活用代數(shù)方法 巧用幾何特征

［摘? 要］ 運算能力問題是學(xué)生解決解析幾何問題的瓶頸，如何有效突破？文章通過“活用代數(shù)方法，巧用幾何特征”策略，結(jié)合高考真題案例加以剖析，適當(dāng)變式拓展，以優(yōu)化解析幾何運算求解能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 代數(shù)方法；幾何特征；優(yōu)化運算；多思少算

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是高考數(shù)學(xué)六大“主干”知識之一，蘊涵著豐富的數(shù)學(xué)思想，但是從教學(xué)現(xiàn)狀以及歷屆高考的答題情況的統(tǒng)計來看，學(xué)生對解析幾何內(nèi)容有畏難情緒. 答題時常出現(xiàn)“想不到”或“想到了不會算”或“算了算不對”等現(xiàn)象，表面上可以歸結(jié)為“粗心”“馬虎”等原因，但追根溯源，其實是對運算方法缺乏預(yù)判和科學(xué)的認(rèn)識造成的. 因此運算能力問題儼然成為學(xué)生解決解析幾何問題的瓶頸. 為突破這一瓶頸，筆者結(jié)合自身教學(xué)實踐，將“活用代數(shù)方法，巧用幾何特征”這一核心思想方法貫穿解析幾何課堂教學(xué)的始終，以優(yōu)化學(xué)生的解析幾何運算求解能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

思維方式不同，解題效率迥異

圓錐曲線研究的對象是幾何圖形，研究的方法是坐標(biāo)法（解析法），一般處理思路是借助曲線的幾何位置關(guān)系等價轉(zhuǎn)換成代數(shù)關(guān)系，通過代數(shù)運算和探究得到相應(yīng)量的關(guān)系，最后翻譯成幾何特征. 在問題的解決過程中，難點就是如何將條件中的幾何圖形（幾何關(guān)系）轉(zhuǎn)化成代數(shù)關(guān)系，即幾何代數(shù)的合理表征決定了思維方式的不同，而不同的思維方式和視角下的運算量的差距也是巨大的. 因此，靈活應(yīng)用代數(shù)方法，巧妙使用幾何特征將直接決定解題的速度與效率.

（1）求橢圓C的方程；

（2）點P為直線x=4上不同于（4，0）的任一點，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點M，N，證明：點B在以MN為直徑的圓內(nèi).

評析：第（2）問是一道常規(guī)的解析幾何證明題，但是學(xué)生的答題效果非常不理想. 大多數(shù)學(xué)生對證明“點B在以MN為直徑的圓內(nèi)”感到束手無策，或者計算復(fù)雜無法繼續(xù)算下去，或者沒有明確的目標(biāo)意識.

第（2）問證明的是“點B在以MN為直徑的圓內(nèi)”，考查的知識點是點與圓的位置關(guān)系，處理這個知識點的常規(guī)方法有兩種：一是代數(shù)法，利用代數(shù)方法的關(guān)鍵是要先求出圓方程，再把點的坐標(biāo)代入圓方程，若多項式是負(fù)數(shù)，則說明點在圓內(nèi). 二是幾何法，利用點到圓心的距離d與圓半徑r比較大小，若d<r，則說明點在圓內(nèi). 按照常規(guī)方法，大部分學(xué)生容易嘗試解法1：

后面無法再計算MN，BQ……

難點分析：由于本題中的圓是動圓，受到動點P（4，t）的制約，因此圓的方程、半徑、點到圓心的距離這些量都帶有參數(shù)t，且形式復(fù)雜，給學(xué)生本來就脆弱的計算能力帶來了很大的挑戰(zhàn)，學(xué)生很難再計算下去，最后只能放棄.

教學(xué)的最高境界在于不斷引導(dǎo)學(xué)生探索未知世界，培養(yǎng)學(xué)生自覺地應(yīng)用所學(xué)知識分析問題、解決問題，這也是數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo). 為了向目標(biāo)靠近，筆者提出了三個問題：

？搖從解法1到解法3，學(xué)生經(jīng)歷了“算不出”到“算得出”，再到“算得簡”的過程，逐步體會到“點B在以MN為直徑的圓內(nèi)”這個幾何特征的不同代數(shù)表征形式對運算效率的影響程度不同.

問題2：“圓錐曲線中動點問題的假設(shè)原則一般是誰動設(shè)誰，請觀察本題中的動點有幾個，一定要設(shè)P（4，t）嗎？是否還有其他的設(shè)參方式？”于是引出了解法4：

問題3：“從剛才的幾種運算方法來看，都是把動點M，N的坐標(biāo)用參數(shù)表示出來，后面將鈍角轉(zhuǎn)化成銳角，把求兩個點M，N的坐標(biāo)簡化成了求一個點M的坐標(biāo)，那么不求點的坐標(biāo)是否也能證明呢？”于是引出解法5（設(shè)而不求）：

例1以“點B在以MN為直徑的圓內(nèi)”這一兼具代數(shù)與幾何特征的知識為載體，由點在圓上即點對直徑張直角，聯(lián)想到點在圓內(nèi)即點對直徑張鈍角，而由鈍角的代數(shù)表征想到了向量積，培養(yǎng)了學(xué)生聯(lián)想以及化歸轉(zhuǎn)化的能力；從計算∠MBN到計算∠MBP，從設(shè)P求M到設(shè)M求P，訓(xùn)練了學(xué)生合理選擇運算路徑的能力；由求點的坐標(biāo)到代數(shù)式的整體運算，體會了“設(shè)而不求”思想方法的本質(zhì). 這一完整的過程讓學(xué)生深深體會到處理圓錐曲線問題的基本策略與方法，更關(guān)鍵的是讓學(xué)生知道代數(shù)法中參數(shù)的選擇. 幾何特征的挖掘、幾何代數(shù)的合理轉(zhuǎn)化，等等，不同視角下運算量的差異化非常明顯. 因此，“靈活應(yīng)用代數(shù)方法，巧妙使用幾何特征”就在優(yōu)化運算中扮演了非常重要的角色.

活用代數(shù)方法，巧用幾何特征

在解決解析幾何問題的過程中，幾何代數(shù)經(jīng)常是形影不離的，著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”，這也道出了其中的真諦. 有些題目，若能巧妙地運用平面幾何的有關(guān)性質(zhì)或圖形的幾何特征，會大大簡化計算量和思維量，給人以一招制勝的神奇效果. 因此，“活用代數(shù)方法，巧用幾何特征”就是解析幾何中優(yōu)化運算，體現(xiàn)新課標(biāo)、新高考“多思少算”理念的關(guān)鍵所在.

如果具備了上述的思維方式，解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)就是計算點M的坐標(biāo)了，此時從運動變化的觀點來分析動因不難發(fā)現(xiàn)：點M與點P是相對變化的，按照引參遵循“誰動設(shè)誰”的原則，可以通過設(shè)點M的坐標(biāo)來計算點P的坐標(biāo)，把直線與曲線的交點問題轉(zhuǎn)化成直線與直線的交點問題，降低了運算的維度（把二次方程變成了一次方程），從而優(yōu)化了運算，提升了運算效率，于是這里實現(xiàn)了優(yōu)化運算的第三步——從“算得簡”到“算得優(yōu)”. 縱觀整個思維過程，將“活用代數(shù)方法，巧用幾何特征”這一核心思想體現(xiàn)得淋漓盡致！

綜上所述，解析幾何運算的關(guān)鍵不在“算”，而是在“想”，要想得透徹、想得明白，才能算得清楚、算得簡潔，這也就是優(yōu)化運算的策略，而這一策略的核心方法就是“活用代數(shù)方法，巧用幾何特征”.

剖析高考真題，領(lǐng)悟方法本質(zhì)

縱觀近幾年的全國高考卷，解析幾何題基本圍繞著“活用代數(shù)方法，巧用幾何特征”這一思想考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，在運算過程中滲透“多思少算”的理念. 本部分將對高考真題如何滲透該思想，結(jié)合變式訓(xùn)練，多角度、全方位地進(jìn)行剖析，讓學(xué)生在掌握思想方法的同時領(lǐng)悟思想方法的本質(zhì)，真正意義上提高學(xué)生優(yōu)化數(shù)學(xué)運算進(jìn)行求解的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng). 下面結(jié)合具體案例加以分析：

反思解題過程可以看出，雖然采用代數(shù)方法建立a，b，c的等量關(guān)系，但是計算量相對較小——只是進(jìn)行了向量坐標(biāo)的簡單計算，在這里起關(guān)鍵作用的是對點B的坐標(biāo)的引入，巧妙地抓住了雙曲線特殊三角形的幾何特征這一知識點，大大地優(yōu)化了計算過程，提升了運算效率. 因此，“活用代數(shù)方法”與“巧用幾何特征”相輔相成，渾然一體，若解決問題時兩者兼顧，則威力無窮.

代數(shù)方法與幾何方法是研究解析幾何問題的兩種常用方法，巧妙地應(yīng)用幾何特征將會簡化解題過程，提升運算效率，起到事半功倍的效果，從而提高學(xué)生優(yōu)化運算求解的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

解析幾何的學(xué)科特征就是“算”，而難點也在“算”上，如何突破運算的瓶頸，提高優(yōu)化運算求解的能力，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，是我們數(shù)學(xué)教師時時刻刻要研究的課題. 本文重點從“活用代數(shù)方法，巧用幾何特征”的角度提出優(yōu)化運算的方法策略，實現(xiàn)了解析幾何運算從“算不出”到“算得出”，從“算得出”到“算得簡”再到“算得優(yōu)”的飛躍. 當(dāng)然，數(shù)學(xué)運算能力的培養(yǎng)是一個系統(tǒng)工程，它還需要理性的思考，需要邏輯推理，等等. 只要我們數(shù)學(xué)教師在課堂上認(rèn)真落實到位，學(xué)生的運算能力就會得到提高.

基金項目：福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度教改專項課題《核心素養(yǎng)導(dǎo)向的“教—學(xué)—評一致性”單元教學(xué)策略研究》（Fjjgzx21-018）階段性研究成果.

作者簡介：黃金明（1982—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，曾獲第八屆全國數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩大賽全國一等獎、教育部“部級優(yōu)課”、福建省第二屆教師教學(xué)技能大賽三明市第一名等榮譽，三明市學(xué)科帶頭人，福建省高中數(shù)學(xué)王欽敏名師工作室成員，水安市數(shù)學(xué)黃金明名師工作室領(lǐng)銜人.