螞蟻爬行比賽

文／李 娜

在螞蟻王國(guó)舉辦的一次爬行比賽中，5只螞蟻分別從1——5 號(hào)5 個(gè)不同的圓柱體水杯底部點(diǎn)A出發(fā)，沿著側(cè)面爬行到指定的點(diǎn)B，因?yàn)槟抢镉忻牢兜姆涿?。假設(shè)螞蟻可以聽(tīng)懂指令，不可以直接沿著圓柱某條高爬行，同時(shí)，它們的爬行速度相同，且都是沿著最短的路徑，那么，哪只螞蟻?zhàn)钕鹊竭_(dá)終點(diǎn)呢？

這5 個(gè)水杯的底面周長(zhǎng)和高標(biāo)注在圖1 上，長(zhǎng)度單位都是cm。螞蟻國(guó)王對(duì)5 只螞蟻有著不同的要求，其中3 號(hào)杯螞蟻需要途徑點(diǎn)C后到達(dá)點(diǎn)B，點(diǎn)C到底面的距離為水杯高的；4 號(hào)杯中，點(diǎn)B到底面的距離為水杯高的；5 號(hào)杯中，點(diǎn)B為CD中點(diǎn)且在杯的內(nèi)部，提醒5 號(hào)螞蟻，別跑錯(cuò)路線，否則看到吃不到。

圖1

【分析】為了尋找最短路線，我們需要運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，把立體圖形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形的問(wèn)題。具體操作：首先，把圓柱的側(cè)面沿某條母線展開(kāi)；其次，利用兩點(diǎn)之間線段最短，確定路線；最后，利用勾股定理來(lái)計(jì)算。找準(zhǔn)展開(kāi)圖中A、B兩點(diǎn)的相對(duì)位置是本題的關(guān)鍵。

對(duì)于1 號(hào)杯，圓柱的底面周長(zhǎng)為9cm，高為12cm，側(cè)面展開(kāi)后的矩形如圖2（其中B′為垂直向上爬行的路徑，故舍去。）。因?yàn)椤螩=90°，AC=9cm，BC=12cm，所以AB2=AC2+BC2=92+122=225，所以AB=15cm。因此，螞蟻所爬行的最短路徑是15cm。

圖2

對(duì)于2 號(hào)杯，側(cè)面展開(kāi)后的矩形如圖3，點(diǎn)A、B的最短距離即為線段AB的長(zhǎng)。其中∠C=90°，BC=12cm，AC為底面周長(zhǎng)的一半，即9cm，所以AB2=AC2+BC2=92+122=225，所以AB=15cm。因此，螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)為15cm。

圖3

對(duì)于3 號(hào)杯，我們要區(qū)分與2 號(hào)杯的不同，知道螞蟻是沿水杯表面爬行1 圈半。因?yàn)槲浵伿墙?jīng)過(guò)點(diǎn)C后再到達(dá)點(diǎn)B，所以類比2號(hào)杯側(cè)面展開(kāi)后的矩形，點(diǎn)C位置位于線段AB上，如圖4。其中∠F=90°，AF=6×1.5=9（cm），BF=12cm，由勾股定理得AB2=AF2+BF2=92+122=225，所以AB=15cm。因此，螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)為15cm。

圖4

對(duì)于4 號(hào)杯，如圖5，因?yàn)閳A柱的底面周長(zhǎng)為18cm，AC為周長(zhǎng)的一半，所以AC=9cm。又因?yàn)镻C=16cm，所以BC=PC=12cm。在Rt△ACB中，因?yàn)椤螩=90°，所以AB2=AC2+BC2=92+122=225，所以AB=15cm。因此，螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)為15cm。

圖5

對(duì)于5 號(hào)杯，與4 號(hào)杯不同的是蜂蜜在杯子內(nèi)部，所以螞蟻需要翻進(jìn)杯內(nèi)。假設(shè)螞蟻在杯外邊緣某一點(diǎn)P處爬進(jìn)杯內(nèi)壁，那么求線段AP+PB最短便轉(zhuǎn)化成我們熟悉的“將軍飲馬”問(wèn)題了。此時(shí)，作點(diǎn)B關(guān)于PC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE，即為所求的爬行最短路線，如圖6。因?yàn)榈走厛A的一半周長(zhǎng)為12cm，即AD=12cm，又因?yàn)辄c(diǎn)B是CD的中點(diǎn)，所以CE=CB=3cm，所以DE=9cm。在Rt△AED中，∠ADE=90°，所以AE2=AD2+DE2=92+122=225，所以AE=15cm。因此，螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)為15cm。

圖6

比較5 個(gè)水杯：1 號(hào)杯需要展開(kāi)圓柱側(cè)面完整周長(zhǎng)；2 號(hào)杯與4 號(hào)杯本質(zhì)一樣，側(cè)面展開(kāi)一半周長(zhǎng)即可；3 號(hào)杯需要爬行1 圈半，展開(kāi)周長(zhǎng)的1.5 倍；5 號(hào)杯與4 號(hào)杯要區(qū)別杯內(nèi)壁和外壁。解決問(wèn)題的關(guān)鍵是，先通過(guò)觀察決定沿著哪條高母線將圓柱側(cè)面展開(kāi)，然后分析出發(fā)點(diǎn)A和目的地點(diǎn)B的具體位置是在展開(kāi)圖的同側(cè)還是分居兩側(cè)，最終確定爬行的具體路線。計(jì)算發(fā)現(xiàn)，原來(lái)螞蟻們圍繞高低粗細(xì)不同的5 個(gè)水杯爬行的距離都是15cm，它們的速度相同，所以爬行時(shí)間也相同，最終，大家同時(shí)吃到了蜂蜜。