湖北 黃尚鵬

本文先介紹如何用遞推法求解2022年高考湖南卷物理壓軸題的第(3)問，總結(jié)了求遞推數(shù)列通項公式的兩種常用方法，即累加相消法和構(gòu)造等比數(shù)列法，以期幫助廣大讀者深入理解遞推法，掌握遞推法的應(yīng)用技巧，既而進一步探究籃球自由彈跳過程運動的總路程問題。

一、對原題的分析與解答

圖1

(1)求籃球與地面碰撞的碰后速率與碰前速率之比；

(2)若籃球反彈至最高處h時，運動員對籃球施加一個向下的壓力F，使得籃球與地面碰撞一次后恰好反彈至h的高度處，力F隨高度y的變化如圖2所示，其中h0已知，求F0的大小；

圖2

(3)籃球從H高度處由靜止下落后，每次反彈至最高點時，運動員拍擊一次籃球(拍擊時間極短)，瞬間給其一個豎直向下、大小相等的沖量I，經(jīng)過N次拍擊后籃球恰好反彈至H高度處，求沖量I的大小。

【分析與解答】(1)籃球從離地H高度處由靜止下落的過程，設(shè)籃球與地面碰撞的碰前速率為v1，由動能定理得

籃球與地面發(fā)生一次非彈性碰撞后反彈至離地h的最高處的過程，設(shè)籃球與地面碰撞的碰后速率為v2，由動能定理得

設(shè)籃球每次與地面碰撞的碰后速率與碰前速率之比為

(2)籃球反彈至最高處h時，運動員對籃球施加一個向下的壓力F，力F隨高度y的變化圖像與橫軸圍成的圖形的面積表示變力F所做的功，由動能定理得

聯(lián)立①④可得

圖3

第n次反彈至最高點運動員拍擊籃球后，下落過程由動能定理得

反彈后上升過程由動能定理得

籃球與地面碰撞的碰后速率與碰前速率之比為

數(shù)列{hn}由遞推公式給出，如何求解它的通項公式呢？可以采用以下的兩種方法。

方法一：構(gòu)造等比數(shù)列法

引入待定常數(shù)α，使hn-α=p(hn-1-α)，則hn=phn-1+(1-p)α

故數(shù)列{hn-α}是以h0-α=h-α為首項，p為公比的等比數(shù)列。

因此hn-α=pn(h0-α)=pn(h-α)，即hn=pn(h-α)+α

方法二：累加相消法

遞推公式hn=phn-1+q兩邊同時除以pn，得

根據(jù)等比數(shù)列求和公式得

同樣得到hn=pn(h-α)+α，代入p和α的表達式后即得數(shù)列{hn}的通項公式

因此，沖量

二、試題評析

本題以拍籃球為情境，綜合考查動能定理、變力做功、動量定理等主干知識，是一道典型的動量與能量結(jié)合的綜合題。本題第(1)問考查動能定理的應(yīng)用(當(dāng)然也可用運動學(xué)公式和牛頓第二定律聯(lián)立求解)。第(2)問在考查動能定理的基礎(chǔ)上進一步考查求解變力做功的一種常用計算方法——面積法，即力F隨高度y的變化圖像與橫軸圍成的圖形的面積表示變力F所做的功，這兩問都很基礎(chǔ)，不偏不怪。第(3)問難度較大，考查了一種重要的數(shù)學(xué)方法——遞推法，考查利用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力。所謂遞推法，即當(dāng)問題中涉及的物理過程較多，且各物理過程具有相同的特點和遵循相同的規(guī)律時，可選取有代表性的任意一物理過程進行分析，得出聯(lián)系相鄰物理過程的相關(guān)物理量的遞推關(guān)系式，再根據(jù)遞推公式求解相關(guān)物理量的通項公式，從而解決問題的一種科學(xué)思維方法。累加相消法和構(gòu)造等比數(shù)列法是求遞推數(shù)列通項公式的常用方法，只要我們抓住遞推數(shù)列的遞推關(guān)系，分析結(jié)構(gòu)特征，善于合理變形，就能找到解決問題的有效途徑。為使學(xué)生深入理解遞推法，掌握遞推法的應(yīng)用技巧，再舉一例如下。

在如圖4所示的電路中，S是一單刀雙擲開關(guān)，R1、R2為定值電阻，C1和C2為兩個平行板電容器，初始時刻，兩個電容器都不帶電。S擲向a時，C1獲電荷量為Q，當(dāng)S再擲向b時，C2獲電荷量為q。問經(jīng)過n次S擲向a，再擲向b后，C2將獲得多少電荷量？

圖4

【分析與解答】設(shè)S第n次由a擲向b后，電容器C2的電荷量為qn(n≥1)，顯然q1=q

每次S接通a后，電容器C1的電荷量都為Q=C1ε

數(shù)列{qn}由遞推公式給出，如何求解它的通項公式呢？可以采用以下兩種方法。

方法一：累加相消法

方法二：構(gòu)造等比數(shù)列法

因此qn-λ=(q1-λ)kn-1

顯然用“遞推法”解題的關(guān)鍵是導(dǎo)出聯(lián)系相鄰物理過程的相關(guān)物理量的遞推關(guān)系式。

三、變式探究籃球自由彈跳過程運動的總路程

【變式探究(一)】本題第(3)問改為籃球從H高度處由靜止下落后，每次反彈至最高點時，運動員并不拍擊籃球而是讓籃球在空中自由彈跳直致最終靜止于地面，求籃球自由彈跳過程運動的總路程。

【變式探究(二)】本題改為質(zhì)量為m的籃球從離地H高度處由靜止下落，與地面發(fā)生一次彈性碰撞后反彈至離地h的最高處。設(shè)籃球在運動過程中所受空氣阻力的大小恒定，且籃球每次與地面的碰撞為彈性碰撞，求籃球在空中自由彈跳過程運動的總路程。

證明：第n次反彈至最高點后，下落過程由動能定理得

反彈后上升過程由動能定理得