帶競爭勢(shì)Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)的解

魏重慶，李安然

（山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006）

0 引言及主要結(jié)果

Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)是由Schr?dinger方程和Poisson方程耦合成的新方程。它有著很強(qiáng)的數(shù)學(xué)物理背景。在量子電動(dòng)力學(xué)理論中，它描述了在R3中帶電粒子與電磁場的相互作用。此外，類似的系統(tǒng)也出現(xiàn)在半導(dǎo)體理論、非線性光學(xué)、等離子物理等領(lǐng)域。從數(shù)學(xué)角度來看，由于非局部項(xiàng)的存在，該類問題也是國內(nèi)外研究的一個(gè)熱門對(duì)象。國內(nèi)外關(guān)于該類系統(tǒng)的研究已經(jīng)取得了很多豐碩的成果，以至于很難給出一個(gè)全面的介紹。在這里我們只是節(jié)選了其中一些具有代表性的成果。關(guān)于Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)駐波解的研究始于上世紀(jì)九十年代末。1998年Benci和Fortunato［1］首次研究了一類自治Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)的特征值問題。此后越來越多的數(shù)學(xué)工作者采用變分法去研究各類Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)解的存在性、不存在性和多重性以及基態(tài)解、變號(hào)基態(tài)解、多峰解、半經(jīng)典態(tài)解等問題［2-16］。其中，2006年 Ruiz［2］研究了如下一類自治的Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)

其中λ＞0，p∈(2，6)，在徑向?qū)ΨQ函數(shù)空間中，利用變分法作者得到了上述系統(tǒng)非平凡解的存在性與不存在性。2008年文獻(xiàn)［3］利用Nehari-Pohozaev流形方法部分推廣了文獻(xiàn)［2］的結(jié)果，得到了3＜p＜6 時(shí)一類非自治 Schr?dinger-Poisson 系統(tǒng)基態(tài)解的存在性。2010 年 Cerami和 Vaira［4］在位勢(shì)函數(shù)滿足一定可積條件下研究了4＜p＜6時(shí)一類非自治Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)正基態(tài)解和束縛態(tài)解的存在性。2013年文獻(xiàn)［5］利用變分法研究了2＜p＜6時(shí)一類帶有陡井位勢(shì)的Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)非平凡解的存在性以及解的集中行為。2015年王征平和周煥松［6］得到了4＜p＜6時(shí)一類非自治Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)變號(hào)解的存在性并給出了變號(hào)解的能量估計(jì)。2019年通過構(gòu)造特殊的（PS）序列文獻(xiàn)［7］研究了一類漸近2次條件下自治Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)基態(tài)解的存在性。2019年文獻(xiàn)［8］得到了一類漸近4次條件下非自治Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)束縛態(tài)解的存在性。2019年借助Pohozaev恒等式文獻(xiàn)［9］構(gòu)造了一列特殊的（PS）序列進(jìn)而得到了漸近3次條件下無窮多徑向解的存在性。2020年文獻(xiàn)［10］解決了一類帶有非收斂位勢(shì)的Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)基態(tài)解的存在性問題。文獻(xiàn)［11］研究了一類非自治Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)變號(hào)束縛態(tài)解的存在性。文獻(xiàn)［12］得到了一類帶有Choquard型非線性項(xiàng)的Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)變號(hào)解的存在性。臨界Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)基態(tài)解的存在性在文獻(xiàn)［13］被研究了。2021年一類帶有凹凸非線性項(xiàng)的Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)變號(hào)解的存在性在文獻(xiàn)［14］中被研究了。文獻(xiàn)［15］研究了一類Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)多峰解的存在性問題。最近，文獻(xiàn)［16］研究了2＜p＜3時(shí)一類非自治Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)兩個(gè)正解以及非徑向基態(tài)解的存在性。

通過上述文獻(xiàn)可知，非線性項(xiàng)的增長指數(shù)以及位勢(shì)函數(shù)對(duì)Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)非平凡解的存在性有很大的影響。與上述所有文獻(xiàn)不同，本文要研究的是一類帶有競爭位勢(shì)的Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)。具體形式如下

其中2＜p＜min{q，6}≤q，λ≥0是實(shí)數(shù)，K、P、Q是滿足一定勒貝格可積性假設(shè)條件的正的位勢(shì)函數(shù)。從形式上來看，與以往關(guān)于Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)研究最大的不同之處是我們要研究的問題是一種零質(zhì)量問題。因此主要工作空間是D1，2(R3)而不是通常的H1(R3)。另外對(duì)非線性項(xiàng)中指數(shù)q的約束，我們只要求q＞p＞2即可。具體地，關(guān)于位勢(shì)函數(shù)K、P、Q我們做如下假設(shè)

關(guān)于此類競爭位勢(shì)的類似假設(shè)最早由Alama和Tarantello［17］利用變分法研究了如下類型的Dirichlet邊值問題

其中Ω?RN是一個(gè)有界光滑區(qū)域，k和h是非負(fù)有界函數(shù)且滿足一定的可積性條件。根據(jù)參數(shù)λ取值的不同，得到了上述問題非平凡解的不存在性、存在性以及多重性。2001年P(guān)ucci和R?dulescu［18］將競爭位勢(shì)的相關(guān)假設(shè)應(yīng)用到全空間擬線性橢圓方程中。隨后，類似競爭位勢(shì)條件被推廣和應(yīng)用到一些相關(guān)問題上（詳見文獻(xiàn)［19-20］）。

本文的主要結(jié)果敘述如下：

定理1 當(dāng)2＜p＜min{q，6}≤q時(shí)，在條件（K）、（P）、（Q）下，存在λ*＞λ0＞0使得

（i）當(dāng)λ＜λ0時(shí)，系統(tǒng)（Pλ）只有平凡解0；

（ii）當(dāng)λ＞λ*時(shí)，系統(tǒng)（Pλ）至少有兩個(gè)非平凡解。

1 預(yù)備知識(shí)

在這部分，我們給出系統(tǒng)（Pλ）的變分框架以及將要用到的抽象臨界點(diǎn)定理。

首先，我們建立系統(tǒng)（Pλ）的變分框架：D1，2(R3)：={u∈L6(R3)||?u|∈L2(R3)}是一個(gè) Hilbert空間，其上的范數(shù)定義為

2 主要結(jié)果的證明

在這一部分我們將證明主要結(jié)果。首先，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)λ，根據(jù)引理1我們有