探究神奇的勾股定理

文／萬廣磊

勾股定理是幾何學中一顆璀璨奪目的明珠，被稱為“幾何學的基石”，在生活中有著極其廣泛的應(yīng)用，在中考試題中也大放異彩。在本章，我們將一起探究神奇的勾股定理。

一、總結(jié)和歸納本章內(nèi)容的結(jié)構(gòu)之美

在本章的學習中，同學們可以類比軸對稱研究勾股定理：從生活中提煉直角三角形模型→通過畫圖歸納與驗證勾股定理→通過圖形變換理解勾股定理的判定方法→回歸生活，運用勾股定理解決問題。具體說來，我們將建立如圖1 所示的知識結(jié)構(gòu)，這也體現(xiàn)了學習內(nèi)容的結(jié)構(gòu)美。

圖1

二、感受和體會中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化之美

中國是發(fā)現(xiàn)和研究“勾股定理”最早的國家之一。最早在約公元前1120 年，商高就發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此，勾股定理在中國又被稱為“商高定理”。三國時代的蔣銘祖在《蔣銘祖算經(jīng)》中對勾股定理作出了詳細注釋，并給出了另外一種證明方法。后來趙爽創(chuàng)制了“勾股圓方圖”，劉徽用“青朱出入圖”進行了證明，梅文鼎在《勾股舉隅》中給出了勾股定理的證明方法，華蘅芳在少年時就給出了22 種證明方法，羅士琳也有探究勾股數(shù)的4 種方法，他們都有自己獨到的創(chuàng)新之處。

三、探索和歸納經(jīng)典問題中的思維之美

在證明勾股定理的方法中，許多都運用了數(shù)形結(jié)合的思想和“算兩次”的思想（也稱“富比尼原理”）；在證明勾股定理的逆定理時，數(shù)學家們則運用“構(gòu)造法”“同一法”進行證明。

在應(yīng)用勾股定理解決問題時，我們會經(jīng)常用到方程思想。在已知一條直角邊或者斜邊的情況下求動點問題，我們要設(shè)未知數(shù)表示出另外兩條邊；在同高或共邊的兩個直角三角形中，我們要用到“算兩次”的方法，設(shè)未知數(shù)構(gòu)建方程求解。

例1如圖2，在△ABC中，已知AB=13，BC=14，AC=15，求△ABC的面積。

圖2

圖3

【分析】如圖3，過點A作AH⊥BC于點H。設(shè)BH=x，我們可以根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程。因 為AH2=AB2-BH2=AC2-CH2，所以132-x2=152-（14-x）2，解得x=5，即BH=5，AH=12。所以

在解決立體圖形問題時，我們通常用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想，將立體圖形的問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的問題。

例2如圖4，圓柱的高為5 厘米，底面半徑為4 厘米，在圓柱底面A點有一只螞蟻，它想吃到與A點相對的B點處的食物，需要爬行的最短路程是多少呢？（π值取3）

圖4

圖5

【分析】圖5 是圓柱的平面展開圖。連接AB，AB的長就是爬行的最短路程。因為圓柱的高BC為5 厘米，底面半徑為4 厘米，所以AC=12 厘米。根據(jù)勾股定理，可得AB=13 厘米，所以螞蟻爬行的最短路程是13 厘米。