常海斌，曲元海，陳霖，邵鵬

抽象、推理和模型是數(shù)學(xué)賴以發(fā)展的基本思想［1］，抽象的特殊性、推理的嚴(yán)謹(jǐn)性、模型的一般性使得數(shù)學(xué)常給人一種文化自由、價(jià)值無涉的感覺.直至20世紀(jì)60年代，數(shù)學(xué)文化的概念才被首次提出，而后美國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾德在其著作《數(shù)學(xué)概念進(jìn)化》和《作為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)》中系統(tǒng)提出了數(shù)學(xué)——作為一種文化體系的觀點(diǎn)［2］.1988年，以“數(shù)學(xué)·教育·社會(huì)·文化”為主題的ICME-6在匈牙利首都布達(dá)佩斯召開，這次大會(huì)的召開使得數(shù)學(xué)文化受到了數(shù)學(xué)教育界的廣泛關(guān)注［3］.所謂數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語言，以及它們的形成與發(fā)展.廣義上還包括數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會(huì)的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系等等［4-5］，其對(duì)于學(xué)生心理品質(zhì)和誠(chéng)信觀的塑造、審美能力的培養(yǎng)及思維的訓(xùn)練等具有重要意義［6］.

數(shù)學(xué)文化作為高考數(shù)學(xué)所考查的四大學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)之一［7］，近年來受到越來越多學(xué)者的關(guān)注.王婷、李祎［8］和孫慶括［9］分別從不同視角對(duì)近十年高考數(shù)學(xué)文化命題的特征進(jìn)行了分析；張維忠和金月丹以近五年的高考數(shù)學(xué)試題為研究對(duì)象，對(duì)其中數(shù)學(xué)文化類考題的內(nèi)容類型和運(yùn)用水平進(jìn)行了研究［10-11］.祁平［5］和張浩［12］等人分別對(duì)數(shù)學(xué)文化類試題的編制策略進(jìn)行了探討.高考作為教育教學(xué)的指揮棒，具有重要的正面導(dǎo)向作用［13］，本文以2022年的8套高考數(shù)學(xué)試題為研究對(duì)象，對(duì)其中數(shù)學(xué)文化類考題的特征進(jìn)行剖析，以期為數(shù)學(xué)文化類試題的編制和教師教學(xué)提供借鑒與參考.

1 數(shù)學(xué)文化試題特征分析

以下從題型與題號(hào)、數(shù)學(xué)文化的融入方式、文化背景、文化類型及考查的內(nèi)容領(lǐng)域五個(gè)方面對(duì)全國(guó)甲卷（文科、理科）、全國(guó)乙卷（文科、理科）、新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷、北京卷、浙江卷八套試卷中的數(shù)學(xué)文化類考題進(jìn)行分析.基于已有研究，將數(shù)學(xué)文化的融入方式劃分為可分離型和不可分離型［12］，將數(shù)學(xué)文化的類型劃分為知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂、多元文化五類［14］.具體情況如表1所示.

從表1可以看出，2022年高考數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)文化的考查具有以下幾點(diǎn)特征.第一，從考查題型的角度來看，數(shù)學(xué)文化類考題主要以選擇題（單項(xiàng)選擇題）的形式進(jìn)行考查，以解答題和填空題形式考查的較少，其中只有浙江卷以填空題的形式進(jìn)行了考查.研究表明［15］，一份數(shù)學(xué)試題中，解答題難度最大，填空題次之，選擇題難度最低.由此可見，從考查題型的角度來看，數(shù)學(xué)文化類考題的難度整體較低，還有進(jìn)一步均衡和完善的空間.第二，從數(shù)學(xué)文化的融入方式來看，絕大多數(shù)考題都選擇了“不可分離型”的融入方式，選擇“可分離型”的試題僅有2道，這說明命題人非常重視數(shù)學(xué)文化與問題的深度融合，而不是將數(shù)學(xué)文化強(qiáng)加于考題之中.第三，試題的文化背景十分豐富，垃圾分類、南水北調(diào)、北京冬奧、航天工程、數(shù)學(xué)史等內(nèi)容在考題中均有呈現(xiàn)，這對(duì)于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的文化屬性和應(yīng)用價(jià)值具有重要意義.第四，通過對(duì)試題中的文化主題進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)“社會(huì)角色”主題下的考題最多，共計(jì)有七道.“知識(shí)源流”主題下的考題有兩道，“審美娛樂”主題下的考題僅有一道，而“學(xué)科聯(lián)系”和“多元文化”類的考題并未出現(xiàn)，可見考題在不同文化主題下的分布還不夠均衡.第五，從考查的內(nèi)容領(lǐng)域來看，“函數(shù)”“幾何與代數(shù)”“統(tǒng)計(jì)與概率”這幾條主線中的知識(shí)點(diǎn)均有所考查，且“統(tǒng)計(jì)與概率”主線下的知識(shí)考查最多，而“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”并未涉及.

表1 2022年數(shù)學(xué)高考中數(shù)學(xué)文化類考題統(tǒng)計(jì)

2 試題欣賞與評(píng)析

2.1 以優(yōu)秀傳統(tǒng)文化為背景，樹立民族文化自信

例1（新高考Ⅱ卷第3題）中國(guó)古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)與哲學(xué)新知識(shí)的體現(xiàn).圖1是某古建筑物的剖面圖，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，DD1，CC1，BB1，AA1是脊，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的舉步的比分別為，已知k1，k2，k3成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線OA的斜率為0.725，則k3=（）.

圖1 古建筑物剖面圖

A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9

點(diǎn)評(píng)：我國(guó)古代建筑具有悠久的歷史和輝煌的成就，這些古建筑體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔之美、對(duì)稱之美、周期之美、和諧之美，展現(xiàn)了我國(guó)古代高超的建筑水平和精益求精的工匠精神.本題以我國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)為背景，考查學(xué)生利用等差數(shù)列和三角函數(shù)等知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.設(shè)OD1=DC1=CB1=BA1=1，則CC1=k1，BB1=k2，AA1=k3，易知k3=k1+0.2=k2+0.1，結(jié)合=0.725，易得k3=0.9.通過本題，可以讓學(xué)生了解我國(guó)古代建筑的輝煌成就，體會(huì)數(shù)學(xué)在建筑中的應(yīng)用，感悟數(shù)學(xué)美的韻味.

例2（浙江卷第11題）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，如圖2所示.它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白.如果把這個(gè)方法寫成公式，就是其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積.設(shè)某三角形的三邊a=，b=，c=2，則該三角形的面積S= .

圖2 三斜求積術(shù)

點(diǎn)評(píng)：“三斜求積術(shù)”是我國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶獨(dú)立提出的一種利用三角形三邊長(zhǎng)直接求三角形面積的方法，這一方法填補(bǔ)了中國(guó)數(shù)學(xué)史中的一個(gè)空白，彰顯了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的高超水平.該公式最早出現(xiàn)在海倫的著作《測(cè)地術(shù)》中，因此也被稱為海倫公式.此題以“三斜求積術(shù)”為背景，主要考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，由于本題已給出三角形的三邊長(zhǎng)及面積計(jì)算公式，學(xué)生只需將數(shù)值代入公式即可求得.本題也可利用余弦定理求出sinA(sinB、sinC)，進(jìn)而利用公式求得答案.整體而言，本題難度較低，但學(xué)生可以通過本題了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的輝煌成就，對(duì)于樹立文化自信具有重要意義.

2.2 以科技發(fā)展與進(jìn)步為背景，堅(jiān)定投身祖國(guó)建設(shè)的青春信念

例3（全國(guó)乙卷理科第4題）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造衛(wèi)星.為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列，…，依 此 類 推，其 中ak∈N*(k=1,2,…)，則（）.

A.b1＜b2B.b3＜b8C.b6＜b2D.b4＜b7

點(diǎn)評(píng)：近年來，我國(guó)航天事業(yè)發(fā)展迅速，正一步步向航天強(qiáng)國(guó)不斷邁進(jìn).嫦娥二號(hào)是我國(guó)探月計(jì)劃中的第二顆人造衛(wèi)星，是我國(guó)走向航天強(qiáng)國(guó)的重要一步，它以我國(guó)古代神話人物嫦娥命名，展現(xiàn)了我國(guó)航天人的極致浪漫和文化自信.本題以此為背景，考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)列、函數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)分析問題和解決問題的能力，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注我國(guó)航天事業(yè)的發(fā)展，激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)情懷和民族自豪感.本題可以采用取特殊值的方法來解決，取an=1，易得可見分子分母分別構(gòu)成斐波那契數(shù)列，所以b5、b6、b7、b8易求，該題得解.

例4（北京卷第7題）在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色東奧做出了貢獻(xiàn)，圖3描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和lgP的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是bar.下列結(jié)論中正確的是（）.

圖3 二氧化碳所處狀態(tài)與T和lgP的關(guān)系圖

A.當(dāng)T=220，P=1026時(shí)，二氧化碳處于液態(tài).

B.當(dāng)T=270，P=128時(shí)，二 氧 化 碳 處于氣態(tài).

C.當(dāng)T=300，P=9 987時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài).

D.當(dāng)T=360，P=729時(shí)，二 氧 化 碳 處于超臨界狀態(tài).

點(diǎn)評(píng)：2022年2月4日，北京冬奧會(huì) 在 國(guó)家體育場(chǎng)開幕，北京也成為世界上首個(gè)“雙奧之城”.本次冬奧會(huì)首次采用了清潔低碳的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，這是目前世界上最環(huán)保的制冰技術(shù)，是我國(guó)又一重大技術(shù)突破.本題以二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)為背景，主要考查學(xué)生對(duì)數(shù)的相關(guān)知識(shí)和圖象分析能力.當(dāng)T=360，P=729時(shí)，lgP=lg729＞2，分析圖象可知此時(shí)二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故選擇D項(xiàng).本題考查難度較低，數(shù)學(xué)文化的滲透讓學(xué)生了解二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，堅(jiān)定奉獻(xiàn)科技事業(yè)、投身祖國(guó)建設(shè)的青春信念.

2.3 以經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展為背景，普及民生工程知識(shí)

例5（新高考Ⅰ卷第4題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分蓄入某水庫，已知該水庫水位為海拔148.5 m時(shí)相應(yīng)水面的面積為140 km2；水位為海拔157.5 m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180 km2.將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看做一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫水位從海拔148.5 m上升到157.5 m時(shí)，增加的水量約為（7≈2.65）（），如圖4所示.

圖4 水庫水位示意圖

A.1.0×109m3B.1.2×109m3

C.1.4×109m3D.1.6×109m3

點(diǎn)評(píng)：南水北調(diào)是我國(guó)的戰(zhàn)略性工程，也是一項(xiàng)重要的民生工程，超1.2億人從這項(xiàng)工程中直接受益.通過這項(xiàng)工程的開展，使廣大北方地區(qū)的供水格局得以保證和優(yōu)化，同時(shí)也推動(dòng)了沿線生態(tài)文明建設(shè)和經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展.本題以“南水北調(diào)工程”為背景，著重考查學(xué)生空間想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).如圖4所示，設(shè)棱臺(tái)的上、下底面面積分別為S和S'，高為h，由題意可知，S=180 km2，S'=140 km2，h=157.5 m-148.5 m=9 m.由棱臺(tái)體積公式易得該棱臺(tái)體積（即增加的水量）約為1.4×109m3，故選擇C項(xiàng).

例6（全國(guó)甲卷理科第2題）某社區(qū)通過公益講座以及普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí)，為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖5所示，則（）.

圖5 講座前后答題正確率情況

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%.

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%.

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差.

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差.

點(diǎn)評(píng)：綠水青山就是金山銀山，垃圾分類是一項(xiàng)“利國(guó)利民”的民生工程.通過垃圾分類，不僅可以減少環(huán)境污染、降低處理成本，而且可以變廢為寶，增加收益.本題以“垃圾分類”為背景，主要考查學(xué)生利用中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和極差等相關(guān)知識(shí)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的能力.由圖5可知，講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)為89.5%＞85%，故選擇B項(xiàng).

3 啟示與建議

通過對(duì)試題總體特征的分析，以及部分試題的賞析，發(fā)現(xiàn)了一些命題特征，基于此為試題的編制和教師教學(xué)提出以下幾點(diǎn)建議.

3.1 教師應(yīng)努力夯實(shí)自身的數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn)，深入挖掘數(shù)學(xué)文化類考題的文化背景

每一道數(shù)學(xué)文化類考題都蘊(yùn)含著豐富的文化背景，這些文化背景對(duì)于開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)視野、提升學(xué)生的人文素養(yǎng)具有重要意義.教師應(yīng)努力夯實(shí)自身的數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn)，在教學(xué)過程中深入挖掘數(shù)學(xué)文化類考題的文化背景，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的文化魅力.這就要求數(shù)學(xué)教師要深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展脈絡(luò)，以此為基礎(chǔ)不斷汲取數(shù)學(xué)文化知識(shí)，促進(jìn)自身的專業(yè)化發(fā)展.例如，2022年全國(guó)甲卷理科第8題考查了《夢(mèng)溪筆談》中的“會(huì)圓術(shù)”，《夢(mèng)溪筆談》是一部科學(xué)史著作，其作者是我國(guó)古代著名科學(xué)家沈括，教師除了要積累這些題目中的已有信息外，還要以此為契機(jī)深入了解沈括的其他貢獻(xiàn)，如“隙積術(shù)”等.只有這樣，教師才能不斷提高自身的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，促進(jìn)自身的專業(yè)化發(fā)展.

3.2 促進(jìn)數(shù)學(xué)文化教育前移，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和人文素養(yǎng)

學(xué)生身心發(fā)展的特點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的階段性.例如，數(shù)據(jù)分析作為數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)之一，在小學(xué)階段，由于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展還不夠成熟，因此我們的重點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)意識(shí)，到了初中階段我們希望學(xué)生通過數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)獲得一定的數(shù)據(jù)觀念，而到高中階段才要求學(xué)生具有一定的數(shù)據(jù)分析能力.數(shù)學(xué)文化作為發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑，其對(duì)于義務(wù)教育階段學(xué)生的發(fā)展同樣具有重要作用.宋乃慶教授認(rèn)為［17］：數(shù)學(xué)文化在激發(fā)小學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣和情感，發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力等方面具有重要價(jià)值.因此，數(shù)學(xué)文化教育應(yīng)前移至義務(wù)教育階段，從頭抓起、從小抓起，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)文化的熏陶中發(fā)展自己的理性思維，提高自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和文化素養(yǎng).

3.3 進(jìn)一步豐富考題中的文化類型，著重彰顯中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化

2022年高考數(shù)學(xué)主要涉及“社會(huì)角色”“知識(shí)源流”和“審美娛樂”這三種文化類型，而“多元文化”和“學(xué)科聯(lián)系”這兩種文化類型的考題并未涉及.多元文化類考題有助于學(xué)生開闊眼界，體會(huì)精彩紛呈的數(shù)學(xué)文化，而“學(xué)科聯(lián)系”類考題有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，了解數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，因此，數(shù)學(xué)文化類考題應(yīng)進(jìn)一步豐富文化的類型.例如，2022年浙江卷第11題考查了秦九韶的“三斜求積術(shù)”，彰顯了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的高超水平，但是在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，阿基米德和海倫也曾對(duì)這一課題進(jìn)行過深入研究，因此本題在著重考查“三斜求積術(shù)”的同時(shí)也可以對(duì)阿基米德和海倫的貢獻(xiàn)進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹，讓學(xué)生穿越歷史時(shí)空，體會(huì)中西方數(shù)學(xué)家的智慧.此外，考題中還要進(jìn)一步增加“中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”的比重，關(guān)于《完善中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化教育指導(dǎo)綱要》中明確提出：要把中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化教育系統(tǒng)融入課程和教材體系，同時(shí)增加中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化內(nèi)容在中考、高考升學(xué)考試中的比重［16］，高考作為“教師教”與“學(xué)生學(xué)”的指揮棒，對(duì)于中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的傳播與普及具有重要意義，因此，考題應(yīng)進(jìn)一步彰顯中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，培養(yǎng)學(xué)生的愛國(guó)情懷與民族自豪感.

3.4 進(jìn)一步均衡數(shù)學(xué)文化在不同內(nèi)容領(lǐng)域的考查，同時(shí)豐富數(shù)學(xué)文化的考查形式

“函數(shù)”“幾何與代數(shù)”“統(tǒng)計(jì)與概率”和“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”是高中數(shù)學(xué)課程的四大主線.從考查的內(nèi)容領(lǐng)域來看，2022年數(shù)學(xué)文化類考題對(duì)“函數(shù)”“幾何與代數(shù)”“統(tǒng)計(jì)與概率”這幾條主線中的知識(shí)點(diǎn)均有所考查，且“統(tǒng)計(jì)與概率”主線下的知識(shí)考查最多，而“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”并未涉及.模型作為數(shù)學(xué)與外部世界溝通的橋梁，對(duì)于學(xué)生創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力的提升具有重要意義.在今后的試題編制過程中，應(yīng)增加以各種模型為背景的考題，如考慮利用Cobb—Douglas生產(chǎn)函數(shù)模型、Keynesia模型等進(jìn)行試題編制.此外，還應(yīng)增加數(shù)學(xué)文化的考查形式，目前絕大多數(shù)數(shù)學(xué)文化類考題都以單項(xiàng)選擇題的形式考查，而以多項(xiàng)選擇題、填空題、解答題等形式考查的較少，這不利于數(shù)學(xué)文化與考查內(nèi)容的深度融合，數(shù)學(xué)文化的考查形式也應(yīng)趨于多元化.

4 結(jié)語

新高考背景下，數(shù)學(xué)科的考查目標(biāo)與考查要求均有所變化，數(shù)學(xué)文化作為高考數(shù)學(xué)所考查的基本學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)之一，是提高學(xué)生人文素養(yǎng)，增強(qiáng)學(xué)生文化自信的重要依托.我們對(duì)數(shù)學(xué)文化的態(tài)度不應(yīng)停留在“高評(píng)價(jià)，低運(yùn)用”的層面，要切實(shí)挖掘數(shù)學(xué)文化的育人功能.本文對(duì)2022年高考中的數(shù)學(xué)文化進(jìn)行了深入剖析，發(fā)現(xiàn)了一些命題特征，基于此為一線教師教學(xué)提供了幾點(diǎn)可操作性建議.本研究既具有一定的現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義，同時(shí)也為科研人員的理論研究提供了參考與借鑒.