李 馨，蔣 翀

（浙江省杭州市拱墅區(qū)教育研究院；浙江省杭州市蕭山區(qū)新桐初級中學）

在區(qū)域調(diào)研中，筆者發(fā)現(xiàn)教師常常采用一題多解的方式進行幾何解題教學.在其中一節(jié)課上，學生展示了多種解法，教師最后還補充了新的解法，整節(jié)課下來，熱熱鬧鬧，精彩紛呈，授課教師和聽課教師都很滿意.然而，課后跟蹤測試學生解決同樣的問題，結(jié)果不盡如人意，無外乎三類：①學生依舊只會自己原本使用的解法；②學生只記住自己認為最簡單的解法；③相當比例的學生依舊沒能完成解答.于是，課堂變成了教師一個人的精彩.

為了研究火熱的課堂和冰冷的結(jié)果之間產(chǎn)生強烈反差的原因，筆者繼續(xù)對學生進行訪談.第①類學生認為：“聽懂了部分解法，但是解題時還是用自己的解法最順手.”第②類學生認為：“我覺得這種解法最簡單，其他煩瑣的解法聽聽就可以了.”第③類學生則認為：“那些神一樣的構(gòu)造，我聽的時候雖懂，過后實在想不起來了.”

皮亞杰認為，獲得知識的唯一途徑是連續(xù)不斷地建構(gòu).如果教師在課堂上只是進行淺層次的解法呈現(xiàn)，學生就無法認識這些具體解法之間的聯(lián)系，從而無法提升數(shù)學理解能力.教師需要加強基于學生認知圖式的指導(dǎo).這里所指的圖式，是指形成各知識點的穩(wěn)定的關(guān)系模式.

杭州市初中數(shù)學核心組的教師曾熱火朝天地討論了一道幾何題，按不同的解題思路，共整理出18種解法.筆者以此題為例，剖析各種解法背后的認知圖式，談?wù)劷忸}教學可以通過怎樣的方式，幫助學生發(fā)揮學習的主動性，動態(tài)地建構(gòu)知識體系，發(fā)展學生的推理能力.

一、原題呈現(xiàn)與分析

題目如圖1，在矩形ABCD中，AB＞AD，點E在邊AB上，且BE=BC，連接CE，CE=CD，作CF平分∠ECD，與邊AD交于點F，直線PQ垂直平分CF，分別與AB，CF，CD交于點P，G，Q.若AD=1，求PD的長.

圖1

此題擁有豐富的內(nèi)涵，以矩形為背景，圖形中包含了直角三角形、角平分線、線段的垂直平分線等元素.圖形略顯復(fù)雜，但解題難度并不大.學生能夠根據(jù)問題中的條件獲得很多結(jié)論，但不易厘清這些結(jié)論在實現(xiàn)目標中所起的作用.基于這樣的特點，此題是構(gòu)造、改進、更新學生認知圖式的一個很好的素材.

二、通過分類，呈現(xiàn)思維

視角1：借助等腰三角形、角平分線、線段的垂直平分線等結(jié)構(gòu)，根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，利用勾股定理求解.

解法1：如圖2，連接EF，PF，PC.

圖2

因為CF平分∠ECD，

所以∠ECF=∠DCF.

因為CE=CD，F(xiàn)C=FC，

所以△ECF≌△DCF.

所以∠FEC=∠FDC=90°.

因為BC=BE，∠B=90°，且AD=BC=1，

所以∠AEF=45°，

即△AEF為等腰直角三角形.

因為PQ垂直平分CF，

所以PC=PF.

所以AF2+AP2=PB2+BC2，

所以AP=1.

在此視角下，還可以利用三角形角平分線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)等求解，部分思路如圖3～圖6所示，此處不一一贅述.

圖3

圖4

圖5

圖6

以上均為現(xiàn)階段學生的各種主流思路和代表解法，一些學有余力的學生可能會從另外角度尋找解決方案.

視角2：巧借輔助圓，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解.

解法2：連接EF.

因為CF平分∠ECD，

所以∠ECF=∠DCF.

因為CE=CD，F(xiàn)C=FC，

所以△ECF≌△DCF.

所以∠FEC=∠FDC=90°.

所以C，D，F(xiàn)，E四點共圓，CF為直徑，點G為圓心.

設(shè)⊙G與邊AB的另一個交點為H，連接HC，HD，HF，如圖7所示，則∠FHC=90°.

圖7

因為BC=BE，∠ABC=90°，

所以∠HFC=∠HEC=45°.

所以HG垂直平分FC.

因為PG垂直平分FC，

所以點H與點P重合.

所以∠DPE=∠DCE=45°.

所以△ADP為等腰直角三角形.

因為AP=1，

輔助圓聯(lián)系了圖形中復(fù)雜的對稱結(jié)構(gòu)的各要素，從而獲得△FPC的特殊性（等腰直角三角形），并進一步借助圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)實現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)△APD是等腰直角三角形，從而解決問題.

視角3：利用銳角三角函數(shù)求解.

解法3：如圖8，過點P作PH⊥DC于點H，連接FQ.

圖8

因為BE=BC=1，

所以EC=2，∠ECB=45°.

因為CF平分∠ECD，

所以∠ECF=∠DCF=22.5°.

因為CD=CE=，

所以FD=CD·tan 22.5°=2-.

因為PQ垂直平分CF，

所以FQ=QC.

所以∠FQD=2∠FCQ=45°.

所以DQ=FD=2-.

因為∠PHQ=∠QGC=90°，

所以∠QPH=∠GCQ=22.5°.

所以QH=PH·tan 22.5°=-1.

所以AP=DH=DQ+QH=1.

所以PD=2.

視角4：建立平面直角坐標系，利用代數(shù)法求解.

解法4：如圖9，以點B為原點建立平面直角坐標系，連接EF.

圖9

由題意，得點C的坐標為C（1，0），點F的坐標為

因為直線PQ垂直平分CF，

所以AP=AD=1.

三、剖析圖式，重組思維

幾何問題的示意圖是靜態(tài)的，但問題的提出是動態(tài)的；某種具體的解法是靜態(tài)的，但解法形成的思路是動態(tài)的；多種解法的呈現(xiàn)是靜態(tài)的，但解法之間的聯(lián)系是動態(tài)的.以動態(tài)的視角看條件的推進，每次推進對應(yīng)了具體解法的思路，由此關(guān)注認知圖式，并進行深入剖析，有利于學生厘清解法之間的關(guān)系，建構(gòu)知識體系.

1.思路在條件的推進中產(chǎn)生

此題的條件在矩形ABCD的背景下動態(tài)有序加強：①CE的長確定了矩形的形狀；②角平分線CF確定了點F的位置；③線段FC的垂直平分線PQ確定了點G與點P的位置；④矩形的邊AD的長量化了問題，最終確定PD的長度.

學生的不同認知對應(yīng)了不同的解題思路.由①得，矩形的兩條鄰邊，兩條直線CF和PQ的方向決定了可借助22.5°角的三角函數(shù)值解決問題.繼續(xù)由②得，，于是建立平面直角坐標系是一個可行的方案.進一步由③確定了點P的位置，其他通過構(gòu)造圖形解決問題的各種方案均基于此.

2.圖式在解法的生成中明晰

我們嘗試用圖10來展示隨著問題條件的推進而產(chǎn)生的解題視角與思路，剖析學生的認知圖式并使之可視化.

圖10

圖10表明，各種解決問題的視角在審題過程的不同階段生成，生成是有順序的.學習不是簡單地感知，被動地接受，而是需要學生自己積極、主動地在行為和心理上構(gòu)造，通過連續(xù)不斷的建構(gòu)得以發(fā)展.明晰這個過程后，看一道幾何題，有利于串連各種圖形結(jié)構(gòu)，在各種視角、思路及解法中找到聯(lián)系的紐帶；看一類具體問題，則提供了如何進行有序思考的方向，可以對解題的認識更深刻，改變思維方式，重構(gòu)認知圖式.

四、精簡結(jié)構(gòu)，發(fā)展思維

從圖10可以清晰地看到，在此題的解法中，除了建立平面直角坐標系、特殊角的銳角三角函數(shù)值等代數(shù)法，其他所有通過構(gòu)造圖形并利用圖形性質(zhì)求解的方法，最終都聚焦于點P的位置.因此，更新認知圖式的關(guān)鍵在于對點P位置特殊性的重新認識.

我們可以通過下面兩種方法進行思考，刻畫點P在整個圖形中的相對位置.

方法1：如圖11，連接EF，GE，過點G作GH⊥AB，垂足為點H.

圖11

若PD，EC關(guān)于GH成軸對稱，則

由題意可知，點H是AB的中點，

只需證明HE=HP，即證明GE=GP.

另一方面，∠GEP=∠GEC+∠CEB=67.5°，

又因為∠GPE=∠GQC=90°-∠DCF=67.5°，

所以∠GEP=∠GPE.

所以GE=GP.

方法2：如圖12，過點G分別作GH⊥AB，GI⊥AD，垂足分別為點H、點I.

圖12

又因為∠GHP=∠GIF=90°，∠HGP=∠FGI，

所以△GHP≌△GIF.

所以AP=HP+AH=1.

在Rt△APD中，AD=AP=1，∠A=90°，

把方法1中的圖11簡化為圖13，方法2中的圖12簡化為圖14，圖形的對稱性一目了然.圖13充分體現(xiàn)了軸對稱性，進一步借對稱軸GH刻畫點P與點E的相對位置；圖14則體現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)對稱性，以點G為旋轉(zhuǎn)中心，進一步刻畫點P的位置.

圖13

圖14

由此，我們看到，這類幾何問題的本質(zhì)是對圖形中的點按一定的順序逐一定位，并定量描述圖形中的角度、線段長等，實現(xiàn)對圖形中的點的定位.不同的定位順序呈現(xiàn)出不同的解法，這些顯性的解法背后隱藏的是解決問題的不同方法與路徑.該題實現(xiàn)解答的最短路徑即描述點的位置的順序是：形→F→G→P.而其他各種圖形的構(gòu)造，無非就是：形→F→G→E→P，形→F→G→Q→P，形→F→G→H→P，都包含了這個最短路徑.通過精簡圖形結(jié)構(gòu)，厘清各種解法之間的關(guān)系，并指出尋求最優(yōu)解的基本方法.

五、反思

最后，談幾點關(guān)于幾何解題教學的思考.

1.堅持目標導(dǎo)向，抓住解題關(guān)鍵

綜觀上述解答路徑，刻畫“點P的位置”是問題解答的關(guān)鍵.在該題的解題教學中，如何幫助學生在復(fù)雜的圖形中抓住“關(guān)鍵”，并以此為中心，啟發(fā)學生在認知圖式上構(gòu)建解題路徑，成為教師首先要思考和解決的問題.

勾股定理是度量線段長度的工具.圖15可以作為啟發(fā)學生“抓住關(guān)鍵”的過程.由于點P在AB上，其“位置”可由“AP的長”來刻畫，由此實現(xiàn)從“數(shù)”到“形”的關(guān)聯(lián)與轉(zhuǎn)化.

圖15

幾何解題教學要抓住這樣的關(guān)鍵點，使之成為學生從其認知圖式出發(fā)構(gòu)建不同解答路徑的出發(fā)點和歸宿，并在目標引領(lǐng)下發(fā)現(xiàn)不同路徑之間的關(guān)聯(lián)，找到問題的本質(zhì).

2.分析確定要素，精簡圖形結(jié)構(gòu)

根據(jù)前面的分析，我們看到“形→F→G→P”是實現(xiàn)解答的最短路徑.圖16是從確定“點P的位置”的要素進行分析，并將各“要素”位置確定的依賴關(guān)系的路徑可視化，即點P的位置是由點G的位置所確定的，點G的位置依賴于點F的位置，點F的位置的確定又依賴于矩形的形狀（矩形的形狀由CE的長，即點E的位置所確定）.由此我們發(fā)現(xiàn)，實現(xiàn)解答的最短路徑與確定“點P的位置”的各要素之間的依賴關(guān)系的路徑是一致的.

圖16

因此，在教學中引導(dǎo)學生從確定“關(guān)鍵”要素出發(fā)探索解題路徑，是精簡圖形結(jié)構(gòu)、實現(xiàn)解答路徑最優(yōu)化的有力工具.從一個“要素”到下一個“要素”的過程，則是教師引導(dǎo)學生基于認知圖式構(gòu)建多視角解答路徑的抓手和著力點.

3.借助典例剖析，實現(xiàn)方法遷移

通過前面的分析，我們可以提煉出幾何解題教學的一條基本路徑，包含兩個過程：（1）讓學生經(jīng)歷“分析確定要素→提煉關(guān)鍵結(jié)構(gòu)→構(gòu)建解答路徑”的過程，以提升學生分析問題、解決問題的能力；（2）經(jīng)歷“多視角分析比較→發(fā)現(xiàn)聯(lián)系→回歸本質(zhì)”的過程，幫助學生優(yōu)化認知圖式，發(fā)展推理能力.

下面以一道中考試題為例，看上述路徑是否適用于一般的幾何解題教學.

（2020年浙江·杭州卷）如圖17，已知AC，BD為⊙O的兩條直徑，連接AB，BC，OE⊥AB于點E，點F是半徑OC的中點，連接EF.

圖17

（1）略.

（2）連接BF，DF，設(shè)OB與EF交于點P.

①求證：PE=PF.

②略.

解題教學中，教師可以先讓學生觀察點P的位置、分析確定其位置的要素.由于點P為BO和EF的交點，其位置的決定要素是點E和點F的位置.進一步指導(dǎo)學生根據(jù)確定要素，精簡結(jié)構(gòu)，提煉出關(guān)鍵圖形結(jié)構(gòu)，并將問題簡述：如圖18，已知，求證：.以此為出發(fā)點，引導(dǎo)學生根據(jù)自身的認知圖式，構(gòu)建解答問題的不同路徑；在不同視角（如圖19）的解答路徑的比較中發(fā)現(xiàn)關(guān)聯(lián)，回歸問題的本質(zhì)：已知，求證.

圖18

圖19

由此可見，上述路徑在解決其他幾何問題時同樣適用，具有一般的指導(dǎo)意義和推廣的價值.

不同的認知圖式，對應(yīng)不同的解題方法.幾何解題教學的目標就是要在剖析學生原有認知圖式的基礎(chǔ)上，通過指導(dǎo)學生分析、精簡、提煉關(guān)鍵結(jié)構(gòu)，構(gòu)建、分類、比較解答路徑，使學生經(jīng)歷呈現(xiàn)、重組和發(fā)展思維的過程，并在這個過程中幫助學生優(yōu)化認知圖式、建構(gòu)認知體系、發(fā)展推理能力，將“冰冷”的解答轉(zhuǎn)化為“火熱”的創(chuàng)造.