“不聯(lián)立”解決一類圓錐曲線中直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

魏東升

(福建省廈門雙十中學(xué)漳州校區(qū) 363107)

圓錐曲線定點(diǎn)問(wèn)題一直是高考的重點(diǎn)熱點(diǎn)問(wèn)題，對(duì)于這類問(wèn)題需要考生掌握扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本的解題方法.直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常見(jiàn)的解題方法主要有兩種：一種是通過(guò)引進(jìn)參數(shù)表示出直線經(jīng)過(guò)的兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，再由這兩點(diǎn)確定直線的方程，從而經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到直線的定點(diǎn)；另一種是直接假設(shè)出直線的方程，然后和圓錐曲線聯(lián)立，再利用韋達(dá)定理找出直線中參數(shù)的關(guān)系，從而得到直線的定點(diǎn). 這兩種方法一般都有聯(lián)立所設(shè)直線和圓錐曲線方程，計(jì)算量很大，不易找到定點(diǎn).本文專注于“不聯(lián)立”的思路來(lái)找直線過(guò)的定點(diǎn)，所給的解決方案具有普遍性：

1 “不聯(lián)立”與橢圓

(1)求C的方程；

(2)點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，點(diǎn)D為垂足.證明：存在定點(diǎn)Q，使得DQ為定值.

以下對(duì)第(2)問(wèn)進(jìn)行探究：

直線過(guò)定點(diǎn)(x0,y0)的問(wèn)題，常通過(guò)假設(shè)直線的截距式y(tǒng)=kx+b方程，進(jìn)而找到方程系數(shù)之間的關(guān)系來(lái)求得定點(diǎn)，這種解法是一種常用的方法，也是高考參考答案給出的方法.但許多考生并不能準(zhǔn)確找到系數(shù)之間的關(guān)系，而且有的問(wèn)題并不能用這種方法.這個(gè)時(shí)候我們可以嘗試采用另一種思路：

假設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)，當(dāng)直線AM，AN的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AM的方程為y=k(x-2)+1.

因?yàn)锳M⊥AN，所以直線AN的方程為

(1+2k2)x2-(8k2-4k)x+8k2-8k-4=0.

所以直線MN的方程為

與第一種思路相比，這種假設(shè)直線的方法相對(duì)更自然，但最后一步要準(zhǔn)確找到直線的定點(diǎn)卻并不容易，我們來(lái)看“不聯(lián)立”的解決辦法：

整理,得

2x1y2-x2y1-4y2-2y1+2x1+x2-2=0.

同理可得2x2y1-x1y2-4y1-2y2+2x2+x1-2=0.

兩式作差,得

3(x1y2-x2y1)-2(y2-y1)+x1-x2=0.

所以直線MN的方程為

2 “不聯(lián)立”與雙曲線

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)證明：直線MN必過(guò)定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)坐標(biāo).

對(duì)于第(2)問(wèn)，常規(guī)思路是通過(guò)假設(shè)直線AB，CD的方程，分別和雙曲線聯(lián)立可得M，N的坐標(biāo)，從而用點(diǎn)斜式的方式得到定點(diǎn)，這個(gè)時(shí)候還要考慮直線AB，CD和坐標(biāo)軸平行的情況.我們來(lái)看“不聯(lián)立”的解決辦法：

作差變形,得

整理,得3x1y2+x2y1-6y2=0.

同理可得3x2y1+x1y2-6y1=0.

兩式作差,得

x1y2-x2y1=3(y2-y1).

所以直線MN的方程為

所以直線MN過(guò)定點(diǎn)E(3,0).

3 “不聯(lián)立”與拋物線

(1)若P(1，1)是AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程；

(2)若k1+k2=1，證明：直線MN必過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo).

解析對(duì)于第(1)問(wèn)，由題意可得拋物線y2=2x，利用點(diǎn)差法可得直線AB的方程為y=x.

對(duì)于第(2)問(wèn)，其和例2中的雙曲線一樣，都是弦中點(diǎn)連線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的.我們來(lái)看“不聯(lián)立”的解決辦法：

整理,得x1y2=x1-1+y1y2.

同理可得：x2y1=x2-1+y1y2.

兩式作差,得x1y2-x2y1=x1-x2.

所以直線MN的方程為

所以直線MN過(guò)定點(diǎn)E(0,1).

需要指出的是，例1中的點(diǎn)A(2,1)在橢圓上，所以是利用橢圓方程轉(zhuǎn)化斜率之間的關(guān)系.而例2和例3中的點(diǎn)雖然不在橢圓上，但都是中點(diǎn)，故而可以用點(diǎn)差法的思路迅速得到斜率之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系.

圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題在高考中有廣泛的應(yīng)用，像這樣以小專題的形式介紹圓錐曲線中存在的問(wèn)題，短、平、快地一次性徹底地解決與其有關(guān)的問(wèn)題，對(duì)學(xué)生解題水平的訓(xùn)練、思維能力的培養(yǎng)和學(xué)科素養(yǎng)的提升，想來(lái)都是極好的.