概率也生長(zhǎng) 計(jì)算有新法

文／曹小兵 崔恒劉

第四章 等可能條件下的概率

領(lǐng) 銜 人：崔恒劉

組稿團(tuán)隊(duì)：江蘇省東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)教育集團(tuán)

生活中的事件有許許多多的不確定性。八（下）“認(rèn)識(shí)概率”從概率的統(tǒng)計(jì)定義出發(fā)，展開(kāi)了對(duì)概率初步知識(shí)的研究，得到了計(jì)算隨機(jī)事件的概率的方法，即在一定的條件下，以試驗(yàn)的客觀對(duì)稱(chēng)性或均衡性為前提，進(jìn)行概率的計(jì)算。這需要解決兩個(gè)問(wèn)題：一是如何判斷試驗(yàn)結(jié)果的等可能性；二是在等可能條件下，用哪些方法計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率。為此，九（上）“等可能條件下的概率”安排了3節(jié)內(nèi)容來(lái)解決這兩個(gè)問(wèn)題。

第1節(jié)，以熟悉的實(shí)例為問(wèn)題背景，幫助我們理解隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果，進(jìn)一步理解等可能的意義，學(xué)會(huì)根據(jù)隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的客觀對(duì)稱(chēng)性或均衡性判斷試驗(yàn)結(jié)果是否具有等可能性，歸納出等可能性事件的兩個(gè)基本特征：一是試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)；二是每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同。

例1兩個(gè)正四面體骰子的各個(gè)面上分別標(biāo)明數(shù)字1、2、3、4，如果同時(shí)拋擲這兩個(gè)正四面體骰子，則著地面所得的點(diǎn)數(shù)之和是2和5，它們是等可能的嗎？

【解析】很多同學(xué)會(huì)覺(jué)得，著地面所得的點(diǎn)數(shù)之和分別是2、3、4、5、6、7、8，共有7種不同的結(jié)果，是等可能結(jié)果。不過(guò)，著地面點(diǎn)數(shù)之和是2、3、4、5、6、7、8不假，但結(jié)果不是等可能的。我們可以有序思考（為便于說(shuō)明，我們將兩枚正四面體骰子分別記作骰子A和骰子B）：

如果骰子A拋出1，骰子B可能是1、2、3、4，對(duì)應(yīng)的和分別為2、3、4、5；

如果骰子A拋出2，骰子B可能是1、2、3、4，對(duì)應(yīng)的和分別為3、4、5、6；

如果骰子A拋出3，骰子B可能是1、2、3、4，對(duì)應(yīng)的和分別為4、5、6、7；

如果骰子A拋出4，骰子B可能是1、2、3、4，對(duì)應(yīng)的和分別為5、6、7、8。

由此看出，共有16種情況，著地面所得的點(diǎn)數(shù)之和等于2的結(jié)果只有一種，等于3的共有2種，等于4的共有3種，等于5的共有4種，等于6的共有3種，等于7的共有2種，等于8的共有1種，它們不是等可能的。

第2節(jié)，通過(guò)具體的問(wèn)題情境，在理解等可能事件的兩個(gè)基本特征的基礎(chǔ)上，歸納出等可能條件下概率（古典概率）的計(jì)算公式：

例2甲口袋裝有編號(hào)為1、2的兩個(gè)球，乙口袋裝有編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)球，兩個(gè)口袋中的球除編號(hào)外都相同。小冰先從甲口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，小雪再?gòu)囊铱诖须S機(jī)摸出一個(gè)球，若兩球編號(hào)之和為奇數(shù)，則小冰獲勝；若兩球編號(hào)之和為偶數(shù)，則小雪獲勝。

請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，說(shuō)明這個(gè)游戲?qū)﹄p方是否公平。

【解析】列表，所有可能的結(jié)果如下：

乙甲1 2 3 4 5 1（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）

共有10種等可能的結(jié)果，其中兩球編號(hào)之和為奇數(shù)的有5種結(jié)果，兩球編號(hào)之和為偶數(shù)的有5種結(jié)果，所以

因?yàn)镻（小冰獲勝）=P（小雪獲勝），所以游戲?qū)﹄p方都公平。

【點(diǎn)評(píng)】判斷游戲的公平性需要先計(jì)算每個(gè)事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平。

第3節(jié)，運(yùn)用“無(wú)限”向“有限”轉(zhuǎn)化的思想，將“等可能條件下的概率（二）——幾何概型”轉(zhuǎn)化為“等可能條件下的概率（一）——古典概型”來(lái)研究解決，試驗(yàn)的取值范圍從正整數(shù)推廣到正實(shí)數(shù)，試驗(yàn)的結(jié)果從“有限”推廣到“無(wú)限”。

例3如圖1，在5×6的長(zhǎng)方形網(wǎng)格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色外都相同，小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，扇形OAB的圓心及弧的兩端均為格點(diǎn)。假設(shè)飛鏢擊中每一塊小正方形是等可能的（擊中扇形的邊界或沒(méi)有擊中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次，飛鏢擊中扇形OAB（陰影部分）的概率是（ ）。

圖1

【解析】長(zhǎng)方形網(wǎng)格總面積為5×6=30，其中陰影部分面積為

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于幾何概率問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為同一種量的代數(shù)關(guān)系的比例問(wèn)題，這個(gè)比例即事件發(fā)生的概率。

解概率題首先要確認(rèn)所有可能結(jié)果是等可能的。“等可能”是一種假設(shè)，是一種理想狀態(tài)，“等可能”事件具備兩個(gè)特征：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的等可能性。對(duì)于不具有等可能性的問(wèn)題，我們要學(xué)會(huì)變換思維角度、去偽存真，將其轉(zhuǎn)化為等可能事件。如摸球試驗(yàn)中同顏色球不止一個(gè)時(shí)，為了體現(xiàn)事件的等可能性，一般需要將它們分別編號(hào)；投飛鏢和轉(zhuǎn)盤(pán)試驗(yàn)中，原題分的“塊”的面積不相等時(shí)，一般需要將它們?cè)偌?xì)分成等面積區(qū)域，然后再解。