轉(zhuǎn)化、合理應(yīng)用，學(xué)會(huì)變式拓展，發(fā)散數(shù)學(xué)思維，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣與思維方式，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)．