雙錐型五模材料低頻聲波調(diào)控及參數(shù)設(shè)計(jì)*

潘宇雄 徐峰祥 牛小強(qiáng)

(1 武漢理工大學(xué)現(xiàn)代汽車零部件技術(shù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室武漢 430070）

(2 武漢理工大學(xué)汽車零部件技術(shù)湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心武漢 430070）

0 引言

噪聲已成為僅次于大氣污染的第二大城市公害，嚴(yán)重危害人們的身心健康[1]。通過控制噪聲來提高人們的生活質(zhì)量，已成為當(dāng)前的一大熱門方向。而近年來，隨著五模聲學(xué)超材料等周期性材料的興起，研究學(xué)者在控制聲波、彈性波等方面找到了新的解決途徑。五模材料(Pentamode material,PM)最早由美國(guó)猶他大學(xué)Milton和Cherkaev提出，定義為彈性矩陣僅有一個(gè)特征值不為零的材料，是一種退化的彈性介質(zhì)。由于特殊的彈性張量形式C=KS?S，五模材料只能承受與特征應(yīng)力S成比例的應(yīng)力狀態(tài)，在其余應(yīng)力狀態(tài)下會(huì)像流體一樣在剪應(yīng)力下發(fā)生流動(dòng)，因此五模材料也是一種具有固體形態(tài)的復(fù)雜流體。Milton等[2]提出由16個(gè)雙錐單元組成了一個(gè)周期單元的五模材料結(jié)構(gòu)，理想的五模材料結(jié)構(gòu)的剪切模量為零，從而解除了固體壓縮變形和剪切變形之間的耦合，使五模材料不易被壓縮而易“流動(dòng)”。Norris[3]理論分析了五模材料用于聲學(xué)隱身衣的可行性。五模材料具有較低的填充率和質(zhì)量這一特點(diǎn)，使設(shè)計(jì)力學(xué)和聲學(xué)五模材料斗篷成為了可能[4-7]。針對(duì)理想五模材料的點(diǎn)狀連接導(dǎo)致的穩(wěn)定性差等問題，Schittny等[8]采用一個(gè)小直徑來代替點(diǎn)狀連接，Kadic等[9]、Buckmann等[10]研究了當(dāng)各雙錐單元位置變化和不同泊松比所構(gòu)建的各向異性五模材料。五模材料在力學(xué)方面的研究被Kadic課題組[11-12]所報(bào)道，Buckmann等[13]根據(jù)五模材料的力學(xué)性能制作出了力學(xué)無感知隱身衣。Aravantinos-Zafiris等[14]設(shè)計(jì)出一種非雙錐型的新型逐層桿式五模材料結(jié)構(gòu)，并通過計(jì)算相速度比得到了材料的品質(zhì)因數(shù)。

Xiao等[15]試制了五模式層狀圓環(huán)形聲斗篷；Cai等[16]分析了二維五模材料的聲學(xué)和機(jī)械特性，張向東等[17]對(duì)分層近似理論進(jìn)行了數(shù)值分析。Chen等進(jìn)行了二維五模材料斗篷的理論分析[18]，并對(duì)五模材料在聲學(xué)調(diào)控領(lǐng)域的發(fā)展現(xiàn)狀進(jìn)行了敘述[19]。Cai等[20-22]發(fā)現(xiàn)五模材料具有所有聲波均被禁止的三維完全聲子禁帶頻率區(qū)域，進(jìn)一步拓寬了五模材料的應(yīng)用領(lǐng)域。

這些超材料一般在亞波長(zhǎng)尺度工作,它們的原胞尺度通常可比工作波長(zhǎng)小一個(gè)或幾個(gè)數(shù)量級(jí),用這類材料能夠?qū)崿F(xiàn)小尺寸控制大波長(zhǎng)[23]。超材料的性質(zhì)與其中帶隙的存在有著密切關(guān)系。通常認(rèn)為帶隙的產(chǎn)生源于兩種機(jī)理：即布拉格散射機(jī)理和局域共振機(jī)理。目前大多數(shù)已有的五模材料都是基于布拉格機(jī)理，產(chǎn)生帶隙的最低頻率對(duì)應(yīng)的彈性波波長(zhǎng)與晶格常數(shù)為同一量級(jí)。利用布拉格散射機(jī)理的超材料的結(jié)構(gòu)尺寸會(huì)因過大而失去實(shí)用價(jià)值，而局域共振型結(jié)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)小尺寸低頻聲波的調(diào)控[22]。局域共振型工作機(jī)理是在特定頻率彈性波的激勵(lì)下，各個(gè)散射體產(chǎn)生共振，并與彈性波長(zhǎng)波行波相互作用，從而抑制其傳播。由于局域共振帶隙的產(chǎn)生取決于散射體自身的共振特性，以及與基體中長(zhǎng)波行波的相互作用，因此其帶隙頻率與單個(gè)散射體固有的振動(dòng)特性密切相關(guān)[24]。

為了控制噪聲和進(jìn)行聲波調(diào)控，本文根據(jù)已有的六邊形排列構(gòu)型設(shè)計(jì)了一種具有局域共振聲子帶隙的雙錐五模材料，運(yùn)用仿真軟件進(jìn)行了能帶分析并驗(yàn)證了其結(jié)構(gòu)的五模特性?？紤]到六邊形排列的五模材料的低頻聲波帶隙較窄，設(shè)計(jì)了正方形和三角形兩種不同形狀排列的五模材料，經(jīng)過對(duì)比選擇了性能更優(yōu)異的三角形排列的五模材料；接著探究了結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)和幾何參數(shù)變化對(duì)三角形排列雙錐五模材料的聲子帶隙的影響。通過分析這些參數(shù)產(chǎn)生影響的變化規(guī)律，可以更好地設(shè)計(jì)出所需要的五模材料，對(duì)用于控制噪聲和聲波調(diào)控的五模材料的構(gòu)型和參數(shù)選擇具有一定的參考價(jià)值。

1 雙錐五模材料構(gòu)造

1.1 六邊形排列構(gòu)型

如圖1(a)所示，根據(jù)已有常用的六邊形排列構(gòu)型，選擇TC4鈦合金和硫化橡膠兩種材料對(duì)胞元結(jié)構(gòu)進(jìn)行填充，填充方式如圖1(b)所示，灰色雙錐區(qū)域?yàn)門C4鈦合金，黃色節(jié)點(diǎn)區(qū)域?yàn)榱蚧鹉z，建立了雙錐五模材料。TC4鈦合金的泊松比μ=0.34，楊氏模量E=110 GPa，質(zhì)量密度ρ=4510 kg/m3；硫化橡膠的泊松比μ=0.47，楊氏模量E=1 MPa，質(zhì)量密度ρ=1300 kg/m3。取結(jié)構(gòu)最小單元為胞元，通過周期性排列即可得到該結(jié)構(gòu)，因此采用胞元結(jié)構(gòu)分析和計(jì)算能帶結(jié)構(gòu)，可以在保證仿真精度的前提下節(jié)省計(jì)算資源。其中雙錐結(jié)構(gòu)通過節(jié)點(diǎn)接觸連接，提高了結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。把原胞作為一個(gè)共振單元，節(jié)點(diǎn)區(qū)域的材料給共振單元提供了所需的彈性，而雙錐區(qū)域的材料給共振單元提供了所需的質(zhì)量。當(dāng)經(jīng)過五模材料結(jié)構(gòu)的彈性波頻率接近共振單元的共振頻率時(shí)，共振單元將與彈性波發(fā)生強(qiáng)烈耦合，使其不能傳播，從而產(chǎn)生了局域共振帶隙。胞元的幾何參數(shù)設(shè)置為雙錐軸向長(zhǎng)L≈9.24 mm，雙錐寬D=3 mm，節(jié)點(diǎn)半徑r=0.3 mm，晶格常數(shù)a=16 mm。

圖1 六邊形排列雙錐五模材料及其單胞結(jié)構(gòu)Fig.1 Hexagonal configuration of biconical pentamode material and the unit cell

在不可約Brillouin區(qū)邊界上選取波矢就可以得到確定帶隙范圍的能帶結(jié)構(gòu)[25]。運(yùn)用仿真軟件設(shè)置波矢取值范圍，使其繞不可約Brillouin區(qū)的邊界一周，得到六邊形排列五模材料的聲子能帶圖。其單胞的簡(jiǎn)約Brillouin區(qū)如圖2所示。圖3所示為六邊形排列五模材料聲子能帶圖。

圖2 六邊形排列單胞的簡(jiǎn)約Brillouin區(qū)Fig.2 The simplified Brillouin region of a unit cell based on hexagonal configuration

圖3 六邊形排列五模材料能帶圖Fig.3 The phonon band diagram of a unit cell based on hexagonal configuration

能帶圖中包括了6條能帶曲線，橫軸為倒格矢空間中波矢繞不可約Brillouin區(qū)經(jīng)過3個(gè)高對(duì)稱點(diǎn)的路徑方向，縱軸為特征頻率。其中，黑色區(qū)域稱為聲子帶隙或禁帶，頻率在這一區(qū)域內(nèi)的所有聲波都將被禁止傳播。帶隙的頻率上邊界ft=700 Hz，頻率下邊界fl=691 Hz，絕對(duì)帶寬Abw=ft-fl-=9 Hz。

1.2 聲波調(diào)控特性分析

1.2.1 禁帶特性

為了探究局域共振帶隙機(jī)理特性，取圖3中E、F兩點(diǎn)，頻率分別為689.78 Hz和700.04 Hz，得到振型如圖4所示。E點(diǎn)對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)區(qū)域的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，而雙錐寬區(qū)域幾乎不發(fā)生振動(dòng)，此時(shí)雙錐區(qū)域中的長(zhǎng)波行波難以與節(jié)點(diǎn)區(qū)域的振動(dòng)相耦合，帶隙尚未打開。F點(diǎn)對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)區(qū)域的平移振動(dòng)，此時(shí)節(jié)點(diǎn)區(qū)域帶動(dòng)雙錐區(qū)域做xOy平面內(nèi)的平移運(yùn)動(dòng)，與雙錐區(qū)域中的長(zhǎng)波行波相互耦合，從而導(dǎo)致帶隙的產(chǎn)生。這種六邊形排列的雙錐五模材料聲子帶隙突破了Bragg散射型在較小周期尺寸(幾厘米或更小)條件下難以獲得低頻帶隙(特別是1 kHz以下)的缺點(diǎn)，但是其帶隙的寬度較窄，還可以進(jìn)一步提升。

圖4 在圖3中的EF兩點(diǎn)的振型圖Fig.4 The vibration mode diagram at point E and F in the Fig.3

為分析五模材料在禁帶頻率內(nèi)阻止聲波傳播的能力，建立了以下模型，如圖5(a)所示，計(jì)算聲波在通過五模材料前后的傳聲損耗(Transmission loss,TL)。其中兩端為完美匹配層，中間灰色區(qū)域黑色結(jié)構(gòu)為五模材料周期結(jié)構(gòu)，從左側(cè)射入頻率為300～800 Hz的平面波，得到入出射端(藍(lán)色實(shí)線)間的傳聲損耗圖如圖5(b)所示。從圖5(b)可得在690 Hz附近，聲波的傳輸損耗最大，此時(shí)頻率處于禁帶頻率區(qū)間，故五模材料能阻礙頻率處于禁帶區(qū)間的聲波傳播。

圖5 傳聲損耗仿真模型及損耗曲線圖Fig.5 Simulation model of sound transmission loss and the diagram of loss curve

1.2.2 單模傳輸特性

能帶圖3中灰色區(qū)域?yàn)榫哂袎嚎s波傳播而同時(shí)剪切波被抑制的單模傳輸區(qū)域[26]。取ABCD四點(diǎn)的振型圖如圖6所示。A、B兩點(diǎn)的波矢方向?yàn)榇怪狈较?，A點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向?yàn)樗椒较颍怪庇诓ㄊ?，故A點(diǎn)對(duì)應(yīng)剪切波運(yùn)動(dòng)模式；B點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向?yàn)榇怪狈较?，與波矢平行，故B點(diǎn)對(duì)應(yīng)壓縮波運(yùn)動(dòng)模式。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)和波矢的關(guān)系，可得C點(diǎn)對(duì)應(yīng)剪切波運(yùn)動(dòng)模式，D點(diǎn)對(duì)應(yīng)壓縮波運(yùn)動(dòng)模式。也就是說在灰色區(qū)域只有壓縮波能夠傳播而剪切波被抑制，即為壓縮波單一模式傳輸，這意味著五模材料在這個(gè)灰色陰影區(qū)域頻率范圍內(nèi)可被看作是理想流體，此外五模材料的單模傳輸這一特性可能給極化濾波器的設(shè)計(jì)提供思路。

圖6 在圖3中ABCD點(diǎn)處的振型圖Fig.6 Vibration mode diagram at point ABCD in the Fig.3

為了驗(yàn)證六邊雙錐五模材料的單模傳輸特性，分析材料與水的聲學(xué)特性匹配程度。將單胞進(jìn)行周期性平移及排列組成了一塊二維五模材料，并運(yùn)用仿真軟件的聲學(xué)模塊對(duì)水域中有無五模材料的聲壓分布進(jìn)行分析和對(duì)比，建立的仿真模型如圖7所示。

圖7 平面波射入有五模材料的水域模型Fig.7 A model of a water area with pentamode material when a plane wave enters

灰色矩形區(qū)域?yàn)橐粔K均勻水域，黑色結(jié)構(gòu)為二維五模材料周期結(jié)構(gòu)。頻率為250 Hz的平面波從左側(cè)以30°角度入射到水域五模材料上時(shí)，得到在沒有和有五模材料情況下水域的聲壓圖，如圖8所示，這里水域的聲速取海水中的聲速為1500 m/s。

圖8 水域聲壓圖Fig.8 Sound pressure diagram of water area

根據(jù)兩種情況下水域的聲壓分布圖對(duì)比可以看出，水中的聲壓分布與沒有五模材料時(shí)的聲壓分布基本相同。在五模材料以外的區(qū)域,平面波特征得到了很好的保持，故這種五模材料和水在聲學(xué)上的傳播特性相似，具有較好的水聲學(xué)匹配特性。五模材料這一聲波調(diào)控特性，使其對(duì)于水中“聲隱身”領(lǐng)域具有潛在前景。

1.3 五模材料品質(zhì)因數(shù)

理想五模材料的剪切模量為零，但實(shí)際五模材料的剪切模量很小但不為零。五模材料的五模特性可用五模品質(zhì)因數(shù)(Figure of merit，F(xiàn)OM=B/G)來表征，品質(zhì)因素越大，表示體積模量B比剪切模量G大得越多，壓縮波和剪切波之間越難以耦合[12]。當(dāng)五模品質(zhì)因數(shù)FOM＞103時(shí)，所設(shè)計(jì)的五模材料結(jié)構(gòu)具有較好五模特性，與理想五模材料一樣能對(duì)聲波進(jìn)行調(diào)控。雙錐型五模材料品質(zhì)因數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式可以表示為[11-12]

其中，h為雙錐長(zhǎng)L，d為節(jié)點(diǎn)直徑，D為雙錐寬。壓縮波的相速度CB可表示為[11]

其中，ρB為有效動(dòng)態(tài)質(zhì)量密度。類似地，剪切波的相速度CG表示為[11]

由于五模材料難以被壓縮，在傳輸波時(shí)發(fā)生的形變遠(yuǎn)小于自身結(jié)構(gòu)尺寸，根據(jù)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的質(zhì)量守恒定律，可認(rèn)為在這種小應(yīng)變下的前后密度保持布標(biāo)，即等效質(zhì)量密度ρB和ρG可看作靜態(tài)質(zhì)量密度ρ0，此時(shí)五模品質(zhì)因數(shù)與相速度的關(guān)系為

通過計(jì)算能帶圖中壓縮波和剪切波對(duì)應(yīng)的能帶曲線斜率，可以進(jìn)一步求得CB和CG的值[11-12]。從圖3中壓縮波和剪切波的能帶曲線斜率求得六邊形排列五模材料的五模品質(zhì)因數(shù)FOM≈1910.1＞103，故這種五模材料結(jié)構(gòu)有較好的五模特征，可對(duì)聲波傳播進(jìn)行調(diào)控。

1.4 正方形排列構(gòu)型

由于六邊形排列雙錐五模材料的聲子帶隙帶寬較小，為得到更寬的帶隙，按如圖9(a)所示構(gòu)造正方形排列雙錐五模材料。胞元的晶格常數(shù)a保持不變?yōu)?6 mm，其他幾何參數(shù)包括雙錐寬D=3 mm，節(jié)點(diǎn)半徑r=0.3 mm。同樣選擇TC4鈦合金和硫化橡膠兩種材料對(duì)胞元結(jié)構(gòu)按如圖6(b)所示進(jìn)行填充。

圖9 正方形排列雙錐五模材料及其單胞結(jié)構(gòu)Fig.9 Square configuration of biconical pentamode material and the unit cell

正方形排列單胞的簡(jiǎn)約Brillouin區(qū)如圖10所示，運(yùn)用仿真軟件按同樣方法對(duì)不可約Brillouin區(qū)邊界進(jìn)行掃描，計(jì)算得到正方形排列雙錐五模材料的聲子能帶圖如圖11所示。帶隙的頻率上邊界ft=646 Hz，頻率下邊界fl=578 Hz，絕對(duì)帶寬Abw=ft-fl=68 Hz。相較于六邊形排列五模材料，正方形排列五模材料帶隙所處頻率更低，且?guī)秾挾雀鼘挘珱]有單模傳輸區(qū)域。

圖10 正方形排列單胞結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)約Brillouin區(qū)Fig.10 The simplified Brillouin region of a unit cell based on square configuration

圖11 正方形排列五模材料能帶圖Fig.11 The phonon band diagram of a unit cell based on square configuration

1.5 三角形排列構(gòu)型

為了在保留單模傳輸特性的前提下，擴(kuò)大帶隙的寬度，按如圖12(a)所示構(gòu)造三角形排列雙錐五模材料，其中晶格常數(shù)a=16 mm，雙錐寬D=3 mm，節(jié)點(diǎn)半徑r=0.3 mm。同樣選擇TC4鈦合金和硫化橡膠兩種材料對(duì)胞元結(jié)構(gòu)按如圖12(b)所示進(jìn)行填充構(gòu)造三角形排列五模材料。

圖12 三角形排列雙錐五模材料及其單胞結(jié)構(gòu)Fig.12 Triangular configuration of biconical pentamode material and the unit cell

通過掃描不可約Brillouin區(qū)邊界得到聲子能帶圖，圖13為三角形排列單胞的簡(jiǎn)約Brillouin區(qū)，圖14為三角形排列雙錐五模材料的聲子能帶圖。帶隙的頻率上邊界ft=569 Hz，頻率下邊界fl=532 Hz，絕對(duì)帶寬Abw=ft-fl=37 Hz。計(jì)算三角形排列五模材料的五模品質(zhì)因數(shù)FOM≈1034.6＞103，故所設(shè)計(jì)的五模材料結(jié)構(gòu)有較好的五模特性。且根據(jù)圖15選取的ABCD四點(diǎn)處的結(jié)構(gòu)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波矢方向的關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)，這種三角形排列雙錐五模材料具有單模傳輸區(qū)域，如圖14中灰色區(qū)域所示。

圖13 三角形排列單胞的簡(jiǎn)約Brillouin區(qū)Fig.13 The simplified Brillouin region of a unit cell based on triangular configuration

圖14 三角形排列五模材料能帶圖Fig.14 The phonon band diagram of a unit cell based on triangular configuration

圖15 在圖14中ABCD點(diǎn)處的振型圖Fig.15 Vibration mode diagram at point ABCD in the Fig.14

1.6 不同排列構(gòu)型性能對(duì)比

在設(shè)計(jì)并分析了3種不同排列形式的雙錐五模材料后，為方便比較帶隙的低頻性和帶寬性，用相對(duì)帶寬Rbw=Abw/((ft+fl)/2)來表征帶隙的這兩種特性，相對(duì)帶寬越大代表禁帶的所處頻率越低，絕對(duì)帶寬越寬，品質(zhì)越好。帶隙的頻率上邊界為ft1，頻率下邊界為fl1，絕對(duì)帶寬為Abw1，相對(duì)帶寬Rbw1。3種不同排列構(gòu)型的雙錐五模材料的低頻聲波調(diào)控性能對(duì)比如表1所示。根據(jù)表1中數(shù)據(jù)進(jìn)行比較可得，正方形排列構(gòu)型的雙錐五模材料的帶隙絕對(duì)帶寬最寬，且相對(duì)帶寬最大，但其沒有單模傳輸這一特性；三角形排列構(gòu)型的五模材料的帶隙的上下界頻率最低，帶隙的絕對(duì)帶寬和相對(duì)帶寬也較大，且同時(shí)具有單模傳輸特性，其五模品質(zhì)因數(shù)FOM＞103，具有較好的五模特性。所以三角形排列構(gòu)型具有更優(yōu)異的低頻聲波調(diào)控性能，在后續(xù)分析中采用此排列構(gòu)型進(jìn)行分析。

“white(白色)”在英語文化中，象征著美好、純潔、高雅、合法。而在漢語中，白色代表著死亡、冷漠，且在漢語中，沒有能表達(dá)出相似文化隱含意義的顏色詞，這時(shí)，我們可以忽略顏色詞，根據(jù)原文的意思進(jìn)行意譯。故選擇了去除顏色詞的翻譯方法，譯為“善意的謊言”。

表1 各構(gòu)型的低頻聲波調(diào)控性能Table 1 Properties of band gaps between pentamode materials based on different configurations

2 構(gòu)型填充材料參數(shù)影響分析

為探究三角形排列構(gòu)型填充材料的材料參數(shù)，包括材料密度、楊氏模量、泊松比對(duì)帶隙及單模傳輸區(qū)域的影響，通過單獨(dú)改變這3種參數(shù)所得到聲子能帶圖和帶隙的上界頻率ft1、下界頻率fl1、絕對(duì)帶寬Abw1、相對(duì)帶寬Rbw1，與單模傳輸區(qū)域的上界頻率ft2、下界頻率fl2、絕對(duì)帶寬Abw2、相對(duì)帶寬Rbw2進(jìn)行分析對(duì)比。

2.1 材料密度影響

影響五模材料的填充材料密度變化有雙錐區(qū)域密度和節(jié)點(diǎn)區(qū)域密度，在其余的材料參數(shù)不變的情況下單獨(dú)改變其中一個(gè)密度，根據(jù)結(jié)構(gòu)的能帶圖計(jì)算得到相關(guān)參數(shù)。節(jié)點(diǎn)區(qū)域材料密度的變化，帶隙和單模傳輸區(qū)幾乎不發(fā)生變化。雙錐材料密度變化影響如表2所示。從表2中數(shù)據(jù)可知，隨著雙錐區(qū)域材料密度的增大，帶隙和單模傳輸區(qū)的上下界頻率和絕對(duì)帶寬都有所下降，但相對(duì)帶寬變化很小，幅度在1%左右。

表2 雙錐材料密度變化對(duì)帶隙及單模傳輸區(qū)域參數(shù)的影響Table 2 Influences of the density of the bicone area on the band gap and the singlemode transmission region

2.2 泊松比影響

對(duì)于填充材料泊松比的變化影響，單獨(dú)改變其中一個(gè)區(qū)域材料的泊松比，取值范圍為0.1～0.47[26]，在其余材料參數(shù)不變的情況下計(jì)算結(jié)構(gòu)的能帶圖，雙錐區(qū)域材料泊松比的變化對(duì)帶隙和單模傳輸區(qū)沒有影響；節(jié)點(diǎn)材料泊松比變化的影響如表3所示。可以看出隨著節(jié)點(diǎn)區(qū)域材料泊松比的增大，帶隙的上邊界頻率先減小最后增大，下邊界頻率一直增大，導(dǎo)致絕對(duì)和相對(duì)帶寬明顯減小，絕對(duì)帶寬減少了近65 Hz，而相對(duì)帶寬下降了12.6%，而單模傳輸區(qū)域的變化很小。

表3 節(jié)點(diǎn)材料泊松比變化對(duì)帶隙及單模傳輸區(qū)域參數(shù)的影響Table 3 Influences of Poisson’s ratio of the node area on the band gap and the single-mode transmission region

2.3 彈性模量影響

按類似方法，分別改變填充材料的楊氏模量，在其余的材料參數(shù)不變的情況下計(jì)算結(jié)構(gòu)的圖，得到相關(guān)參數(shù)發(fā)現(xiàn)雙錐區(qū)域材料的楊氏模量的變化對(duì)帶隙和單模傳輸區(qū)域幾乎沒有影響；節(jié)點(diǎn)材料楊氏模量變化影響如表4所示?？梢钥闯鲭S著節(jié)點(diǎn)區(qū)域材料楊氏模量的增大，帶隙和單模傳輸區(qū)域的上下界頻率都在向高頻移動(dòng)，絕對(duì)帶寬增大，但相對(duì)帶寬不變，分別保持在6.7%和39.4%。

表4 節(jié)點(diǎn)材料楊氏模量變化對(duì)帶隙及單模傳輸區(qū)域參數(shù)的影響Table 4 Influences of Young’s modulus of the node area on the band gap and the single-mode transmission region

根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，可以發(fā)現(xiàn)對(duì)帶隙和單模傳輸區(qū)域有影響的材料參數(shù)主要有雙錐區(qū)域填充材料的材料密度，以及節(jié)點(diǎn)區(qū)域填充材料的泊松比和楊氏模量。為使五模材料獲得更好的聲波調(diào)控特性，可以按以下規(guī)律選擇填充材料：

(1)雙錐和節(jié)點(diǎn)區(qū)域選擇質(zhì)量密度較輕的填充材料，不僅可以減小結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，且絕對(duì)帶寬也變寬，相對(duì)帶寬不變。

(2)節(jié)點(diǎn)區(qū)域選擇泊松比較小的填充材料，此時(shí)帶隙向低頻移動(dòng)，且絕對(duì)和相對(duì)帶寬都增大，品質(zhì)得到明顯提升。

(3)節(jié)點(diǎn)區(qū)域填充材料的楊氏模量增大會(huì)使帶隙和單模傳輸區(qū)域向高頻移動(dòng)，但絕對(duì)帶寬也增大，相對(duì)帶寬不變，可根據(jù)低頻性或帶寬性的需求來選擇節(jié)點(diǎn)區(qū)域的填充材料。

3 構(gòu)型幾何參數(shù)影響分析

3.1 雙錐寬D的變化影響

在1.0～5.0 mm的區(qū)間內(nèi)每隔0.5 mm取一個(gè)值作為雙錐寬D的值，在其他的材料參數(shù)和幾何參數(shù)不變的情況下，得到結(jié)果于表5所示，圖16為其變化趨勢(shì)。隨著雙錐寬D的增大，帶隙的上下邊界頻率都下降，但上邊界頻率下降速率較大，導(dǎo)致帶隙的絕對(duì)帶寬顯著減小，相對(duì)帶寬也減小；而單模傳輸區(qū)的上下邊界頻率隨D的增大而增大，絕對(duì)帶寬和相對(duì)帶寬先增大后減小，當(dāng)D取2.5 mm時(shí)，相對(duì)帶寬的值最大，為39.9%。

圖16 雙錐寬D對(duì)帶隙和單模傳輸區(qū)域兩者的影響Fig.16 Influence of biconical width D on band gap and single-mode transmission region

表5 雙錐寬D對(duì)帶隙及單模傳輸區(qū)域參數(shù)的影響Table 5 Influences of bicone width D on the band gap and the single-mode transmission region

3.2 節(jié)點(diǎn)半徑r的變化影響

取0.1～2.0 mm區(qū)間8個(gè)值作為節(jié)點(diǎn)半徑r，在其他的材料參數(shù)和幾何參數(shù)不變的情況下，得到相關(guān)的數(shù)據(jù)并計(jì)算處理如表6所示。由表6中數(shù)據(jù)可得，隨著構(gòu)型節(jié)點(diǎn)半徑r的增大，帶隙的上下界頻率變化很小，絕對(duì)帶寬和相對(duì)帶寬增大，但增幅較??；單模傳輸區(qū)的上下邊界頻率緩慢增大，絕對(duì)帶寬也逐漸增大，但相對(duì)帶寬的變化不明顯，幅度在1%范圍內(nèi)。

表6 節(jié)點(diǎn)半徑r對(duì)帶隙及單模傳輸區(qū)域參數(shù)的影響Table 6 Influences of node radius r on the band gap and the single-mode transmission region

根據(jù)以上數(shù)據(jù)可以看出對(duì)帶隙和單模傳輸區(qū)域影響較大的主要是雙錐寬D，在設(shè)計(jì)單胞構(gòu)型時(shí)可以選擇較小的雙錐寬D值，帶隙雖向高頻方向移動(dòng)，但絕對(duì)帶寬增大，帶隙品質(zhì)得到了較大提升，同時(shí)單模傳輸區(qū)域的低頻性最好；且D值越小，雙錐區(qū)域材料填充越少，五模材料結(jié)構(gòu)的質(zhì)量越輕。節(jié)點(diǎn)半徑r可以選擇較大值，此時(shí)帶隙邊界頻率幾乎不變，但絕對(duì)帶寬和相對(duì)帶寬都有增大，帶隙帶寬性得到提升；此外節(jié)點(diǎn)半徑r較大時(shí)，五模材料結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性更好，但五模特性品質(zhì)變差；當(dāng)r＞0.4 mm時(shí)，五模品質(zhì)因數(shù)FOM＜103。

4 結(jié)論與展望

本文從二維雙錐五模材料入手，引入局域共振型聲波帶隙，采用了節(jié)點(diǎn)替代雙錐間的點(diǎn)接觸，提高了材料結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，設(shè)計(jì)了三種排列形式的雙錐構(gòu)型并進(jìn)行對(duì)比分析，選出了性能比常規(guī)六邊形排列構(gòu)型更優(yōu)異的三角形排列構(gòu)型，接著對(duì)此三角形排列構(gòu)型的低頻聲波調(diào)控影響參數(shù)進(jìn)行了分析，得到了以下結(jié)論：

(1)三角形排列五模材料的聲子帶隙上下邊界頻率最低，帶隙寬度較寬，且具有單模傳輸區(qū)域，該構(gòu)型具有優(yōu)異的聲波調(diào)控性能。

(2)對(duì)三角形排列構(gòu)型填充密度較輕的材料，不僅可以降低五模材料整體質(zhì)量，而且可以提高帶隙的帶寬性；節(jié)點(diǎn)區(qū)域選擇較小泊松比的填充材料能使帶隙品質(zhì)得到較大提升。

(3)選擇較小的雙錐寬和較大的節(jié)點(diǎn)半徑不僅可以提高帶隙品質(zhì)，而且可以降低密度較大的雙錐區(qū)域材料的填充率，減輕結(jié)構(gòu)的整體質(zhì)量，提高結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。但節(jié)點(diǎn)半徑增大時(shí)，五模材料結(jié)構(gòu)的五模特性會(huì)變差，為了保證較好的五模特性，節(jié)點(diǎn)半徑r不宜超過0.4 mm。

通過得到參數(shù)變化時(shí)的影響規(guī)律，可以更好地設(shè)計(jì)出所需要的五模材料。這種三角形排列雙錐五模材料具有的單模傳輸區(qū)域，可用于制作極化濾波器，此外材料還具有的聲子禁帶特征，可限制和阻止五模材料內(nèi)部的聲波傳播，在控制噪聲和“聲隱身”方面具有廣闊的前景。但五模材料作為目前新興的一種聲波控制材料，還有一些其他方面的內(nèi)容有待進(jìn)一步研究，包括設(shè)計(jì)五模材料結(jié)構(gòu)的新構(gòu)型并進(jìn)行相關(guān)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，在保證具有較好的五模特性的同時(shí)提高結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性；雙錐構(gòu)型的直邊可以用曲邊代替，進(jìn)行曲邊參數(shù)化優(yōu)化以獲得具有更優(yōu)異性能的五模材料。