• 
    

    
    

      99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

      幾何直觀視域下的試題研究
      ——以2021年全國新高考Ⅰ卷導(dǎo)數(shù)壓軸題的探究為例

      2022-11-16 14:44:29江蘇省華羅庚中學(xué)213200
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年2期
      關(guān)鍵詞:代數(shù)線段直觀

      陳 亮 (江蘇省華羅庚中學(xué) 213200)

      直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段,是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).幾何直觀能力是數(shù)學(xué)能力的重要組成部分,是數(shù)學(xué)思維能力在解決數(shù)學(xué)問題中的主要體現(xiàn).借助幾何直觀,能夠使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題得以簡(jiǎn)化,有助于人們探索新思路、新方法,能夠幫助人們從本質(zhì)上理解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué).本文以2021年全國新高考Ⅰ卷導(dǎo)數(shù)壓軸題的探究為例,談?wù)剮缀沃庇^在代數(shù)推理和解決數(shù)學(xué)問題中的作用以及教學(xué)中的啟示.

      1 試題再現(xiàn)

      (2021年新高考Ⅰ卷22題)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

      (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(解題過程略)

      2 解題分析

      2.1 基于對(duì)稱的函數(shù)構(gòu)造

      由視角①容易想到消元,然而問題的難點(diǎn)是:如何打通f(x1)=f(x2)與22,只需證明x2>2-x1,由于x2,2-x1∈(1,+∞),函數(shù)f(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以f(x2)

      圖1

      實(shí)際上,函數(shù)f(2-x)與f(x),f(e-x)與f(x)均相互對(duì)稱.如 圖1,作出函數(shù)f(2-x),f(e-x)的圖象可以發(fā)現(xiàn),f(2-x)f(x)對(duì)x∈(e-1,e)恒成立,且當(dāng)x=e時(shí),f(e-x)沒有定義,其極限為0,與f(e)相等,這就是本題最大的難點(diǎn).借助函數(shù)圖象可以更為直觀地看清上述解法的邏輯主線,如果能在解題前畫出此圖象,那么按照幾何直觀的指引,代數(shù)推理的方向?qū)?huì)更為明確,對(duì)題目與方法的理解必有很大幫助.幾何解釋為代數(shù)推理指明了方向,使得抽象的代數(shù)推理更形象直觀,內(nèi)涵更豐富,代數(shù)推理是幾何直觀的形式化、符號(hào)化,長期堅(jiān)持必能提高學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)語言與圖形語言的表達(dá)和轉(zhuǎn)換能力.

      2.2 基于不等式放縮

      函數(shù)構(gòu)造的思路簡(jiǎn)潔、自然,是導(dǎo)數(shù)綜合問題的基本思想,體現(xiàn)高考對(duì)基本知識(shí)、方法的考查.核心素養(yǎng)下的教學(xué)觀并非空中樓閣,“四基”“四能”是核心素養(yǎng)的根基.不等式放縮的本質(zhì)是以多項(xiàng)式函數(shù)(尤其是一次、二次函數(shù))代替超越函數(shù),借助多項(xiàng)式函數(shù)與超越函數(shù)局部具有相同性態(tài)的特點(diǎn),化“超越”為“平凡”,是高等數(shù)學(xué)中的基本思想,體現(xiàn)了高考的選拔功能.

      2.3 基于幾何直觀的思路探求

      進(jìn)一步從幾何直觀的角度分析x1+x2

      圖2

      本題設(shè)計(jì)的另一個(gè)巧妙之處是直線y=e-x恰好是函數(shù)f(x)在x=e處的切線,由f(x)為上凸函數(shù)可以直觀判斷f(x)

      3 溯源引流,挖掘本質(zhì)

      本題的背景是函數(shù)極值點(diǎn)偏移,隨著直線y=k從上往下(k值從1到0減少),x1越來越小,x2越來越大,由函數(shù)f(x)極值點(diǎn)“左偏”,使得x1的減少量比x2的增加量小,所以x1+x2越來越大.當(dāng)k=1時(shí),視x1,x2為兩個(gè)等根,可得x1+x2=2.當(dāng)k=0時(shí),根據(jù)函數(shù)f(x)在x=0處的極限值可以補(bǔ)定義f(0)=0,這樣就有x1+x2=e,x1+x2的取值范圍是(2,e),上確界本質(zhì)是由函數(shù)的極限決定的.我們可以得到以下更為一般的結(jié)論:

      結(jié)論1 已知函數(shù)f(x)=x(a-lnx),x1,x2滿足x1≠x2且f(x1)=f(x2),則2ea-1

      4 研題反思

      學(xué)生形成和使用幾何直觀時(shí)有水平和層次的差異,最初是建立和形成敏捷、準(zhǔn)確的幾何直覺,感覺與圖形相隨;之后是實(shí)施和進(jìn)行深入靈活的幾何探索,視覺與思維共行;最終使幾何直觀成為分析、解決問題的有效工具,抽象與形象互輔[1].幾何直觀能力的形成不是一朝一夕的,需要教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中逐步滲透,要將幾何直觀融入課程設(shè)計(jì)中.

      4.1 幾何直觀是問題發(fā)現(xiàn)的有利工具

      數(shù)學(xué)新知的獲取、問題的解決過程可以概括為:大膽猜測(cè),小心論證.借助幾何直觀進(jìn)行思考,已經(jīng)成為一種重要的研究策略,在科學(xué)發(fā)現(xiàn)過程中起著不可替代的作用[2].教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生善于對(duì)問題進(jìn)行幾何表征,從幾何關(guān)系出發(fā),借助幾何直覺大膽地猜想,比如“認(rèn)為直線y=e-x可能是切線”“隨著直線y=k從上往下,x1+x2越來越大”,這些都是從幾何直觀出發(fā)的大膽猜測(cè).借助幾何模型與幾何關(guān)系進(jìn)行幾何推理,以幾何結(jié)論為目標(biāo)進(jìn)行代數(shù)推理,比如當(dāng)我們從圖形關(guān)系得到了f(x1)>x1和f(x)

      4.2 幾何直觀能力的提升需要幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累

      幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)之一,是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一,擁有豐富的幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的人,他的幾何直觀能力可能達(dá)到更高的水平.比如將“躺”在x軸上的線段站起來就是幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),這在利用三角函數(shù)線作三角函數(shù)圖象的活動(dòng)中有過;從“x1+x2>2”的構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)到“x1+x2

      在多數(shù)情況下,數(shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來的,而不是“證”出來的,所謂的“看”是一種直覺判斷,這種直覺判斷是建立在長期的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)之上的.幾何直觀能力的形成需要幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累,需要在教學(xué)中有目的地設(shè)計(jì)教學(xué)情境、問題鏈、學(xué)生活動(dòng)等,幫助學(xué)生概括、提煉進(jìn)而形成幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),并引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)利用經(jīng)驗(yàn)指導(dǎo)自己解決問題、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).

      4.3 幾何直觀與邏輯推理共同推動(dòng)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解

      康德說:“缺乏概念的直觀是空虛的,缺乏直觀的概念是盲目的.”數(shù)學(xué)抽象概念發(fā)展的“直觀—形式—直觀”模式,是一般科學(xué)概念發(fā)展的“具體—抽象—具體”模式的特殊表現(xiàn)形式[3],幾何直觀與代數(shù)推理深刻反映了數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本矛盾,代數(shù)推理通過形式化而實(shí)現(xiàn)精確性,又因?yàn)樾问交鴾p弱客觀性,幾何直觀具有原始的創(chuàng)造性,但又需要代數(shù)推理保證它的嚴(yán)謹(jǐn)性.代數(shù)推理具有高度抽象性,有必要再以相對(duì)直觀的形式對(duì)其進(jìn)行重構(gòu)和深化,從而達(dá)到思維直觀化的理想目標(biāo)和可應(yīng)用性要求,使得數(shù)學(xué)達(dá)到直觀與形式的統(tǒng)一,以使數(shù)學(xué)更完美[3].

      猜你喜歡
      代數(shù)線段直觀
      畫出線段圖來比較
      兩個(gè)有趣的無窮長代數(shù)不等式鏈
      Hopf代數(shù)的二重Ore擴(kuò)張
      數(shù)形結(jié)合 直觀明了
      什么是代數(shù)幾何
      科學(xué)(2020年1期)2020-08-24 08:08:06
      簡(jiǎn)單直觀≠正確
      怎樣畫線段圖
      我們一起數(shù)線段
      數(shù)線段
      根據(jù)計(jì)數(shù)單位 直觀數(shù)的大小
      博兴县| 克拉玛依市| 滦南县| 芒康县| 新余市| 土默特右旗| 那坡县| 翁牛特旗| 定结县| 错那县| 潢川县| 寻甸| 山东| 拉孜县| 花莲市| 丹棱县| 牙克石市| 西和县| 札达县| 青浦区| 金华市| 肥东县| 永丰县| 和平县| 班玛县| 庐江县| 陕西省| 遂川县| 娱乐| 雷山县| 雅安市| 民乐县| 贵阳市| 马山县| 资溪县| 防城港市| 罗甸县| 都昌县| 沈丘县| 漯河市| 寿阳县|