融合物理的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法在流場(chǎng)重建中的應(yīng)用

堯少波，何偉峰，陳麗華，吳昌聚，陳偉芳

(浙江大學(xué) 航空航天學(xué)院，杭州 310027)

0 引 言

流體力學(xué)研究方法隨研究工具的發(fā)展不斷創(chuàng)新和變革，計(jì)算機(jī)的發(fā)展促使流體力學(xué)的研究方法從最開(kāi)始的理論推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)?zāi)M逐漸轉(zhuǎn)向借助計(jì)算機(jī)對(duì)流體力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值建模，這一轉(zhuǎn)變直接導(dǎo)致計(jì)算流體力學(xué)（computational fluid dynamics, CFD）這一學(xué)科的出現(xiàn)。人工智能（artificial intelligence, AI）被稱為第四次工業(yè)革命的催化劑，是21 世紀(jì)被廣泛提及的一個(gè)名詞。AI 依靠大數(shù)據(jù)和優(yōu)秀的算法不斷為傳統(tǒng)領(lǐng)域賦能，突破傳統(tǒng)領(lǐng)域的技術(shù)壁壘。流體力學(xué)作為經(jīng)典學(xué)科，AI 能否為其帶來(lái)新的活力？2019 年以來(lái)，流體力學(xué)智能化這個(gè)名詞逐漸在會(huì)議和文章中被提及，越來(lái)越多的研究人員開(kāi)始關(guān)注流體力學(xué)智能化這一領(lǐng)域。張偉偉[1]對(duì)流體力學(xué)智能化問(wèn)題進(jìn)行了系統(tǒng)性地歸納和總結(jié)，將其主要內(nèi)容分為三部分：1）流體力學(xué)理論和方法的智能化，探索融合經(jīng)典流體力學(xué)理論和人工智能算法的新理論，以解決經(jīng)典方法存在的問(wèn)題和不足；2）流動(dòng)信息特征提取與融合的智能化，流體力學(xué)數(shù)據(jù)繁多復(fù)雜，人類大腦難以從這么龐大的數(shù)據(jù)信息中發(fā)掘一些有價(jià)值的信息，相反人工智能算法恰恰非常適合處理大數(shù)據(jù)問(wèn)題，因此使用基于人工智能的算法可以挖掘和融合不同來(lái)源的流體數(shù)據(jù)信息；3）多學(xué)科、多場(chǎng)耦合模型的智能化，人工智能可以充當(dāng)一種粘合劑將經(jīng)典流體力學(xué)、計(jì)算機(jī)和自動(dòng)控制學(xué)科緊密地聯(lián)系起來(lái)，從而做到多學(xué)科之間的相互交融和協(xié)作。對(duì)此，國(guó)內(nèi)外研究者們?cè)诮陂_(kāi)展了廣泛的研究與探索，如應(yīng)用人工智能技術(shù)研究湍流模型[2-7]，以及在飛行器設(shè)計(jì)中的應(yīng)用研究[8]。

流體力學(xué)智能化需要在經(jīng)典流體力學(xué)研究方法和成果的基礎(chǔ)上結(jié)合人工智能技術(shù)，流體力學(xué)大數(shù)據(jù)小樣本的學(xué)科特點(diǎn)和背景是機(jī)器學(xué)習(xí)建模時(shí)需要考慮的客觀問(wèn)題。當(dāng)前流體力學(xué)智能化的核心內(nèi)容或許是提升人工智能賦能流體力學(xué)的可解釋性，探索流體力學(xué)新的物理內(nèi)涵和認(rèn)知。因此，人工智能給流體力學(xué)的發(fā)展提供新的研究范式，流體力學(xué)為人工智能的發(fā)展提供足夠復(fù)雜的研究對(duì)象，使傳統(tǒng)學(xué)科和新型學(xué)科交叉融合相互促進(jìn)。

物理問(wèn)題尤其是流體力學(xué)問(wèn)題其數(shù)據(jù)之間的隱含規(guī)律復(fù)雜多變，這導(dǎo)致傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)模型在發(fā)掘數(shù)據(jù)之間的隱含規(guī)律時(shí)其表現(xiàn)往往差強(qiáng)人意。但是流體力學(xué)中的數(shù)據(jù)往往存在控制方程形式的約束，因此如何充分利用數(shù)據(jù)的約束方程作為機(jī)器學(xué)習(xí)模型的先驗(yàn)知識(shí)是改善機(jī)器學(xué)習(xí)解決物理問(wèn)題的重點(diǎn)。融合物理先驗(yàn)知識(shí)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法（physical-informed neural network, PINN）算法自Karniadakis[9]提出以來(lái)就受到廣泛的關(guān)注和探索。作為一種融合物理方程信息的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，它既擁有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的強(qiáng)大學(xué)習(xí)能力，又能結(jié)合學(xué)科背景使其網(wǎng)絡(luò)模型具備可解釋性。本文結(jié)合課題組近期工作，以三維超聲速可壓縮槽流和不可壓縮圓柱繞流為例，介紹PINN 算法的原理及其在求解N-S 方程、預(yù)測(cè)流動(dòng)參數(shù)、確定方程待定系數(shù)的機(jī)理和可行性。

1 PINN 原理

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)屬于參數(shù)模型（圖1），使用多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建輸入特征 (x,y,t)和 輸出特征u的 函數(shù)關(guān)系gNN：

圖1 傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型Fig. 1 Traditional neural network

并通過(guò)最小化輸出的預(yù)測(cè)值和真實(shí)值之間的均方誤差Loss 指導(dǎo)自身的訓(xùn)練：

傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法從數(shù)據(jù)中發(fā)掘隱含的相關(guān)關(guān)系，當(dāng)數(shù)據(jù)量有限時(shí)，使用梯度下降計(jì)算網(wǎng)絡(luò)參數(shù)ω時(shí)極有可能陷入局部最優(yōu)的困境。而針對(duì)物理信息的學(xué)習(xí)，多數(shù)場(chǎng)景都有已知的控制方程約束，因此訓(xùn)練時(shí)通過(guò)添加約束神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入和輸出之間的控制方程關(guān)系可以賦予神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)之間的先驗(yàn)知識(shí)。PINN 網(wǎng)絡(luò)便是這樣一種融合偏微分方程的特殊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，其結(jié)構(gòu)如圖2 所示。

圖2 PINN 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig. 2 Physical-informed neural network

首先，PINN 與傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，增加了將網(wǎng)絡(luò)輸出作為輸入附加約束的偏微分方程的步驟。偏微分方程的形式復(fù)雜多樣，考慮偏微分方程的一般形式：

PINN 假設(shè)存在函數(shù)f：

綜上，通過(guò)對(duì)比圖1 和圖2 所示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、損失函數(shù)Loss 和網(wǎng)絡(luò)參數(shù) ω的優(yōu)化過(guò)程發(fā)現(xiàn)：PINN 并未比傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)額外增加需要學(xué)習(xí)的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，因此如果把PINN 學(xué)習(xí)到的參數(shù)組合復(fù)制給傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)后，兩者的預(yù)測(cè)結(jié)果將一致，似乎表明傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也能達(dá)到和PINN 一樣的預(yù)測(cè)結(jié)果。但實(shí)驗(yàn)證實(shí)PINN 方法的預(yù)測(cè)結(jié)果要優(yōu)于傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)結(jié)果，究其原因是PINN 方法通過(guò)增加控制方程約束降低了網(wǎng)絡(luò)參數(shù) ω陷入局部最優(yōu)的可能性，從而獲得更好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型參數(shù)組合。

2 PINN 方法的應(yīng)用

由于PINN 融合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和偏微分方程，發(fā)掘樣本數(shù)據(jù)之間的潛在規(guī)律，因此PINN 方法的應(yīng)用前景十分廣泛。結(jié)合筆者近期的研究工作，對(duì)其目前主要應(yīng)用進(jìn)行介紹。

2.1 PINN 解偏微分方程

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法求解偏微分方程的核心思想是：利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和符合偏微分性質(zhì)的樣本數(shù)據(jù)逼近數(shù)據(jù)所在區(qū)域偏微分方程的顯式形式。偏微分方程可以用來(lái)描述系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律，因此物理問(wèn)題的大多數(shù)控制方程是以偏微分方程形式存在。偏微分方程由于多變量耦合，常常難以獲得精確的數(shù)學(xué)顯式解，因此偏微分方程解的存在性和偏微分方程的求解一直是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的熱點(diǎn)[10-12]。

雖然一般情況下偏微分方程難以獲得精確解，但是借助數(shù)值方法可以求解離散網(wǎng)格上變量狀態(tài)，借此可以獲得大量符合偏微分性質(zhì)的網(wǎng)格點(diǎn)上的數(shù)據(jù)。接著利用這些數(shù)據(jù)進(jìn)行機(jī)器學(xué)習(xí)訓(xùn)練，從而能夠獲得滿足偏微分形式表征物理量隱含關(guān)系的機(jī)器學(xué)習(xí)模型。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為一種強(qiáng)大的數(shù)據(jù)分析算法，在發(fā)掘數(shù)據(jù)之間隱含的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題上發(fā)揮巨大的作用，理論證明多層非線性激活函數(shù)組成的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠逼近任意的函數(shù)關(guān)系[13]。近年來(lái)用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等機(jī)器學(xué)習(xí)方法構(gòu)造有效的物理模型一直是研究熱點(diǎn)[14]，在PINN 之前，主要是用約束神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解偏微分方程，采用數(shù)值微分的方式[9]。與之不同的是，PINN 的特點(diǎn)是用誤差的形式將物理控制方程融合入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，某種程度上與迭代 Krylov 線性解算器相似，其主要優(yōu)點(diǎn)是采用自動(dòng)微分的方式求解微分方程[15-16]。PINN 求解偏微分方程模型結(jié)構(gòu)如圖3[17]。

圖3 PINN 求解偏微分方程模型結(jié)構(gòu)[17]Fig. 3 PINN model structure for solving partial differential equations[17]

將時(shí)空坐標(biāo)輸入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，經(jīng)過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算輸出控制方程物理量。將輸出的物理量與訓(xùn)練樣本的標(biāo)簽物理量分別帶入偏微分方程、邊界條件（boundary condition，BC）約束以及初始條件（initial condition，IC）約束，并通過(guò)兩者之間的差異構(gòu)建損失函數(shù)，通過(guò)最小化損失函數(shù)調(diào)節(jié)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)神經(jīng)元之間的連接權(quán)重以達(dá)到訓(xùn)練收斂。

由于偏微分方程在其定義域與值域的關(guān)系數(shù)量是無(wú)限的，在整個(gè)域上進(jìn)行訓(xùn)練約束是不現(xiàn)實(shí)的，所以只能取定義域與值域上離散的映射關(guān)系（訓(xùn)練數(shù)據(jù)）進(jìn)行訓(xùn)練。訓(xùn)練樣本的選取關(guān)系到模型的泛化性能，選取的樣本分布盡可能地涵蓋所研究的偏微分方程在其定義域與值域映射關(guān)系中所有關(guān)系特征，可以大大提升模型的泛化能力。

同理，邊界條件的泛化性能也應(yīng)考慮對(duì)不同邊界條件函數(shù)的映射關(guān)系的特征分布進(jìn)行訓(xùn)練樣本選取，例如壁面上不同區(qū)域的時(shí)空坐標(biāo)與物理量值的映射關(guān)系的特征選取。

2.2 PINN 在流場(chǎng)重建中的應(yīng)用

流場(chǎng)重建指充分利用流場(chǎng)的已知信息或可觀測(cè)信息挖掘流場(chǎng)未知信息或不可觀測(cè)信息。實(shí)驗(yàn)是解決CFD 和理論分析無(wú)法解決的流體力學(xué)問(wèn)題的最后手段，但是實(shí)驗(yàn)通常只能獲得有限的、可觀測(cè)的數(shù)據(jù)樣本，因此想要獲取全流場(chǎng)的流動(dòng)信息進(jìn)行更細(xì)致地研究就需要涉及到流場(chǎng)重建，包括：1）基于流場(chǎng)快照的速度場(chǎng)構(gòu)建；2）基于流場(chǎng)速度場(chǎng)的其他流動(dòng)信息構(gòu)建，比如壓力場(chǎng)；3）基于稀疏流場(chǎng)和噪聲流場(chǎng)的信息重建等。如何有效解決這些問(wèn)題是獲得高精度實(shí)驗(yàn)結(jié)果必須解決的難題。

針對(duì)特定流場(chǎng)重建已發(fā)展出各種算法，例如利用圖像信號(hào)處理方法對(duì)原始流場(chǎng)圖像進(jìn)行圖像增強(qiáng)和去噪后獲得高質(zhì)量圖像；運(yùn)用相關(guān)法和光流法從PIV（particle image velocity，PIV）流場(chǎng)快照中提取出速度場(chǎng)信息后，有限容積法、直接積分法和泊松公式能結(jié)合不可壓縮流動(dòng)的速度場(chǎng)重建壓力場(chǎng)[18]；本征正交分解（POD）方法對(duì)稀疏流場(chǎng)進(jìn)行模態(tài)分解后重組模態(tài)基完成稀疏流場(chǎng)的重建等。這些方法都各有優(yōu)勢(shì)和局限，相關(guān)法和光流法其原理基于圖像信號(hào)，缺乏流體力學(xué)先驗(yàn)信息約束，因此對(duì)實(shí)驗(yàn)圖像質(zhì)量要求苛刻。有限容積法、直接積分法和泊松法通過(guò)處理不可壓縮N-S 方程后，求解壓力梯度獲得流場(chǎng)的壓力場(chǎng)，這要求高精度的速度場(chǎng)，并且存在誤差積累的問(wèn)題。此外，現(xiàn)有流場(chǎng)重建問(wèn)題根據(jù)其背景不同，適用的算法也完全不同，算法之間難以相互聯(lián)系和發(fā)展。而人工智能具備在大數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上發(fā)掘數(shù)據(jù)之間的隱含規(guī)律這一特性，因此探索通過(guò)人工智能賦能流場(chǎng)重建，挖掘大量流場(chǎng)數(shù)據(jù)之間的隱含信息，從而可以構(gòu)建流場(chǎng)變量和時(shí)空坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系。直接使用傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)模型回歸數(shù)據(jù)樣本的函數(shù)關(guān)系因缺乏物理信息的先驗(yàn)知識(shí)而不能獲得較好的結(jié)果，而PINN 方法通過(guò)對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)增加流場(chǎng)物理變量之間的N-S 方程約束，使人工智能賦能流場(chǎng)重建變得可能。

本文使用張朋[19]計(jì)算的可壓縮充分發(fā)展槽道湍流直接數(shù)值模擬(DNS) Case2 的結(jié)果作為訓(xùn)練和測(cè)試數(shù)據(jù)。計(jì)算條件為來(lái)流馬赫數(shù)Ma=1.5，來(lái)流雷諾數(shù)Re=6 000 ， 等溫壁面Tw=288.15；流向和展向?yàn)橹芷谛赃吔鐥l件，法向壁面為無(wú)滑移邊界條件。DNS 計(jì)算域和訓(xùn)練區(qū)域如表1 所示。受限于計(jì)算機(jī)的能力，截取了半槽道的部分空間和時(shí)間作為PINN 訓(xùn)練區(qū)域：x方向網(wǎng)格區(qū)域?yàn)閇50, 150]，y方向?yàn)閇1, 90]，z方向?yàn)閇150, 220]，從總DNS 計(jì)算時(shí)刻中隨機(jī)抽取100 個(gè)時(shí)刻的數(shù)據(jù)文件，形成(Nt,Nx,Ny,Nz)=(100,101,90,71)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集，再?gòu)闹须S機(jī)采樣25 個(gè)離散時(shí)刻的流場(chǎng)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，余下作為測(cè)試數(shù)據(jù)集。訓(xùn)練中對(duì)于偏微分方程約束采用自動(dòng)微分求解,方程的邊界條件由訓(xùn)練數(shù)據(jù)確定。

表1 計(jì)算和訓(xùn)練區(qū)域設(shè)置Table 1 The domain Setup for DNS & PINN

訓(xùn)練曲線如圖4 所示。從圖中可知，方程約束項(xiàng)Equation_loss 的波動(dòng)要大于輸入特征項(xiàng)Label_loss，兩者的數(shù)值大小接近，這反映流場(chǎng)重建結(jié)果同時(shí)受數(shù)據(jù)樣本和方程信息約束。

圖4 PINN 重建Re = 6 000 槽道的LossFig. 4 Reconstruction of loss of Re = 6 000 channel based on PINN

圖5 為從訓(xùn)練空間截取的t= 0 時(shí)刻、z= 2.38 流向x-y平面的DNS 和PINN 重建的瞬時(shí)物理量等值圖對(duì)比，包括流向速度u、法向速度v、展向速度w、壓力p、密度ρ、溫度T等。從圖中可知，u、v、w、p、ρ、T在不同時(shí)刻的PINN 重建結(jié)果與DNS 結(jié)果十分接近。數(shù)據(jù)分析顯示在其余時(shí)刻、以及不同平面包括展向y-z平面和法向x-y平面的物理量的等值線對(duì)比也顯示了相近的結(jié)果。

圖5 流向平面DNS 和PINN 的瞬時(shí)物理量對(duì)比 (t = 0, x, y, z = 2.38)Fig. 5 Comparison of instantaneous physical quantities between DNS and PINN in streamwise plane (t = 0, x, y, z = 2.38)

圖6（a）為從預(yù)測(cè)結(jié)果中隨機(jī)選取的第40 個(gè)時(shí)刻法向x-z平面（（1-|y|）/H= 0.176，H為半槽高）上的流向脈動(dòng)速度u′i=ui-＜ui＞等值云圖，可以清晰看出脈動(dòng)流場(chǎng)的結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)。同時(shí)，應(yīng)用Ω判據(jù)[20]計(jì)算該法向平面上的渦結(jié)構(gòu)也驗(yàn)證了該條狀流動(dòng)特征，說(shuō)明PINN 可重建湍流流動(dòng)特征。

圖6 PINN 重建流場(chǎng)瞬時(shí)量分布Fig. 6 Instantaneous flowfield by PINN

圖7 對(duì)比了PINN 預(yù)測(cè)結(jié)果和所選區(qū)域的DNS結(jié)果的平均量，結(jié)果顯示雷諾時(shí)均流向速度＜u＞、密度＜ρ＞、溫度＜T＞沿發(fā)現(xiàn)法向分布均與DNS 的統(tǒng)計(jì)平均值吻合良好，證明添加了物理先驗(yàn)知識(shí)約束后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有良好的數(shù)據(jù)回歸和流場(chǎng)重建能力。圖8 記錄了瞬時(shí)物理量的PINN 重建結(jié)果與對(duì)應(yīng)時(shí)刻測(cè)試數(shù)據(jù)DNS 數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差，橫坐標(biāo)t表示25 個(gè)離散時(shí)刻，并顯示u、p、ρ、T的重建結(jié)果優(yōu)于v、w的 重建結(jié)果，其相對(duì)誤差RE 低于1%以下，v、w作為充分發(fā)展槽流中的脈動(dòng)速度具有隨機(jī)性，數(shù)量級(jí)也遠(yuǎn)小于其他物理量，預(yù)測(cè)結(jié)果的相對(duì)誤差反而較大。

圖7 PINN 方法和DNS 的統(tǒng)計(jì)平均物理量的對(duì)比Fig. 7 Comparison of mean profiles between PINN and DNS

圖8 PINN 重建結(jié)果的相對(duì)誤差Fig. 8 The relative error of the reconstruction result of the PINN

上述內(nèi)容驗(yàn)證了PINN 重建流場(chǎng)的可行性，根據(jù)結(jié)果我們可以發(fā)現(xiàn)PINN 的訓(xùn)練擬合的結(jié)果精度較高。

為了驗(yàn)證PINN 的預(yù)測(cè)能力，采用同流場(chǎng)不同分布數(shù)據(jù)集進(jìn)行訓(xùn)練并預(yù)測(cè)，從流場(chǎng)中抽取半槽道結(jié)果作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集：x方向網(wǎng)格區(qū)域?yàn)閇50, 150]，y方向網(wǎng)格區(qū)域?yàn)閇2, 90]，z方向網(wǎng)格區(qū)域?yàn)閇150, 220]。采樣共100 個(gè)離散時(shí)刻的流場(chǎng)，采集的樣本數(shù)據(jù)量為(Nt,Nx,Ny,Nz)=(100,101,89,71)。訓(xùn)練測(cè)試數(shù)據(jù)如表2。預(yù)測(cè)的瞬時(shí)流場(chǎng)如圖9，統(tǒng)計(jì)平均量如圖10。流場(chǎng)訓(xùn)練結(jié)果如表3，流場(chǎng)預(yù)測(cè)結(jié)果如表4。結(jié)果顯示，對(duì)于同一流場(chǎng)不同分布的訓(xùn)練集，PINN的預(yù)測(cè)性能較為可觀，多數(shù)物理量的預(yù)測(cè)效果較好，但由于物理量v、w的量級(jí)與其他變量的量級(jí)相差太大，預(yù)測(cè)性能較為一般，可采用加大Loss 函數(shù)中對(duì)于v、w的損失權(quán)重以改善其預(yù)測(cè)效果。

表2 訓(xùn)練測(cè)試樣本算例Table 2 Example of training and test samples

圖9 預(yù)測(cè)的瞬時(shí)流場(chǎng)Fig. 9 Training and prediction of instantaneous flow field

圖10 PINN 方法和DNS 的統(tǒng)計(jì)平均物理量的對(duì)比Fig. 10 Comparison of mean profiles between PINN and DNS

表3 流場(chǎng)訓(xùn)練結(jié)果Table 3 Results of flow field training

表4 流場(chǎng)預(yù)測(cè)結(jié)果Table 4 Results of flow field prediction

由于預(yù)先融入了物理信息的約束，PINN 相比普通的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擬合速度更快，效果也更好，效率更高。PINN 對(duì)于同一特征流場(chǎng)的預(yù)測(cè)性能較好，但是由于其輸入特征為時(shí)空坐標(biāo)，以至于輸入模型的信息量有限，導(dǎo)致其泛化性能較為一般。增加有效輸入特征以及減少損失函數(shù)中關(guān)于特定流動(dòng)的特征約束可以一定情況下提升PINN 的泛化性能。對(duì)于高Re的非定常流動(dòng)，流動(dòng)的隨機(jī)性大大提升，相比全連接網(wǎng)絡(luò)，可以嘗試采用時(shí)序、卷積等結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，在一定情況下可以改善對(duì)于高Re非定常流動(dòng)中的特征捕捉能力。

PINN 在流場(chǎng)重建中具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。PINN可用于PIV 流場(chǎng)重建，利用實(shí)驗(yàn)的流場(chǎng)數(shù)據(jù)，探索一種能夠以較高精度重建流場(chǎng)變量連續(xù)狀態(tài)變化的方法具有一定工程意義，以及PINN 對(duì)于流場(chǎng)數(shù)據(jù)缺失復(fù)原的應(yīng)用也具有較大的可行性。

2.3 PINN 在參數(shù)重建中的應(yīng)用

模型的系數(shù)重建問(wèn)題是一類較為重要的工程問(wèn)題，其中漸近性原則常被用于解決此類問(wèn)題。漸近性原則的思想是模型預(yù)測(cè)的方程輸出結(jié)果應(yīng)當(dāng)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，本質(zhì)是數(shù)據(jù)擬合。研究人員常使用漸近性原則來(lái)確定模型方程中的待定系數(shù)，其方法是在逼近模型系數(shù)時(shí)，率先確定對(duì)精度影響大的方程項(xiàng)的系數(shù)，再逐步確定其他系數(shù)，進(jìn)而逐一確定系數(shù)。這一方式可以降低小項(xiàng)的影響，但難以同時(shí)獲得最優(yōu)的系數(shù)組合解。不同于傳統(tǒng)做法，PINN 具備結(jié)合樣本數(shù)據(jù)反推方程屬性的能力[21]，可以同時(shí)確定方程中的待定系數(shù)組合，因此PINN 方法可以在參數(shù)重建領(lǐng)域發(fā)揮巨大的作用。

如圖11 所示，建立PINN 模型來(lái)說(shuō)明PINN 的參數(shù)重建。具體為針對(duì)二維不可壓縮繞圓柱流動(dòng)，設(shè)置N-S 約束方程系數(shù) λ1、λ2為可訓(xùn)練參數(shù)并給定初值 λ1,0、λ2,0，采用不可壓縮圓柱繞流DNS 結(jié)果作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)（其對(duì)應(yīng)的真實(shí) λ1=1,λ2=1/Re=0.01）[22]。訓(xùn) 練過(guò) 程 中對(duì) λ1、λ2不 斷 調(diào)整，設(shè) 置 λ1、λ2不同 的初值所對(duì)應(yīng)的訓(xùn)練過(guò)程中其收斂曲線如圖12 所示。觀察圖12 發(fā)現(xiàn)不同初始值下的 λ1、λ2在訓(xùn)練過(guò)程中不斷跳出局部最優(yōu)值，達(dá)到全局最優(yōu)值即真實(shí)值。

圖11 待定系數(shù)的PINN 模型Fig. 11 PINN model with undetermined coefficients

圖12 不同初始值 λ1、λ2 隨著訓(xùn)練次數(shù)的變化趨勢(shì)Fig. 12 Different initial values λ1、 λ2 with the change of training times

表5 為最終收斂值和對(duì)應(yīng)的相對(duì)誤差。從表5中可知，使用PINN 重建流場(chǎng)時(shí)，PINN 可以將N- S 約束方程的系數(shù)當(dāng)作自身的可訓(xùn)練參數(shù)，使其隨著訓(xùn)練收斂至真實(shí)值。

表5 不同初始值λ1、λ2 的重構(gòu)結(jié)果Table 5 The reconstruction results of λ1、λ2 with different initial values

此外，我們進(jìn)一步嘗試了通過(guò)2.2 節(jié)中三維可壓縮槽道流DNS 數(shù)據(jù)對(duì)三維可壓縮N-S 方程中的體積力項(xiàng)f進(jìn)行重建，分別設(shè)置體積力項(xiàng)f初始值為f0=1與f0=-1， 訓(xùn)練的過(guò)程中，體積力f與方程損失Equation- loss 收斂曲線如圖13 所示。

由圖13 可知不同初始值下，體積力f分別在f=0.003 05與 0.002 88附近收斂。在三維可壓縮槽道DNS 算例中，體積力平衡壁面剪切摩擦力，因此可以通過(guò)DNS 結(jié)果計(jì)算得到壁面剪切摩擦力來(lái)驗(yàn)證模型收斂得到的體積力。DNS 數(shù)據(jù)平均后得到的壁面剪切摩擦力 τw=-0.003 3，與本文預(yù)測(cè)值的偏差分別為7.9%和-12.7%。通過(guò)體積力項(xiàng)的預(yù)測(cè)，說(shuō)明了應(yīng)用高精度DNS 數(shù)據(jù)不僅可以預(yù)測(cè)待定系數(shù)，還可以預(yù)測(cè)方程中的組成項(xiàng)，這為后續(xù)利用DNS 數(shù)據(jù)耦合平均流方程來(lái)預(yù)測(cè)雷諾應(yīng)力提供了解決思路，驗(yàn)證了該方法有可能適用于更廣泛的模型構(gòu)建場(chǎng)景，這與Callaham[23]所做的聚類分析工作有著異曲同工之處。

圖13 體積力與方程損失收斂曲線Fig. 13 Convergence curve of volume force and equation loss

3 結(jié) 論

PINN 作為融合人工智能和以數(shù)學(xué)方程表示的物理先驗(yàn)知識(shí)的一種新方法，其未來(lái)應(yīng)用的方式還有更多可能，本文闡述了該方法并結(jié)合具體工作舉例說(shuō)明了其可適用場(chǎng)景：

1）PINN 用于求解偏微分方程：應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)逼近高維復(fù)雜偏微分方程是人工智能目前重要研究方向之一，PINN 將偏微分方程融入誤差網(wǎng)絡(luò)，結(jié)合自動(dòng)微分方法提高了求解的效率和精度。

2）PINN 用于流場(chǎng)信息重建：通過(guò)在損失函數(shù)中添加偏微分方程約束并利用自動(dòng)微分技術(shù)，結(jié)合DNS 訓(xùn)練數(shù)據(jù)集應(yīng)用于可壓縮槽道流動(dòng)，可以重構(gòu)瞬時(shí)湍流流場(chǎng)，并通過(guò)對(duì)預(yù)測(cè)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)分析與DNS 數(shù)據(jù)對(duì)照分析，驗(yàn)證了預(yù)測(cè)模型有效性及其用于更多流動(dòng)場(chǎng)景的可能性。

3）PINN 用于方程參數(shù)重建：結(jié)合不可壓縮圓柱繞流與三維可壓縮槽道流的控制方程和DNS 數(shù)據(jù)訓(xùn)練集，通過(guò)訓(xùn)練可以獲得方程中的待定系數(shù)與待定項(xiàng)，驗(yàn)證了該方法可以進(jìn)一步應(yīng)用于更廣泛的模型構(gòu)建場(chǎng)景。

但是在研究中也發(fā)現(xiàn)了PINN 方法目前的泛化性欠佳，極大限制了其使用范圍和能力，是急需克服的難點(diǎn)。

致謝： 感謝浙江大學(xué)夏振華教授在本文研究工作開(kāi)展中提出的各種有益討論和建議。