加勁式壓力鋼管臨界外壓數(shù)值計(jì)算方法

蘇 凱，王博士，朱洪澤，陶 軍，徐振東

(1.武漢大學(xué) 水資源與水電工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430072；2.武漢大學(xué) 水工巖石力學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 湖北 武漢 430072；3.海綿城市建設(shè)水系統(tǒng)科學(xué) 湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（武漢大學(xué)），湖北 武漢 430072)

壓力鋼管作為一種超薄殼圓柱結(jié)構(gòu)，由于其布置靈活、節(jié)省鋼材、運(yùn)行可靠等優(yōu)點(diǎn)，在大中型水電站、水資源配置工程中有著悠久的應(yīng)用歷史[1–2]，但在外水壓力或施工期間灌漿壓力的作用下，鋼管放空時(shí)很可能發(fā)生屈曲失穩(wěn)破壞，不僅給工程帶來巨大經(jīng)濟(jì)損失，而且往往難以修復(fù)。

對(duì)于壓力鋼管這種圓柱薄殼結(jié)構(gòu)，相關(guān)學(xué)者在臨界外壓作用下屈曲失穩(wěn)方面進(jìn)行了大量研究。馬文亮等[3]考慮了初始缺陷因素，采用解析法和半解析有限元法分別對(duì)埋藏式加勁壓力鋼管進(jìn)行外壓穩(wěn)定性計(jì)算；梁月英[4]、李明[5]等在屈曲和穩(wěn)定性理論的基礎(chǔ)上，利用線性和非線性有限元法分析外壓作用下壓力鋼管的前屈曲和后屈曲臨界失穩(wěn)荷載；Showkati等[6]基于靜水壓力下加勁式管道屈曲試驗(yàn)，分析了加勁式管道的初始屈曲模式、屈曲擴(kuò)展模式、后屈曲模式、屈服線的發(fā)展模式及管道的最終破壞模式；董文勝[7]和Dong[8]等提出一種將遺傳算法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合對(duì)柱殼結(jié)構(gòu)最小臨界失穩(wěn)荷載進(jìn)行仿真求解的計(jì)算方法；de Paor[9]、宋廣凱[10]、王黎輝[11]等基于非線性屈曲數(shù)值仿真計(jì)算方法，研究了柱殼結(jié)構(gòu)在受到側(cè)壓、軸壓載荷復(fù)雜作用下的非線性屈曲行為；慕園等[12]基于結(jié)構(gòu)屈曲理論，考慮加勁環(huán)和管壁的相互作用，分析了鋼管的線性屈曲情況；伍鶴皋[13]、魯志航[14]、齊文彪[15]等對(duì)國內(nèi)外壓力鋼管屈曲外壓計(jì)算常用的Mises精確式和相關(guān)規(guī)范采用的近似式等方法進(jìn)行了比較研究，并結(jié)合工程案例對(duì)多種解析解結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，指出了屈曲外壓計(jì)算公式的適用范圍及利用規(guī)范推薦方法進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)的不足；Bai[16]、Xue[17]、Toscano[18]等應(yīng)用計(jì)算軟件模擬了深水管道屈曲壓潰和屈曲傳播過程，為壓潰壓力和屈曲傳播壓力的準(zhǔn)確預(yù)測提供了借鑒；余建星[19]、龔順風(fēng)[20]、樊志遠(yuǎn)[21]等通過建立有限元模型，開展全尺寸及縮比尺屈曲試驗(yàn)，研究外壓作用下深海腐蝕缺陷管道的屈曲失穩(wěn)機(jī)理；劉可安等[22]采用有限元軟件進(jìn)行二次開發(fā)，以準(zhǔn)靜態(tài)的方式模擬埋管懸跨段各參數(shù)懸跨段海底管道屈曲壓潰壓力的影響；劉潤等[23]對(duì)比了枕木法、分布浮力法和枕木–浮力耦合法對(duì)海底管道整體屈曲變形規(guī)律的影響，研究了枕木及浮力參數(shù)對(duì)管道水平向屈曲和后屈曲的影響規(guī)律；閆行等[24]建立了柔性約束下地下儲(chǔ)氣庫管柱非線性屈曲力學(xué)模型，采用慢動(dòng)力法階躍式施加管柱外載荷，分析了動(dòng)態(tài)載荷作用下管柱的非線性屈曲特性；練章華等[25]基于彈塑性力學(xué)理論建立了實(shí)際井況下油管柱屈曲分析有限元模型，并在此基礎(chǔ)上分析復(fù)雜力學(xué)工況下管柱的屈曲形態(tài)、橫向位移等；武行等[26]建立含有非對(duì)稱局部壁厚減薄管道在外壓作用下屈曲壓力理論公式，研究了局部壁厚減薄缺陷位置、長度和深度等參數(shù)對(duì)管道屈曲壓力的影響；余建星等[27]通過將自定義的程序嵌入有限元軟件，建立含沖刷腐蝕缺陷的海底彎管參數(shù)化模型，開展腐蝕相關(guān)參數(shù)敏感性分析，研究沖刷腐蝕彎管屈曲壓力的影響。

上述研究對(duì)加勁式壓力鋼管等結(jié)構(gòu)在發(fā)生屈曲時(shí)的臨界壓力、失穩(wěn)模式等進(jìn)行了較為全面的探討，而采用的理論假設(shè)、邊界條件和數(shù)值模型計(jì)算方式尚未統(tǒng)一。隨著有限元軟件的推廣應(yīng)用，本文基于特征值屈曲分析進(jìn)行加勁式壓力鋼管管壁臨界外壓計(jì)算，結(jié)合Mises理論提出多環(huán)建模、分段約束的數(shù)值方法，提煉一種快捷的加勁式壓力鋼管臨界外壓計(jì)算公式，以冀為鋼管抗外壓穩(wěn)定設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo)。

1 壓力鋼管管壁臨界外壓計(jì)算方法

1.1 解析解

根據(jù)Mises理論，加勁環(huán)間管道可以模型化為兩端受約束的圓柱殼，加勁環(huán)處的鋼管部位簡支，其徑向變形受到約束而保持圓形，軸向變形和轉(zhuǎn)角不受限制，則加勁環(huán)間管壁的彈性屈曲外壓可按照式（1）（以下稱為Mises式）計(jì)算[15,28]：

式中：Pcr為臨界壓力，MPa；n為相對(duì)應(yīng)于最小臨界壓力的波數(shù)，取相近的整數(shù)；E為鋼材彈性模量，MPa；r為鋼管內(nèi)半徑，m；t為鋼管管壁計(jì)算厚度，m；μ為鋼材泊松比；l為加勁環(huán)間距，m。

為了便于應(yīng)用，中國相關(guān)設(shè)計(jì)規(guī)范[29]將上述Mises式進(jìn)行簡化，所采用的加勁環(huán)間管壁臨界外壓表達(dá)式（以下稱為規(guī)范式）為：

1.2 有限元特征值屈曲分析

屈曲分析是一種用于確定結(jié)構(gòu)開始變得不穩(wěn)定時(shí)的臨界荷載和屈曲模態(tài)形狀（結(jié)構(gòu)發(fā)生屈曲響應(yīng)時(shí)的特征形狀）的技術(shù)；特征值屈曲分析可用于一個(gè)理想彈性體結(jié)構(gòu)的理論屈曲強(qiáng)度，不考慮任何材料的初始缺陷和非線性特征，利用該方法可以了解屈曲形狀和預(yù)測出屈曲荷載的上限。

特征值屈曲分析的主要目的是通過求解相關(guān)的特征值問題來獲得臨界屈曲載荷因子。對(duì)于屈曲分析，特征向量（模態(tài)振型）被歸一化到統(tǒng)一，其中，最大平動(dòng)自由度被設(shè)為1（質(zhì)量歸一化不適用于屈曲分析），模態(tài)振型是屈曲變形的精確表征。特征值分析默認(rèn)提取結(jié)構(gòu)振動(dòng)的固有模態(tài)，臨界荷載即為最小特征值×攝動(dòng)荷載。

1.3 對(duì)比驗(yàn)證

以加勁式壓力鋼管為例，基于有限元軟件ABAQUS對(duì)不同參數(shù)下的鋼管進(jìn)行3維建模，鋼管半徑r分別取2.0、2.5、3.0 m，加勁環(huán)間距l(xiāng)分別取1.0、1.5、2.0、2.5、3.0 m，厚度t取0.02 m，模型軸向長度L取15倍加勁環(huán)間距長度；鋼管采用shell單元模擬，彈性模量Es=206 GPa，泊松比μ 取0.3，有限元模型如圖1所示。參照Mises假定，在加勁環(huán)的幾何部位施加徑向約束（無實(shí)體加勁環(huán)），加勁環(huán)之間管壁中部斷面施加軸向約束，模型兩端面施加全約束；為確保計(jì)算精度，有限元網(wǎng)格最大為0.05 m。

圖1 有限元數(shù)值模型Fig.1 Finite-element numerical model

將分別利用規(guī)范式[29]、Mises式及有限元計(jì)算得到的鋼管臨界外壓Pcr–1、Pcr–2、Pcr–0，以及利用式（1）計(jì)算得到的理論屈曲波數(shù)n、有限元屈曲波數(shù)n0及有限元計(jì)算相對(duì)誤差δn列于表1中。

表1 臨界外壓計(jì)算結(jié)果Tab.1 Critical external pressure Pcr of different method

表1中，臨界外壓下的相對(duì)誤差δn表示為：

圖2為根據(jù)表1中數(shù)據(jù)所繪的不同計(jì)算參數(shù)下壓力鋼管屈曲的臨界外壓計(jì)算結(jié)果對(duì)比。由此可知：有限元特征值屈曲計(jì)算的不同參數(shù)下鋼管的屈曲波數(shù)與解析解保持高度一致，而隨著屈曲波數(shù)的增加，規(guī)范式與Mises式計(jì)算結(jié)果差別明顯增大；有限元臨界外壓計(jì)算結(jié)果總是介于規(guī)范式、Mises式計(jì)算結(jié)果之間，與規(guī)范式的相對(duì)誤差存在較大的波動(dòng)，而與Mises式計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差總體保持在3%左右，數(shù)值上差別較?。ㄗ畲蠹s0.1 MPa）。因此，可以說明有限元特征值屈曲計(jì)算具有較高的準(zhǔn)確度，與Mises式解析解能保持較好的一致性，而規(guī)范采用的規(guī)范式計(jì)算結(jié)果會(huì)隨著鋼管屈曲波數(shù)的變化與Mises解存在較大的波動(dòng)。

圖2 臨界外壓計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.2 Comparison of calculation results of critical external pressure

2 約束環(huán)境對(duì)管壁臨界外壓的影響

某水資源配置工程輸水隧洞采用加勁式壓力鋼管，其幾何尺寸如圖3所示。鋼管半徑r=2 600 mm，管壁厚度t=20 mm，加勁環(huán)高度h=1 200 mm，加勁環(huán)厚度a=18 mm，加勁環(huán)間距l(xiāng)取1 500 mm。壓力鋼管材質(zhì)為Q345R，彈性模量Es=206 GPa，泊松比μ 取0.3，屈服強(qiáng)度σs=325 MPa。

圖3 鋼管尺寸示意圖Fig.3 Axial section of the penstock

有限元計(jì)算得到的加勁環(huán)間鋼管第1階屈曲模態(tài)如圖4所示，軸向上加勁環(huán)之間含有半個(gè)波，環(huán)向上均勻分布有12個(gè)波，各個(gè)方向上依次凸出和凹陷，計(jì)算得到的鋼管臨界外壓為2.071 MPa，而規(guī)范式、Mises式計(jì)算結(jié)果為1.971 MPa和2.111 MPa。

圖4 鋼管屈曲模態(tài)Fig.4 Buckling mode of the penstock

分別提取軸向、環(huán)向上波峰（波谷）所在管壁斷面上所有節(jié)點(diǎn)的相對(duì)變形值f(x)、f(θ)進(jìn)行曲線擬合，得到公式如下：

針對(duì)工程實(shí)際，考慮加勁環(huán)位置不同約束條件及實(shí)體加勁環(huán)有無對(duì)鋼管臨界外壓計(jì)算結(jié)果的影響，在有限元模型中加勁環(huán)部位設(shè)置3類約束方案，并在每種約束方案下針對(duì)實(shí)體加勁環(huán)的有無設(shè)置兩種計(jì)算條件，對(duì)比分析加勁環(huán)鋼管的臨界外壓，具體約束方案見表2，其中，方案A為無實(shí)體加勁環(huán)，方案B為實(shí)體加勁環(huán)。

表2 計(jì)算模型的約束方案Tab.2 Constraint schemes of finite element model

除表2中所列外，所有方案在模型端部施加全約束，加勁環(huán)間管壁施加軸向位移約束。得到的鋼管臨界外壓與模型長度關(guān)系曲線如圖5所示。

由圖5可知：當(dāng)模型長度增加到14倍加勁環(huán)間距時(shí)，所有方案得到的鋼管臨界外壓趨于穩(wěn)定；隨著加勁環(huán)位置約束作用的提高，鋼管臨界外壓逐漸增高；當(dāng)模型中實(shí)體加勁環(huán)存在時(shí)，會(huì)導(dǎo)致鋼管臨界外壓計(jì)算結(jié)果相對(duì)于無實(shí)體加勁環(huán)有所增大，全約束方案B–XYZ得到的鋼管臨界外壓最大；不設(shè)置實(shí)體加勁環(huán)的徑向約束方案A–X最終得到的鋼管臨界外壓最為接近規(guī)范式計(jì)算結(jié)果，但依舊略大于其結(jié)果，誤差為5.02%；設(shè)置實(shí)體加勁環(huán)的徑向約束方案B–X最終得到的鋼管臨界外壓最為接近Mises式計(jì)算結(jié)果，但依舊略小于其結(jié)果，誤差為0.81%。

圖5 臨界外壓與模型長度關(guān)系曲線Fig.5 Relation curves of critical external pressure andmodel length

3 臨界外壓快速計(jì)算方法

對(duì)于加勁式壓力鋼管而言，加勁環(huán)的間距l(xiāng)增大到一定程度后，鋼管的臨界外壓不再發(fā)生變化，加勁環(huán)管的屈曲變形與光面管接近，此時(shí)的加勁環(huán)間距可認(rèn)為是加勁環(huán)臨界間距，即有效約束長度。在有效約束長度內(nèi)，可認(rèn)為加勁環(huán)對(duì)壓力鋼管的抗外壓能力有增強(qiáng)作用，否則可按光面管處理，光面管的屈曲臨界外壓公式[30]為：

因此，按照第2節(jié)計(jì)算方案，有限元模型總長度L取20l（l最大為200 m），t取0.02 m，討論不同管徑下加勁環(huán)的有效間距。不同約束間距下管壁臨界外壓和屈曲波數(shù)計(jì)算結(jié)果列于表3中。

表3 不同加勁環(huán)間距下鋼管管壁臨界外壓計(jì)算結(jié)果Tab.3 Shell’s critical external pressure for penstock with stiffening ring of different spacing

繪制臨界外壓變化曲線如圖6所示。由圖6可知：隨著加勁環(huán)間距l(xiāng)的增大，鋼管臨界外壓逐漸減?。欢摴馨霃絩與鋼管厚度t的比值增大同樣導(dǎo)致臨界外壓的減小，并在加勁環(huán)間距為20 m之前波動(dòng)較大，20 m之后基本保持穩(wěn)定；鋼管屈曲波逐漸減小為2個(gè)，和理論假定保持完全一致。另外，各曲線的演化規(guī)律具有一致性，最終趨近于光面管公式解析解計(jì)算結(jié)果，亦可說明實(shí)際光面管的臨界外壓受外部約束狀態(tài)影響，當(dāng)兩端或其他部位存在約束時(shí)，光面管的臨界外壓會(huì)存在不同程度的升高。

結(jié)合表3和圖6可知，加勁式壓力鋼管管壁臨界外壓與光面管臨界外壓存在一定的關(guān)系，結(jié)合實(shí)際工程，當(dāng)加勁環(huán)間距l(xiāng)分別取0.5、1.0、1.5、2.0 m時(shí)，結(jié)合表3數(shù)據(jù)，參照式（5）提出加勁式壓力鋼管管壁臨界外壓快速計(jì)算公式，如下所示：

圖6 臨界外壓變化曲線Fig.6 Variation curves of critical external pressure

式中，系數(shù)α、β在加勁環(huán)間距l(xiāng)確定后進(jìn)行擬合求得。當(dāng)l分別取0.5、1.0、1.5、2.0 m時(shí)，相對(duì)應(yīng)的系數(shù)α、β取值見表4；當(dāng)l=∞時(shí)，α、β取值由光面管式（6）計(jì)算得到。

表4 公式（7）中系數(shù)取值Tab.4 Coefficient of the formula (7)

將式（7）得到的計(jì)算結(jié)果與Mises公式計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，如圖7所示。統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)，本文公式與Mises式所對(duì)應(yīng)曲線的擬合優(yōu)度R2達(dá)到0.997以上。

圖7 兩種公式臨界外壓計(jì)算結(jié)果對(duì)比曲線Fig.7 Comparison curves of critical external pressure calculated by two formulas

4 結(jié) 論

本文結(jié)合有限元特征值屈曲分析進(jìn)行加勁式壓力鋼管管壁臨界外壓計(jì)算，對(duì)求得的鋼管臨界外壓與解析公式計(jì)算結(jié)果展開對(duì)比討論，并研究了不同約束條件、建模長度、加勁環(huán)間距等關(guān)鍵因素對(duì)管壁臨界外壓的影響，可以得到以下結(jié)論：

1）本文提出多環(huán)建模、分段約束計(jì)算模型得到的臨界外壓與Mises式解析解相對(duì)誤差總體保持在3%左右；而規(guī)范采用的簡化式計(jì)算結(jié)果會(huì)隨著鋼管屈曲波數(shù)的變化與Mises式存在較大的波動(dòng)，實(shí)際工程中采用的安全系數(shù)應(yīng)合理地做出調(diào)整。

2）隨著加勁環(huán)位置約束作用的提高，鋼管臨界外壓逐漸增高，而實(shí)體加勁環(huán)的建立使得鋼管臨界外壓更接近于Mises式解析解；同時(shí)，鋼管管壁臨界外壓隨著加勁環(huán)間距、鋼管半徑與鋼管厚度比值的增大而逐漸減小，并當(dāng)加勁環(huán)間距大于20 m后不再有明顯約束作用。

3）本文提出的壓力鋼管管壁臨界外壓快速計(jì)算公式，與解析解所對(duì)應(yīng)曲線的擬合優(yōu)度達(dá)到0.997以上，可為實(shí)際工程中管壁臨界外壓的計(jì)算提供新的選擇。