柴凱 李爽 樓京俊 朱石堅

摘要：為了得到諧波激勵下本質非線性能量阱系統(tǒng)出現(xiàn)強調制響應的充要條件，開展非線性能量阱系統(tǒng)的強調制響應研究.利用復變量平均法推導主共振下系統(tǒng)的慢變動力流方程；結合多尺度法實現(xiàn)系統(tǒng)快、慢變流形的分離，得到不同參數(shù)下系統(tǒng)的慢不變流形以及全局分岔特性；通過構建快變流形的一維映射函數(shù)，揭示非線性能量阱系統(tǒng)呈現(xiàn)強調制響應狀態(tài)的充要條件；搭建非線性能量阱系統(tǒng)的模擬電路，進行強調制響應檢測電路試驗.仿真和試驗結果表明，強調制響應是由耦合系統(tǒng)慢變動力流中極限環(huán)的鞍結分岔引起的且真實存在，系統(tǒng)出現(xiàn)穩(wěn)定的強調制響應必須滿足兩個條件：一是非線性能量阱系統(tǒng)響應超越慢不變流形上的極值點，又不吸引至慢不變流形某一分支；二是形成連續(xù)跳躍環(huán)路而不陷入局部循環(huán)時.

關鍵詞：非線性能量阱；強調制響應；非線性動力系統(tǒng)；復變量平均法；振動控制

中圖分類號：O322 文獻標志碼：A

Investigation on Strongly Modulated Response of Nonlinear Energy Sink System

CHAI Kai，LI Shuang，LOU Jingjun，ZHU Shijian

（College of Naval Architecture and Ocean，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China）

Abstract：In order to obtain the necessary and sufficient conditions for the strongly modulated response （SMR）of a nonlinear energy sink （NES）system under harmonic excitation，the SMR study of the NES system is carried out. Firstly，the equation of systematic slow variation flow is derived by using the complex-averaging method. Secondly，the multi-scale method is used to realize the separation of the rapid variable manifold and the slow variable manifold. And the systematic slow invariant manifold under the different parameters and the global bifurcation property are obtained. Then，by building the one-dimensional mapping function of the rapid variable manifold，the sufficient and necessary conditions for the NES system in the SMR state are revealed. Finally，the simulation circuit of the NES system is constructed，and the response detection circuit test is carried out. The simulation and experimental results show that the SMR is caused by the saddle-node bifurcation of limit cycles in the slowly varying power flow of the coupling system，and it is an actual phenomenon in engineering. The system in which SMR state can appear must satisfy the following two conditions：the response of the NES system exceeds the amplitude of the extremum point on the slow invariant manifold，but it does not attract to a branch of the slow invariant manifold，and a continuous jump loop without falling into a local cycle is formed.

Key words：nonlinear energy sink（NES）；strongly modulated response（SMR）；nonlinear dynamical systems；complex-averaging method；vibration control

非線性能量阱（Nonlinear Energy Sink，NES）是指剛度近似為立方剛度用于振動控制的非線性振子，它在一定條件下會出現(xiàn)靶能量傳遞現(xiàn)象.與傳統(tǒng)線性吸振器相比，NES能有效增加吸振帶寬，大幅提升減振效率，目前在航空航天[1]、房屋橋梁抗震[2]、能量采集[3]以及振動噪聲控制[4]等領域得到了廣泛的應用.在受外加激勵作用的耦合NES系統(tǒng)中，由于非線性參數(shù)的作用，系統(tǒng)會呈現(xiàn)幾種具有明顯差異的響應形式，即周期、弱調制、強調制和混沌響應.廣義上前3種類型均屬于穩(wěn)態(tài)響應，但其對應相軌跡具有明顯差異，使得NES的振動抑制效果也具有很大的不同[5].

NES因其寬頻控制的特性引起了相關學者的廣泛關注.Jiang等[6]研究了正弦激勵作用下，NES在較寬頻帶從線性振子吸收能量，且不論向前還是向后掃頻，均能實現(xiàn)能量定向傳遞.Zhang等[7]研究了主結構受正弦周期力、多約束下碰撞非線性系統(tǒng)的能量傳遞問題，指出當激勵幅值達到一定閾值時，能量會向NES振子聚積，而且根據(jù)激勵幅值不同，系統(tǒng)會呈現(xiàn)周期、弱調制、強調制等多種具有明顯差異的響應形式.Starosvetsky等[8]通過相軌跡法給出了系統(tǒng)響應類型與平衡點之間的關系，指出系統(tǒng)慢變方程對應周期解是否分岔是NES振子實現(xiàn)靶能量傳遞的關鍵.Gourdon等[9]研究了NES系統(tǒng)的強調制響應（Strongly Modulated Response，SMR），給出了系統(tǒng)產(chǎn)生強調制響應的條件，通過對比說明了NES的減振效果在非周期響應時要比穩(wěn)態(tài)周期響應更好.李爽等[10]采用柔性鉸鏈結構提出了一種NES構造方法，分析了簡諧激勵下耦合系統(tǒng)的局部分岔特性.張也弛等[11]通過數(shù)值方法研究了兩自由度NES系統(tǒng)在簡諧激勵下的力學特性與抑振效果.由于強調制響應下NES系統(tǒng)的振動抑制效率比穩(wěn)態(tài)振動更優(yōu)越，因此有必要對系統(tǒng)產(chǎn)生強調制響應的充要條件作進一步研究.

本文從近似解析計算角度出發(fā)，重點研究NES系統(tǒng)的強調制響應.利用復變量平均法推導主共振下系統(tǒng)響應幅值的慢變動力流方程，深入探討NES 系統(tǒng)產(chǎn)生強調制響應的充要條件，通過電路仿真和試驗驗證理論分析的正確性和強調制響應的真實性，從而間接證明NES振子在簡諧激勵能否實現(xiàn)靶能量傳遞.

1NES系統(tǒng)的慢不變流形

1.1動力學建模

如圖1所示，建立機械設備耦合非線性能量阱的兩自由度非線性吸振系統(tǒng)動力學模型（以下簡稱NES系統(tǒng)）.機械設備主系統(tǒng)中m₁為待減振機械設備，通過線性剛度彈簧k₁、阻尼λ₁與剛性基座連接；NES子系統(tǒng)安裝于機械設備上層并與其耦合連接，其組成元素包括質量m₂、剛度k₂以及阻尼λ₂；f_b=F cos ΩT為作用于機械設備上的外界激勵信號，F(xiàn)為激勵力幅值，Ω為激勵力頻率，機械設備和NES產(chǎn)生的垂向位移分別為z₁和z₂.本文主要研究具有本質非線性的立方剛度型NES，故其非線性彈簧回復力為f_NES=k₂（z₂-z₁）³.

相應的動力學方程為：

采用復變量平均法推導系統(tǒng)的慢變動力流方程.以質量比ε為小參量，引入長度量綱l₀=m₁g/k₁，l₀對應線性彈簧k₁在重量G₁=m₁g作用下的靜態(tài)形變量，并作如下無量綱變換：

將式（2）代入式（1）可得：

考慮激勵頻率接近主系統(tǒng)固有頻率時的1：1：1主共振響應，令ω=1+εσ，其中σ為調諧參數(shù)，用來描述內共振頻率之間的接近程度.將系統(tǒng)振動響應分解為質心運動以及兩個振子之間的相對運動，對系統(tǒng)再次簡化，引入新變量：u=x₁+εx₂，v=x₁- x₂，在不考慮主系統(tǒng)阻尼（即ξ₁=0）的情形下，將u和v代入式（3）可得：

1.2系統(tǒng)慢不變流形

引入新的時間尺度τ_k=ε_kt，k=0，1，…，并令ρ₂=ρ₂（τ₀，τ₁，…），采用多尺度法展開，并忽略高階項，可得式（6）關于ε的前兩階方程：

考慮慢變幅值ρ₂關于快變時間尺度τ₀的近似解，對式（7）第一式進行積分，可得：

式中：R為關于τ₁尺度的任意函數(shù).令?ρ₂/?τ₀=0，可得系統(tǒng)平衡點方程：

由式（9）可知，平衡點Φ（τ₁）只與τ₁有關，將復變量用模和相角表示，即Φ（τ₁）=N（τ₁）exp[jθ（τ₁）]，（N，θ）∈（R⁺×S¹），代入式（9）求模后可得：

Z（τ₁）=N²（τ₁），對應相位如下：

由圖2可知，由于流形的不變性，系統(tǒng)慢變幅值只能沿著曲線運動，當達到折疊線N₁、N₂時，可能從一支穩(wěn)定分支跳躍至另一支穩(wěn)定分支，從而出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象.此外，在折疊線N₁、N₂處可能存在鞍結分岔過程，從而形成N₁→N_u→N₂→N_d→N₁的連續(xù)跳躍環(huán)路并使系統(tǒng)響應慢變幅值出現(xiàn)周期性變化，類似于目標能量轉移過程中“泵能”與“放能”現(xiàn)象.文獻[13]將其稱為強調制響應，該響應下NES系統(tǒng)出現(xiàn)靶能量傳遞現(xiàn)象，在其主共振附近會出現(xiàn)準周期響應，且幅值變化較為劇烈，能使NES具有優(yōu)異的振動抑制效果.

2強調制響應產(chǎn)生的必要條件

2.1折奇點產(chǎn)生條件和慢不變流形相軌跡特征

式中：Φ（τ₁）=N（τ₁）exp[jθ（τ₁）].對式（12）兩邊取復數(shù)共軛，通過化簡得到：

1）當g（N）≠0時為普通平衡點，滿足如下表達式：

2）當g（N）=0時為折奇點，滿足如下表達式：

式中：

選取系統(tǒng)參數(shù)C=4/3，ξ₂=0.2，σ=0，普通平衡點分岔情況如圖3所示.由圖3可知，當f變化時，系統(tǒng)只存在一個周期解，不穩(wěn)定解位于折疊線N₁= 0.595 0、N₂= 0.989 6之間.另外，通過聯(lián)合求解式（14）可得折疊線對應的激勵力分岔值為f_b1= 0.241 9、f_b2= 0.989 2.

進一步求解f_ck可得折奇點對應分岔值為f_c1=0.1760、f_c2=0.9844，滿足f_c1＜f_b1＜f_c2＜f_b2系統(tǒng)的全局分岔如圖4所示，圖中rp為周期吸引子，fs1、fs2分別為上、下折奇點，bp1、bp2為周期吸引子分岔點，普通平衡點與折奇點穩(wěn)定性通過慢變系統(tǒng)線性化擾動方程的雅可比矩陣特征值判斷.同時，結合Runge-Kutta數(shù)值方法與Matlab Streamline命令繪制不同激勵力幅值下系統(tǒng)的慢不變流形，如圖5所示. 圖5中縱坐標為慢變幅值N，橫坐標為相位θ，

由圖4和圖5可知，當f=0時，從N₂上方出發(fā)的相軌跡都可以回到N₂，但從N₁出發(fā)的相軌跡不能返回至N₁.與圖2對比可知，相軌跡從上穩(wěn)定分支出發(fā)時能跳躍至下穩(wěn)定分支，而從下穩(wěn)定分支出發(fā)的相軌跡不能跳躍至上穩(wěn)定分支，這與實際系統(tǒng)也是相符合的.當不存在外界激勵時，由于阻尼存在，系統(tǒng)能量會逐漸被耗散，直至趨于穩(wěn)定.當f = 0.1時，對應f ＜f_c1，存在一個穩(wěn)定的周期平衡點，不存在折奇點，所有的相軌跡都流入該吸引子.當f =f_c1時，普通平衡點出現(xiàn)亞臨界分岔，在折疊線N₁處產(chǎn)生一對不穩(wěn)定的下折奇點.當f = 0.18時，對應f略大于f_c1，存在一個周期平衡點與一對下折奇點（左側下折奇點為結點，右側下折奇點為鞍點），從鞍點右邊出發(fā)的相軌跡都被吸引至周期平衡點，結點左邊以及折疊線N₁右邊部分出發(fā)的相軌跡吸引至結點，而結點與鞍點之間的相軌跡則有可能返回至折疊線N₁，這意味著強調制響應可能發(fā)生.當f_c1＜f＜f_b1時，存在一對不穩(wěn)定的下折奇點和一個穩(wěn)定的周期吸引子.當f = f_b1時，周期吸引子退化為不穩(wěn)定解，同時下折奇點由不穩(wěn)定變?yōu)榉€(wěn)定.當f = 0.5時，對應f_b1＜f ＜f_c2，系統(tǒng)性態(tài)發(fā)生了非常顯著的變化：首先，和f = 0.18 相比，普通平衡點消失，同時鞍點與結點沿著下折疊線往兩側移動，其中結點往左側移動，而鞍點往右側移動，鞍結點之間的距離擴大，表明最終能回到N₁的相軌跡區(qū)域變大，同時出現(xiàn)強調制響應的可能性也將增加；另外，由于在繪制相軌跡過程中，相位只取一個周期（0，2π），當結點運動超過最左側時，又重新在右端出現(xiàn)，此時折奇點性質已由一對鞍結點通過碰撞演化成了一對穩(wěn)定的焦點.當f =f_c2時，平衡點再次出現(xiàn)亞臨界分岔，此時演變出一對穩(wěn)定的上折奇點.當f = 0.987時，對應f略大于f_c2，在上折疊線N₂出現(xiàn)一對鞍結點，而下折疊線N₁的一對穩(wěn)定焦點依然存在，仍有可能出現(xiàn)強調制響應.當f=f_b2時，上折奇點由穩(wěn)定退化為不穩(wěn)定，同時周期吸引子再次發(fā)生Hopf分岔，由不穩(wěn)定變?yōu)榉€(wěn)定.當f = 1時，對應f ＞f_b2，折疊線N₂上鞍結點演化成了一對不穩(wěn)定的鞍點，同時在折疊線N₂附近出現(xiàn)了穩(wěn)定的普通平衡點，此時強調制響應依然有可能出現(xiàn).

2.2系統(tǒng)響應慢變流形

仍考慮時間尺度的前兩階，令ρ₁（t）=a₁（t）+jb₁（t）、ρ₂（t）=a₂（t）+jb₂（t），對式（5）利用多尺度法直接展開，取ε⁰階分離實部與虛部，可得四階常微分方程組：

對比圖7中的系統(tǒng)響應時間歷程也可驗證以上分析結論，圖中實線為式（5）數(shù)值計算得到的實際響應，虛線為式（16）數(shù)值計算得到的慢變幅值.由圖7 可知，通過慢變方程計算得到的幅值響應與真實幅值存在一定的誤差，這主要是由設定質量比為小參量條件引起的，但總體來說，預測值還是可靠的.

圖8給出了C = 4/3、ξ₂= 0.2、f = 0.5、σ=0，而質量比分別為0.05、0.01和0.001時的系統(tǒng)響應慢變流形.質量比并不影響慢不變流形的形狀，由圖8可知，3種情形均能出現(xiàn)強調制響應，且質量比參數(shù)越小，吻合程度越高，但總體而言，通過觀察慢變流形變化趨勢就可判斷系統(tǒng)是否出現(xiàn)了強調制響應.

總結而言，f>f_c1并不能說明系統(tǒng)一定會出現(xiàn)強調制響應，當激勵頻率變化時，系統(tǒng)響應有可能被吸引至慢不變流形的某一穩(wěn)定分支或陷入局部循環(huán)，從而導致無法形成N₁→N_u→N₂→N_d→N₁的連續(xù)跳躍環(huán)路，也就不能產(chǎn)生強調制響應.因此，系統(tǒng)出現(xiàn)折奇點只是出現(xiàn)強調制響應的必要條件，仍需進一步探求系統(tǒng)出現(xiàn)強調制響應的充分條件.

3強調制響應產(chǎn)生的充分條件

3.1一維映射函數(shù)構建

仍考慮慢變系統(tǒng)，由式（15）可得N₁折疊線上折奇點對應跳躍的邊界條件為Θ₁和Θ₂，令相軌跡可能從折疊線N₁跳躍至上穩(wěn)定分支的相位區(qū)間為R=[Θ₁，Θ₂].考慮R→R的一維映射，若從區(qū)間R出發(fā)的相軌跡經(jīng)多次N₁→N_u→N₂→N_d→N₁4個階段后仍可返回至R，則表明慢變系統(tǒng)出現(xiàn)了穩(wěn)定的極限環(huán)，強調制響應必然會發(fā)生.而系統(tǒng)能夠產(chǎn)生穩(wěn)定極限環(huán)的相軌跡區(qū)域則對應出現(xiàn)強調制響應的初始條件，這顯然也是產(chǎn)生強調制響應的充分條件.

2）第2階段：N_u→N₂.由于慢不變流形的確定性，從（N_u，θ_u）出發(fā)的相軌跡必然只能沿著上穩(wěn)定分支運動，對式（13）積分即可得到映射終點（N₂，θ₂）.

3）第3階段：N₂→N_d.類似于N₁→N_u的映射過程，映射表達式如下：

4）第4階段：N_d→N₁.類似于N_u→N₂過程，從（N_d，θ_d）出發(fā)的相軌跡必然只能沿著下穩(wěn)定分支運動，同樣對式（13）積分即可得到映射終點（N₁，θ₁₀）.因此，可得到一維映射關系：R→R：（N₁，θ₁）→（N₁，θ₁₀）.

顯然，當系統(tǒng)存在普通平衡點時，從R=[Θ₁，Θ₂]出發(fā)的相軌跡，有可能被吸引至慢不變流形的上下穩(wěn)定分支，只有通過多次映射后映射終點仍落于R區(qū)間時，才能出現(xiàn)穩(wěn)定的極限環(huán)，從而產(chǎn)生強調制響應.

3.2數(shù)值討論與分析

當參數(shù)ε= 0.05、C = 4/3、ξ₂= 0.2、f = 0.5、σ=0時，對應Θ₁=-0.9110，Θ₂= 1.5114，各階段映射過程如圖9所示.圖9（a）對應第1階段映射過程，相軌跡從R=［Θ₁，Θ₂］出發(fā)跳躍至上穩(wěn)定分支N處；圖9（b）對應第2階段映射過程，相軌跡通過上穩(wěn)定分支慢變至N₂折疊線處；圖9（c）對應第3階段映射過程，相軌跡從N₂折疊線跳躍至下穩(wěn)定分支；圖9（d）對應第4階段映射過程，相軌跡通過下穩(wěn)定分支慢變至N₁折疊線處.由圖9可知，經(jīng)過一次完整的映射過程后，從R=［Θ₁，Θ₂］出發(fā)的相軌跡最終都會落在該區(qū)間內，且新得到的相位區(qū)間向內收縮，表明無論經(jīng)過多少次映射，終點都會位于R=［Θ₁，Θ₂］內.因此，在該參數(shù)條件下，系統(tǒng)能在θ₁≈0處出現(xiàn)穩(wěn)定的極限環(huán).

進一步考慮在相同參數(shù)條件下，通過局部分岔得到的幅頻特性曲線，如圖10所示.圖10中，HP_i（i=1，2，3）表示第i個Hopf分岔點；SN_j（j=1，2，3，4）表示j個鞍結分岔點.由圖10可知，當σ=0時，系統(tǒng)不存在穩(wěn)定的周期平衡點，從R=［Θ₁，Θ₂］出發(fā)的相軌跡無法被普通周期平衡點吸引，都能產(chǎn)生穩(wěn)定的強調制響應，這也驗證了一維映射的分析結果.

當σ= 2.5時，系統(tǒng)存在一個幅值較小的穩(wěn)定周期平衡點，與σ= 0相比，其一維映射過程也發(fā)生了明顯的變化，如圖11所示.由圖11可知，從R出發(fā)的相軌跡在第4階段映射過程中有一部分被下穩(wěn)定分支上的周期平衡點吸引，從而不能返回至R，在經(jīng)過一次或多次映射過程后能夠返回至R區(qū)間的映射終點較映射起始點而言整體向右偏移，表明在經(jīng)過一次或多次映射過程后，系統(tǒng)響應將從強調制響應狀態(tài)逃逸；從R區(qū)間出發(fā)的相軌跡都會逐漸吸引至穩(wěn)定周期吸引子，從而不能產(chǎn)生穩(wěn)定極限環(huán)，強調制響應也不會持續(xù)發(fā)生.

由圖12可知，當超過該頻率區(qū)域時，不能產(chǎn)生強調制響應，同時根據(jù)一維映射圖可以大致判斷產(chǎn)生強調制響應的相角范圍，該相角范圍代表觸發(fā)強調制響應的系統(tǒng)初始條件；若在頻率邊界附近產(chǎn)生強調制響應的初始條件范圍大大縮小，則意味著出現(xiàn)強調制響應的條件將會更加苛刻.

綜上所述，NES系統(tǒng)能產(chǎn)生穩(wěn)定的強調制響應必須滿足以下條件：

2）必須形成N₁→N_u→N₂→N_d→N₁的連續(xù)跳躍環(huán)路，且軌線不被周期平衡點吸引.

顯然以上兩個條件對系統(tǒng)參數(shù)、外界激勵以及初始條件都有嚴格的要求，特別是在多解共存區(qū)域，需要特定的初始條件才能激發(fā)穩(wěn)定的強調制響應. 同時，在某些激勵頻率區(qū)域，系統(tǒng)只存在穩(wěn)定的強調制響應.仍以σ=0為例，強調制響應的穩(wěn)定極限環(huán)與慢變系統(tǒng)數(shù)值計算結果如圖13所示.由圖13可知：一是穩(wěn)定極限環(huán)對應的初始相位為θ₁≈-0.05；二是一維映射結果與實際系統(tǒng)響應吻合良好，可清晰看到調制響應的兩個慢變過程與兩個快變過程.

4強調制響應檢測電路設計與試驗

采用Tina-Ti軟件中模擬電路開發(fā)模塊對特定參數(shù)下的NES系統(tǒng)進行仿真計算，并開展強調制響應檢測電路試驗對理論分析結論進行驗證.

4.1電路原理圖設計

考慮式（3）所示的動力學系統(tǒng)，將其改寫為四維狀態(tài)方程：

依據(jù)微分狀態(tài)方程與電路狀態(tài)方程的等價關系，強調制響應檢測電路主要由積分電路、反相比例電路、乘法器等幾個關鍵模塊組成，其中運算放大器選用UA741封裝芯片，而乘法器選用具有8引腳的AD633JN封裝芯片，通過2個AD633JN乘法器串聯(lián)來實現(xiàn)狀態(tài)方程中的立方項.Tina-Ti仿真軟件中模擬電路的原理如圖14所示，各元器件工作電壓為-15～15 V，輸入余弦電壓信號幅值為25 mV，頻率為159 mHz，輸出電壓測點布置為VF1與VF2，分別與式（19）中的x₁、x₂相對應.

4.2電路仿真與試驗結果分析

利用Tina-Ti電路仿真軟件中的瞬態(tài)響應求解器得到兩個測點的電壓響應，并與式（19）系統(tǒng)參數(shù)分別取ε= 0.05、C= 2、ξ₂= 0.2、f = 0.5、σ=0，初始條件均為0時的數(shù)值計算結果進行對比，如圖15所示.由圖15可知，VF1測點與VF2測點均呈現(xiàn)穩(wěn)定的強調制響應，這與數(shù)值計算結果中位移響應x₁、x₂的變化趨勢保持一致，存在的略微差異是由于輸入頻率只能近似取整為159 mHz，導致相位上存在一定延遲.

依據(jù)電路原理圖制作電路板，并開展電路試驗. 其中信號發(fā)生器用于提供外界余弦激勵信號，穩(wěn)壓電源設置為±14.9V，用于提供元器件工作電壓，示波器用于采集測點VF1和VF2的電壓信號，相互連接關系以及電路試驗結果分別如圖16和圖17所示. 由圖可知，試驗測試結果與電路仿真結果以及Runge-Kutta數(shù)值方法結果吻合良好，表明強調制響應檢測電路是有效的，也驗證了強調制響應在NES系統(tǒng)中是真實存在的.

5結論

利用復變量平均法推導了主共振下NES系統(tǒng)的慢變動力流方程，通過多尺度法研究快變與慢變兩個時間尺度上系統(tǒng)平衡點的特性，從慢不變流形相軌跡、慢變流形特征以及松弛振子一維映射等多視角探究了NES系統(tǒng)產(chǎn)生強調制響應的充要條件，通過電路仿真與試驗驗證了理論分析的正確性.得出如下結論：

到的平衡點.

3）強調制響應檢測電路仿真和試驗結果與理論分析結果保持一致，驗證了NES系統(tǒng)中強調制響應存在的真實性和靶能量傳遞的可行性.

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