首都師范大學(xué)附屬順義實驗小學(xué) 任志梅 史 頌

《義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中明確指出：“教學(xué)時要注意揭示知識間的內(nèi)在聯(lián)系。”而多年來我國一線數(shù)學(xué)教師熱衷于課時設(shè)計，較少在整體視角下進(jìn)行單元備課。這就導(dǎo)致教師更多關(guān)注孤立的知識點，忽視知識間的內(nèi)在聯(lián)系，缺乏對數(shù)學(xué)知識的整體結(jié)構(gòu)認(rèn)識，滿足于一課時的活動設(shè)計，忽略甚至局限了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，育人價值的滲透、核心素養(yǎng)的培養(yǎng)容易流于紙上談兵。

2017年，崔允漷教授在第十五屆上海國際課程論壇上做了題為《試論核心素養(yǎng)的課程發(fā)展意義》的報告，報告指出，指向核心素養(yǎng)的課程發(fā)展給我們帶來一個變化——只有當(dāng)我們在設(shè)計一個單元的時候，才能看到價值觀念。

整體視角下的單元教學(xué)指從數(shù)學(xué)知識體系高度“結(jié)構(gòu)化”的特點和學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成、發(fā)展規(guī)律出發(fā)，對教材的表層結(jié)構(gòu)和深層結(jié)構(gòu)進(jìn)行提煉和組織，通過自主探究、自我提煉和反思逐步內(nèi)化為學(xué)生學(xué)習(xí)的方法結(jié)構(gòu)，成為新的學(xué)習(xí)工具，進(jìn)而更好地實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科獨特的育人價值。

一、 整體把握教材結(jié)構(gòu)，找準(zhǔn)知識和能力的鏈接點

數(shù)學(xué)知識是有著內(nèi)在聯(lián)系的有機(jī)整體，在實際教學(xué)中，一些教師往往只關(guān)注一冊教材的內(nèi)容、一個例題的教學(xué)目標(biāo)，缺乏對教材內(nèi)容的整體架構(gòu)。于是教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)只顧眼前不顧兩頭或找不準(zhǔn)起點和落腳點的現(xiàn)象，導(dǎo)致一個內(nèi)容或一類知識的教學(xué)缺乏層次性和銜接性。例如，小數(shù)的初步認(rèn)識和小數(shù)的意義的解耦、教學(xué)重點是什么，兩次學(xué)習(xí)小數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別是什么，這就要求老師們能整體把握教材。

整體把握教材并不是簡單地把各冊或者各個章節(jié)的內(nèi)容匯集到一起，而是要看內(nèi)容有了哪些變化、哪些發(fā)展，最終幫助學(xué)生建立一個完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

案例：整體把握“除數(shù)是兩位數(shù)除法”

“除數(shù)是兩位數(shù)除法”被稱為整數(shù)四則運算的“收官之作”，顧名思義，這是整數(shù)運算教學(xué)的最后部分內(nèi)容，通過整數(shù)運算的知識體系我們也能看到這一點。

圖1

（一）把握教材的整體結(jié)構(gòu)，找準(zhǔn)知識鏈接點

圖2

運算教學(xué)依賴兩個重要內(nèi)容：運算意義和數(shù)意義。

聚焦到“除數(shù)是兩位數(shù)除法”，對數(shù)的意義的學(xué)習(xí)，學(xué)生學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容之前，通過20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識、百以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識、萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識以及大數(shù)的認(rèn)識，建立了較為完整的數(shù)概念體系，對數(shù)位、計數(shù)單位、十進(jìn)制、位值等知識有了一個更全面的認(rèn)知理解。數(shù)概念的完整體系為除數(shù)是兩位數(shù)的學(xué)習(xí)打下了堅實的基礎(chǔ)。

“除數(shù)是兩位數(shù)除法”是學(xué)生第四次學(xué)習(xí)整數(shù)除法，在二上學(xué)習(xí)表內(nèi)除法、二下學(xué)習(xí)有余數(shù)的除法時，利用口訣求商，初步掌握了豎式結(jié)構(gòu)。三上學(xué)習(xí)除數(shù)是一位數(shù)的除法，主要突破兩層豎式結(jié)構(gòu)，理解除法豎式的算理。至此學(xué)生已經(jīng)掌握了豎式除法的基本方法，如從高位除起，除的過程中要看被除數(shù)的前一位或前兩位；除到哪一位，商就寫到哪一位；余數(shù)必須比除數(shù)小。但是學(xué)生接觸的除法都可以利用口訣求商，而當(dāng)除數(shù)變?yōu)閮晌粩?shù)時，乘法口訣已經(jīng)無法再施展了，對于學(xué)生而言這樣的進(jìn)階學(xué)習(xí)跨度比較大，得到商的過程也比較復(fù)雜，常常不但需要試商，還需要調(diào)商。

（二）挖掘教材中承載的育人價值，找準(zhǔn)能力鏈接點

通過對比除數(shù)是一位數(shù)除法和除數(shù)是兩位數(shù)除法在能力目標(biāo)體系中關(guān)于知識內(nèi)容應(yīng)該培養(yǎng)的能力以及相應(yīng)的水平可以清晰地看到：除數(shù)是一位數(shù)除法在知識上要求掌握一位數(shù)除多位數(shù)的筆算方法，會用乘法驗算除法，在此過程中培養(yǎng)學(xué)生的運算能力、推理能力以及發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力。而除數(shù)是兩位數(shù)除法除了讓學(xué)生會算以外，還要能通過自主探究算理和算法對運算結(jié)果進(jìn)行檢驗。可以看到知識上的要求提高了，相對應(yīng)的能力方面的要求也大大提高。尤其是增加的分析解決問題的能力、評價反思的能力以及創(chuàng)新能力，均要求學(xué)生遇到新問題時能獨立思考，并且能綜合運用所學(xué)知識解決。這也正是除法收官于此的主要原因，正是因為具備了這些能力，在除數(shù)是兩位數(shù)除法中積累的經(jīng)驗，對算理和算法的深刻理解，對試商、調(diào)商方法的掌握，完全可以通過類比遷移到除數(shù)是三位數(shù)甚至更多位數(shù)的學(xué)習(xí)，另外整數(shù)除法的學(xué)習(xí)經(jīng)驗也可以遷移到小數(shù)除法。

所以，這一單元雖然是小學(xué)階段整數(shù)四則運算的收官，卻更需要在教學(xué)中重視學(xué)生的能力培養(yǎng)。

對同一主題的教學(xué)內(nèi)容，教師可以對小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行系統(tǒng)梳理，了解數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的順序以及在不同學(xué)段、不同年級的分布情況。只有這樣，教師才能了解所教內(nèi)容是在怎樣的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，為后續(xù)所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容做了怎樣的準(zhǔn)備，做到瞻前顧后。

表1 “除數(shù)是一位數(shù)除法”和“除數(shù)是兩位數(shù)除法”能力目標(biāo)體系

二、 精準(zhǔn)把脈認(rèn)知結(jié)構(gòu)，突破學(xué)生難點

“單元教學(xué)”是立足具體學(xué)情，對一個（或幾個）單元教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行規(guī)劃，整體性、結(jié)構(gòu)性、系統(tǒng)性地安排后展開的教學(xué)，而這些取舍規(guī)劃的前提一定是立足具體的學(xué)情。奧蘇伯爾也認(rèn)為，影響學(xué)習(xí)的最重要的因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么。由此可見學(xué)情分析的重要性。學(xué)情分析并不僅僅包括教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時對學(xué)生學(xué)習(xí)情況的簡單分析，還包括對學(xué)生數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)需要、認(rèn)知發(fā)展水平與風(fēng)格、內(nèi)心想法等的分析。

[案例]：“除數(shù)是兩位數(shù)除法”學(xué)情調(diào)研

核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的教學(xué)，需要對學(xué)情進(jìn)行合理分析。學(xué)情分析可以從已有的認(rèn)知和學(xué)習(xí)過程中會遇到的難題兩方面展開。

“除數(shù)是兩位數(shù)除法”設(shè)計的前測題目分為兩個：一個是有情境的除數(shù)是兩位數(shù)除法問題，目的是考查學(xué)生面對新問題時能否運用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解決；另一個是去情境化問題，用豎式計算924÷6、964÷18，目的是一方面了解學(xué)生的知識基礎(chǔ)，另一方面考查學(xué)生能否將除數(shù)是一位數(shù)除法的算理進(jìn)行遷移解決新問題。

前測1：把336元平均分給14個小朋友，每人得到多少元？

圖3

通過前測，學(xué)生有遷移舊知識解決問題的意識，絕大部分都是利用拆分進(jìn)行計算，這是學(xué)生將除數(shù)是一位數(shù)除法和整數(shù)乘法的計算經(jīng)驗進(jìn)行了遷移。但絕大部分學(xué)生對究竟是拆除數(shù)還是拆被除數(shù)不清晰。這是整數(shù)乘法對學(xué)生造成的負(fù)遷移，因為整數(shù)乘法計算時拆哪個因數(shù)都可以，所以究竟拆誰進(jìn)行計算是學(xué)生的一個困難點。

前測2：用豎式計算924÷6、964÷18。

42名學(xué)生答題情況如下：

表2

學(xué)生主要答案如下：

圖4

通過前測結(jié)果可以看到，42名學(xué)生中95.24%對除數(shù)是一位數(shù)除法掌握扎實，能熟練地講出除數(shù)是一位數(shù)筆算除法的算理。學(xué)生的前期基礎(chǔ)非常扎實。

而面對除數(shù)是兩位數(shù)時，乘法口訣無法再施展了，學(xué)生有遷移除數(shù)是一位數(shù)筆算除法解決問題的意識。但是45.24%的學(xué)生表示并沒有快速找到初商的方法，嘗試的過程很慢，有的甚至需要嘗試很多次才能得到，學(xué)生的困難主要集中在如何確定商的位置以及商的大小如何快速地確定。試商的方法是將除數(shù)看成整十?dāng)?shù)，利用乘法口訣得到初商。這就是學(xué)生需要突破的困難點。讓學(xué)生經(jīng)歷得到初商由慢到快的過程，才能更好地積累活動經(jīng)驗，能力才得以發(fā)展。

三、立足單元結(jié)構(gòu)備課，設(shè)計挑戰(zhàn)任務(wù)

小學(xué)數(shù)學(xué)教材由一個個相對獨立的單元構(gòu)成，同一單元中的新知識又是按照一定的邏輯順序編寫，從而可以在單元學(xué)習(xí)的過程中讓學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。但學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動地進(jìn)行觀察、實驗、猜想、推理與交流等數(shù)學(xué)活動。所以挖掘數(shù)學(xué)知識的核心內(nèi)涵需要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，已有的知識經(jīng)驗、思維方式對教材進(jìn)行充實和調(diào)整，適當(dāng)整合相關(guān)內(nèi)容，從而使教材展現(xiàn)出生機(jī)與活力。

[案例]：“除數(shù)是兩位數(shù)除法”單元設(shè)計思路

“除數(shù)是兩位數(shù)除法” 共包含7個例題：

例1：兩位數(shù)除以兩位數(shù)，商是一位數(shù)的口算除法

例2：三位數(shù)除以整十?dāng)?shù)的筆算除法

例3：兩位數(shù)除以兩位數(shù)，可以直接試商的筆算除法

例4：三位數(shù)除以兩位數(shù)，商是一位數(shù)，需要試商的筆算除法

例5：三位數(shù)除以兩位數(shù)，商是一位數(shù)，需要試商并調(diào)商的筆算除法

例6：三位數(shù)除以兩位數(shù)，商是兩位數(shù)，并安排驗算的筆算除法

例7：三位數(shù)除以兩位數(shù)的估算

教材編排的順序是先講口算，這對于學(xué)生而言并不困難，因為可以借助口訣求商。例2講解的是除數(shù)是整十?dāng)?shù)的筆算除法，這對于學(xué)生而言并不是很困難，因為仍然可以利用口訣進(jìn)行求商。我們都知道當(dāng)除數(shù)是一般兩位數(shù)時，需要將除數(shù)用“四舍五入”法估成整十?dāng)?shù)進(jìn)行求商，于是例2的講解就為后續(xù)學(xué)習(xí)試商做了鋪墊。例3、例4、例5、例6五個例題的學(xué)習(xí)主要是圍繞當(dāng)被除數(shù)是兩位數(shù)或者三位數(shù)，除數(shù)是兩位數(shù)時，學(xué)生利用筆算除法求商、試商、調(diào)商進(jìn)行的，其實不管被除數(shù)、商是幾位數(shù)，學(xué)生試商、調(diào)商的方法都是一樣的，可以遷移進(jìn)行學(xué)習(xí)。其實通過試得到商對學(xué)生而言并不難，難的是為什么要將除數(shù)估成整十?dāng)?shù)，只要弄清楚這一點，無論將來除數(shù)變成幾位數(shù)，學(xué)生都可以調(diào)用之前除數(shù)是兩位數(shù)除法的經(jīng)驗進(jìn)行解決。

教材的安排將學(xué)生的難點用7個例題進(jìn)行分散，循序漸進(jìn)逐一擊破。而依據(jù)前面對學(xué)生的分析，學(xué)生最困難的地方就是要將除數(shù)是一般兩位數(shù)的問題納入能利用乘法口訣的問題中來，而這個過程一定要慢下腳步，讓學(xué)生親自經(jīng)歷猜想、嘗試、推理等一系列的活動，才可能積累起解決問題的經(jīng)驗，真正具備解決除數(shù)是多位數(shù)的能力。

基于以上分析，本單元共設(shè)計三節(jié)核心課，每一節(jié)課上都給學(xué)生富有挑戰(zhàn)性的任務(wù)，在這樣的過程中培養(yǎng)學(xué)生的能力。

第一課時：多種方法解決除數(shù)是兩位數(shù)除法，讓學(xué)生利用分與合的經(jīng)驗進(jìn)行拆分解決，轉(zhuǎn)化為學(xué)過的知識。同時利用直觀學(xué)具進(jìn)行自主研究，理解拆分被除數(shù)而不能拆分除數(shù)的道理。

【挑戰(zhàn)性任務(wù)】利用點子圖研究：被除數(shù)和除數(shù)究竟該拆誰呢？

【設(shè)計意圖】此環(huán)節(jié)讓學(xué)生自主計算336÷14，讓學(xué)生充分經(jīng)歷算法多樣化的過程，體會分與合思想在計算中的應(yīng)用。同時點子圖清楚明白地解釋拆除數(shù)不可行、拆被除數(shù)可行的道理，讓學(xué)生真正理解了其中的道理，做到知其然更知其所以然。

圖5

第二課時是在第一課時的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)除數(shù)是兩位數(shù)除法的筆算。學(xué)生在第一課時已經(jīng)明確不能將除數(shù)進(jìn)行拆分的道理，那如何確定商的大小以及位置就是本節(jié)課的重點。學(xué)生會經(jīng)歷想辦法得到商到快速得到的商的過程，這種由慢到快的轉(zhuǎn)變便是將除數(shù)估成整十?dāng)?shù)試商的道理。

【挑戰(zhàn)性任務(wù)】如何確定商是幾？有沒有快速得到商的方法呢？

【設(shè)計意圖】利用舊知解決商是幾的問題，學(xué)生自己感覺這樣計算太慢，太麻煩，為尋求簡單的做法激發(fā)探究的興趣。學(xué)生經(jīng)歷將除數(shù)看成接近的整十?dāng)?shù)試商的過程，突破學(xué)生難點，對接兒童利用口訣求商的經(jīng)驗。

第三課時在前兩課時的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生經(jīng)歷調(diào)商的過程，明確商往大調(diào)還是往小調(diào)的道理。

【挑戰(zhàn)性任務(wù)】判斷商偏大還是偏小，如何進(jìn)行調(diào)整？

【設(shè)計意圖】學(xué)生在自主嘗試解決問題的過程中，理解初商偏大或偏小的原因，掌握調(diào)商的方法。

當(dāng)然三個課時對這個單元來講是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，節(jié)省出來的課時可以加入適當(dāng)?shù)木毩?xí)課以及關(guān)于整數(shù)計算的復(fù)習(xí)課，幫助學(xué)生建立完整的、系統(tǒng)的知識體系。

葉圣陶先生指出：“教材只是一個例子?！痹谡w視角下進(jìn)行單元備課時，教師要整體把握教材，把脈學(xué)情，對數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行創(chuàng)造性實踐，才能真正將數(shù)學(xué)的教與學(xué)落實到培養(yǎng)學(xué)生素養(yǎng)上來。