模型思想的本質意蘊與教育價值

鄭義富

(華南師范大學 教育科學學院， 廣東 廣州 510631)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》明確了數學課程培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的總目標，即“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”[1]?！叭龝敝饕獙鴶祵W基本思想中的抽象、推理與模型思想。史寧中先生認為，“數學”就是人類認識世界的一種媒介模型，數學模型是溝通數學與外部世界的橋梁[2]。而“模型思想”即體現了數學的眼光，又必然運用數學的思維，并且是用特征鮮明的數學語言表達現實世界?？梢娔Ｐ退枷氲挠酥髦寂c“三會”的育人目標有著高度一致性，學生“模型思想”的獲得與發(fā)展亦能夠充分彰顯以“三會”為總目標的核心素養(yǎng)的落實。

但是相比于“抽象思想”與“推理思想”，中小學教師對“模型思想”的認識理解與重視的程度并不理想。近年來國內外相關文獻中關于“模型思想”的探討也不如另二者豐富，“模型思想”的概念界定還不夠明晰，對在教學中落實“模型思想”育人目標的方法與策略的研究尚缺乏足夠的深度。本文希望通過對模型思想本質內涵及其育人價值的深入剖析，從而更為全面、更為深入地認識模型思想，落實數學核心素養(yǎng)育人目標。

一、模型思想的本質探析

(一)什么是模型

區(qū)別于生活中的按實物比例和結構模擬出的“模型”，在討論“數學模型”與“模型思想”時，“模型”應是一個“科學”用語。而作為科學詞匯的“模型”譯自法語modele，詞源為拉丁語modus——樣子，指某一客體(或客體系統(tǒng))的相對的形狀(形象、模式、描述等)，用來表達人關于實物的知道和這些實物之間的關系。有學者將“模型”直接作為一種“模式”來闡述，具體樣態(tài)可以是客觀實物的相似模擬(實物模式)，也可以是真實世界的數學描寫(數學模式)，還可以是思想觀念的文字表達(語義模式)、客觀現實的形象顯示(圖像模式)以及情感體驗的聲音抒發(fā)(音樂模式)等[3]。

筆者認為，“模型”從其生成過程來看，就是認識、反映、改造客觀世界的方法和途徑，而當這“方法和途徑”有了“邊界”，就有了范疇化的區(qū)別于它類的形式，并形成了自成體系的創(chuàng)生方式，于是就生成了“模型”。從“學科”角度來看，如同音樂、美術是用韻律或色彩反映人類聽覺、視覺感官之美的模型一樣，每一門學科就是一類模型，可以是數學意義上的模型，也可以是物理學意義上的模型，還可以是化學意義上的模型等。如給“模型”下個定義，那就是“人對客觀事物的性質、特征以及規(guī)律、關系的主觀反映所進行的抽象了的模擬再現或抽象化的表達形式”。模型的本質就是一種抽象的結果，所要經歷的應是由客觀實在到思維內在，由簡單模擬到復雜分析，由具體方法到一般思想的抽象過程。

(二)什么是“數學模型”

美國學者柯朗和羅賓給出的定義是：所謂數學模型，就是根據特定的研究目的，采用形式化的數學語言，去抽象地、概括地表征所研究對象的主要特征、關系所形成的一種數學結構[4]。顧泠沅先生則認為，數學模型是數學抽象的結果，是對現實原型的概括反映或模擬，是一種符號模型。數學模型思想方法就是指通過數學模型來解決問題的一種思想方法[5]。史寧中教授認為，數學模型是指“用數學所創(chuàng)造出來的概念、原理和方法，來理解、描述和解決現實世界中的一類問題。這樣的一類問題往往蘊含著某種事物發(fā)生的規(guī)律性，或者說，蘊含著某種事物發(fā)展的必然性。”[6]通俗地說，數學模型借用數學的語言講述現實世界的故事。數學模型描述的是規(guī)律性的、必然性的那些東西，是構建數學與現實世界的橋梁[7]?？追舱芙o數學模型的定義是：“數學模型指根據問題實際和研究對象的特點，為了描述和研究客觀現象的運動變化規(guī)律，運用數學抽象、概括等方法而形成的，用以反映其內部因素之間的空間形式與數量關系的數學結構表達式，包括數學公式、邏輯準則、具體算法和數學概念。數學模型是數學抽象、概括的產物，其原型可以是具體對象及其性質、關系，也可以是數學對象及其性質、關系?！盵8]上述專家學者對數學模型的定義雖然切入點不同，但都指出了數學模型的一些基本特征。如數學化的語言、抽象概括的思考方法、指向事物規(guī)律和關系的研究、基于現實世界的問題、形成數學式的結構等。

為了有所區(qū)分，一般學者還會從廣義和狹義兩方面對數學模型做出解釋。如有學者認為：“從狹義上說，在高等數學中，我們可根據數學的不同分支來對數學模型進行分類。此時，數學模型可分為規(guī)劃模型、圖論、優(yōu)化模型、概率模型、常微分方程等。事實上，義務教育階段的數學模型很難以數學分支進行分類。從廣義上說，數、方程、空間幾何體都可以視為數學模型?！盵9]還有學者認為，廣義上說，數學中的許多重要概念(如方程、函數等)都可稱之為數學模型，正如張奠宙教授指出的，“加、減、乘、除”都有各自的現實原型，它們都是以各自相應的現實原型作為背景抽象出來的。狹義地說，只有反映特定問題和特定具體事物系統(tǒng)的數學關系結構，方可以構成數學模型，而且這類數學模型大致可分為兩類：一類是描述客體必然現象的確定性模型，其數學工具一般是代數方程、微分方程、積分方程和差分方程等；另一類是描述客體或然現象的隨機性模型，其數學模型方法是科學研究與創(chuàng)新的重要方法之一。也就是說，按通行的、比較狹義的解釋，只有那些反映特定問題或特定具體事物系統(tǒng)和數學關系的結構，才叫作數學模型。模型是聯(lián)系現實世界與數學世界、數學與其他學科之間的一座必不可少的橋梁和紐帶[10]。

但筆者并不贊同將數學模型進行廣義與狹義的劃分，一方面這種劃分難以清楚劃定“界限”；另一方面，各種劃分也是不一而足，容易造成混淆，特別是不利于中小學教師對數學模型的認識與把握。但筆者贊同將數學模型對應于不同學段進行描述性定義。如史寧中教授認為，在小學階段，數學模型則是“根據已有的實際問題，用字母、數字及其他數學符號建立起來的代數式、關系式、方程、函數、不等式，以及各種圖表、圖形等都是數學模型，即我們所說的數學模型是與實際問題緊密聯(lián)系的”[11]。

基于對“數學模型”相關文獻的學習，結合自身教學實踐中的思考，筆者認為，正如模型的本質就是一種抽象，數學模型的本質就應該是一種抽象的數學結構?！皵祵W模型”須是經歷數學的抽象、數學的推理、采用數學的符號，解決數學化了的問題。因此，“數學模型”也就是數學化的模擬再現或數學化的表達形式。所謂“數學化”，即采用數學特有的語言(數與符號、式與圖形等形式)，對數學視角的客觀世界(本質、特征、規(guī)律、關系等)，進行數學式的探究(通過直觀、抽象、推理或數量刻畫、數據分析等方法)，形成數學化的表達(抽象概念，數學定義、定理，關系式、圖式結構等)，從而解決相應的實際問題，并能便捷地運用到類似問題的解決中，且為數學本身的發(fā)展提供成果和動力。

(三)什么是模型思想

史寧中教授認為，模型思想是用數學的概念和原理描述現實世界過程中所依賴的那些思想[12]，即“能夠有意識地用數學的概念、原理和方法，理解、描述以及解決現實世界中一類問題的那種思想”。掌握模型思想就是，把握現實世界中一類問題的本質與規(guī)律，用恰當的數學語言描述問題的本質與規(guī)律，用合適的數學符號表達問題的本質與規(guī)律，最后得到刻畫一類事物的數學模型。簡而言之，模型思想就是用數學的語言講述現實世界的故事；數學模型構建了數學與現實世界的橋梁，借助數學模型使數學回歸于現實世界[13]。

《義務教育數學課程標準(2011年版)》中明確要求“要使學生初步形成模型思想”，并指出：“模型思想的建立是幫助學生體會和理解數學與外部世界聯(lián)系的基本途徑”[14]。新修訂的《義務教育數學課程標準(2022年版)》[15]中，則以“三會”的表述形式揭示“數學思想”的重要意義和價值，并根據不同學段分別作以表述。模型思想落在小學階段的任務與表現即為“模型意識”，初中階段則為“模型觀念”，高中階段就是“建模能力”。“分段表述”充分體現出核心素養(yǎng)導向下學生模型思想的獲得與發(fā)展的一致性、階段性與整體性。

筆者認為，模型思想雖立足于“模型”，但側重在“思想”，“數學的模型”是“殼”，“模型的思想”才是“靈魂”。因此，筆者所理解的模型思想，應是能動地運用或創(chuàng)造“模型”去探究客觀世界并解決實際問題的意識、觀念與能力的綜合性的主觀體現。所運用或創(chuàng)造的“模型”并不局限于數學模型，但作為抽象化反映客觀現實世界的“數學模型”顯然是最能完美刻畫對象且廣受人們青睞的“模型”。“模型思想”作為思想的薈萃，不可能局限于一種形態(tài)，它既是一種觀察、認識、反映并改造客觀世界的方法和手段，也是經由這種方法和手段認識并改造客觀世界的最終成果；既是數學學科大廈建構賴以支撐的思想根基，也是學生數學學習所必需的知識和能力；既是解決數學問題的成功手段與參考案例，又是解決現實生活問題的科學且高效的不二法門；既是教師教學中所秉持的育人理念，也是學生核心素養(yǎng)的主要體現。其所彰顯的特性，是知識性的，更是思想性的；是應用性的，更是創(chuàng)造性的；是歷史性的，更是面向未來的！

二、模型思想的教育價值

每一處數學知識的教學其實都是對一種“模型”的探究與感悟?！澳Ｐ退枷搿痹谥行W具有極其重要的育人價值和深遠教育意義。

(一)堅定落實立德樹人根本任務

新修訂的《義務教育數學課程標準(2022年版)》所遵循的課程理念是：“以習近平新時代中國特色社會主義思想為指導，落實立德樹人根本任務。”模型思想方法的教學要落實立德樹人根本任務必須要讓教育過程呈現出勃勃生機，要能在對模型思想本質探究以及知識論、方法論、認識論等多種視角全面辨析的基礎上深入扎實開展教育教學活動，力求能在學生的心中播下“創(chuàng)新精神、應用精神、理性精神”的種子，培育學生樹立起面向未來的人生觀、價值觀，為探索未來世界積蓄力量。

(二)形成和發(fā)展數學核心素養(yǎng)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》明確提出：“數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用。數學素養(yǎng)是現代社會每一個公民應當具備的基本素養(yǎng)?！绷x務教育階段數學新課標將課程總目標定位為落實核心素養(yǎng)導向的“三會”。史寧中教授認為，在數學的教學中，讓學生了解數學模型特別是了解數學模型的形成過程是非常重要的，因為在這個過程中，可以讓學生體會如何通過數學的“眼睛”來觀察和分析現實世界中的一些事情，利用數學的“語言”來描述和分析這些事情[16]。而且模型構造的過程也必然經歷了“用數學的思維思考”。由此可見，模型思想的教學能夠也必然要肩負著落實“三會”的數學核心素養(yǎng)培育的重任。正如曹培英所指出：“數學基本思想承載了獨特的、鮮明的學科育人價值，可教、可學，是名副其實的學科核心素養(yǎng)。”[17]

(三)培育面向未來的數學能力

很難想象人類社會發(fā)展史上如果缺少“數學”這一主要推動力量會是怎樣，科學家考特(N.A.Court)這樣贊譽數學的貢獻，“數學是人類智慧王冠上的明珠”[18]?？v觀數學發(fā)展史、科技發(fā)展史都可以充分地說明這一點。進入21世紀，數學新思潮更是不斷涌現。數學思想方法幾乎滲透到社會生活的方方面面，文化、教育、醫(yī)療，甚至飲食與天氣等無不有數學工具的應用在發(fā)揮著關鍵作用。金融、互聯(lián)網、大數據、人工智能、航空航天等領域中的復雜模型系統(tǒng)和全新建模分析更是俯拾皆是。正如數學家布克(R.C.Buck)所指出的，“模型是所有數學應用的心臟，也是某些最抽象的純數學的核心”[19]。

數學漫長的發(fā)展歷程結出了難以想象的豐厚的智慧成果，但是，今天的數學教育決不能只是面向數學過去的輝煌，只是竭盡全力地要學習掌握前人的思想成果，這既辦不到也沒必要。當然也不能僅僅面向當下，一味地“走進生活去應用”，卻忘記了數學的高貴之處來自其“脫離”生活表面現象的“抽象”的魅力。數學，數學人，數學教育必須旗幟鮮明地面向未來?！拔覀儽仨毩粜臄祵W明日會是什么，數學對未來的滲透力不僅具有廣度，而且具有深度?？茖W和技術的巨大發(fā)展主要的是由于數學的當下的發(fā)展?！盵20]而面向未來的數學教育要擔起“立德樹人”、發(fā)展數學核心素養(yǎng)的根本任務，也要當仁不讓地擔負起培養(yǎng)學生面向未來的關鍵能力?！澳Ｐ退枷搿苯虒W則在培養(yǎng)學生“直觀洞察能力、發(fā)散想象能力、猜想驗證能力、抽象推理能力、綜合應用能力”等方面具備得天獨厚的優(yōu)勢。

1.直觀洞察能力?！皵祵W模型”絕不會憑空而現，它一定是基于人對生活的有意識有方法的、全面的觀察與深入的理解。引導學生“發(fā)現問題與提出問題”就是在培養(yǎng)學生直觀洞察能力，促進學生洞察事物本質、抓住事物間主要關系的思維發(fā)展，學會用數學的眼光觀察世界。

2.發(fā)散想象能力。無論是生活中觀察到的“現象”，或是人類自身創(chuàng)造的“情境”，都不會是簡單的“表面”現象所能涵蓋，它們有著太多豐富的隱含“密碼”，需要我們自由大膽地想象，并盡可能地將思維廣度與深度進行“發(fā)散”，在充分的想象與發(fā)散的過程中抓住那一閃即逝的“靈感和直覺”，獲得打開智慧大門的鑰匙。

3.猜想驗證能力。沒有猜想就沒有一切，沒有驗證就沒有真實的一切。數學家說，“讓我們教猜想吧”。前文“提出問題、問題具化”的模型構造環(huán)節(jié)就是指向“猜想”。只有產生“猜想和假設”才算開啟“模型構造”的真正歷程。盡管這些“猜想和假設”大部分沒有開花結果，但“猜想”本身已是彌足珍貴。試問有哪一個偉大的數學思想不是由看似不起眼的“猜想”的種子奮力生長而至成為枝繁葉茂的思想大樹？在這奮力成長的過程中，必然缺少不了不斷地“檢驗與修正”，正是這一次次地驗證和不斷地調整，才能為“真理”的生成保駕護航。

4.抽象推理能力。模型在本質上就是抽象。模型構造的過程中，抽象模擬、一一對應、分類列舉、數量刻畫、多元表征都是抽象思考的具體體現。沒有抽象，生活只是生活；有了抽象，生活現象就得到了數學的升華。推理是進一步的抽象，是抽象的組合與關聯(lián)。模型構造中問題的提出、關系的分析、規(guī)律的探究、邏輯的驗證都是推理的過程。沒有推理，猜想只是猜想，問題依然是問題。有了推理，猜想就有了驗證的途徑，問題就有了解決的辦法。模型是更深入的抽象，也是模式化的推理，抽象和推理如果不以模型做成果，還有什么可讓其充滿“生命力”呢？數學模型蘊含著抽象與推理所彰顯的數學理性，更詮釋真善美的追求的統(tǒng)一。模型思想的教學，就是在潤物細無聲地培育著學生抽象與推理的能力。

5.綜合應用能力?！熬C合”是模型思想的重要特征之一，無論是其形成階段或是應用階段，都充分體現了廣泛的綜合性。而現實“應用”則是模型思想的使命和歸宿。史寧中教授指出，數學模型的價值取向不是數學本身，而是描述現實世界所期待的作用。數學模型是借用數學的語言講述現實世界的故事[21]。數學模型廣泛應用于科學研究和社會生活各個領域。模型方法是集理論研究、自然研究、社會研究各種領域的綜合性的研究方法。顧泠沅與邵光華等學者指出：“通過數學模型方法的學習能夠促進學生了解數學與其他學科及日常生活的相互聯(lián)系，深刻領悟數學的應用價值，培養(yǎng)數學應用意識和能力；激發(fā)學習興趣，形成良好情感態(tài)度以及全面的數學價值觀?！盵22]

6.創(chuàng)新創(chuàng)造能力。有研究者認為：“數學模型就是在數學的幫助下解決復雜而現實的問題”[23]。而“復雜”問題的解決方法和途徑往往是創(chuàng)新的思想和創(chuàng)造的手段。創(chuàng)新創(chuàng)造能力是不折不扣的面向未來的能力，更是改造世界推進人類發(fā)展的最關鍵的動力。模型思想的教學雖然少不了要學習前人的數學模型成果，但其根本宗旨卻一定不是為了向這些已有的“成果”膜拜，而是學習并積蓄創(chuàng)建新思路、創(chuàng)造新模型的強大力量。也正因此，筆者特別強調在數學教學中尤其要注重模型建構“前”的“創(chuàng)生”的過程。相比完美的模型“成品”，模型構建前的思考和工作更有價值。要讓學生清楚，解決問題不是宗旨，試圖能夠找到讓別人也能夠解決同類問題的通用的方法才有價值，如果在解決問題時創(chuàng)造出新的思路、方法、模型，那價值必然更高，而在探索的歷程中培育了創(chuàng)新意識、樹立了創(chuàng)新思想、扎根了創(chuàng)新精神則最為可貴！

數學家考特說：“數學不但給了人類以利用自然的技術工具，不僅提供了一個偉大的、無與倫比的、充滿了智慧美與享受的寶庫，而且它還使人類對其自身及其命運充滿信心，給人類以希望。鼓勵其進一步斗爭，爭取更好的、更高尚的和更加美的生活?！盵24]模型思想的教學也應立足于擔當促進人類進步的使命，遵循教育教學規(guī)律，落實核心素養(yǎng)。在落實素養(yǎng)過程中要注重整體性、一致性、階段性。其中小學階段注重“模型意識”的培養(yǎng)，初中階段注重“模型觀念”的形成，高中階段注重“數學建?！蹦芰Φ呐囵B(yǎng)。而無論哪個學段，都應明確：數學模型思想的教學需要教授模型知識與建模技能，但教學目標絕不僅僅是為了掌握模型知識技能；我們還需要通過模型知識技能的傳授習得模型思考方法和策略，更需要在模型方法和策略的實踐中獲得創(chuàng)新創(chuàng)造的能力。最終，我們要能夠使學生獲得良好的數學核心素養(yǎng)，深植必需的數學模型思想，樹立科學理性精神，幫助學生發(fā)展成為人格完善的全面和諧發(fā)展的人。