對冪級數(shù)性質(zhì)的分析研究

陽平華，張清平

(廣州城市理工學(xué)院 計算機工程學(xué)院，廣州 510800)

高等數(shù)學(xué)中冪級數(shù)內(nèi)容對于學(xué)生來說難度較大，對冪級數(shù)性質(zhì)的內(nèi)在因素做了進(jìn)一步探索，以期為教學(xué)帶來一定的啟示，提高教學(xué)質(zhì)量。

1 冪級數(shù)概述

如果沒有特殊聲明，后面涉及的冪級數(shù)都為冪級數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式。對冪級數(shù)的研究內(nèi)容包括三方面：①冪級數(shù)在哪些點收斂，在哪些點發(fā)散，冪級數(shù)的收斂域及發(fā)散域；②求冪級數(shù)的和函數(shù)；③將函數(shù)展開為冪級數(shù)。

2 冪級數(shù)的性質(zhì)

說明：①定理的證明跟正項級數(shù)的比較審斂法、比值審斂法有直接關(guān)系，所以說正項級數(shù)是基礎(chǔ)；②定理表明：|x1|<|x2|,并且冪級數(shù)在區(qū)間(-|x1|,|x1|)收斂，在區(qū)間(-∞,-|x2|)和(|x2|,+∞)發(fā)散，在區(qū)間(-|x2|,|x1|)和(-|x1|,|x2|)的收斂性不確定(可畫圖直觀了解)，進(jìn)一步結(jié)果需要發(fā)掘更多信息去加以研究；③收斂區(qū)間或收斂域的確定是基于Abel定理，收斂半徑的求法是基于比值審斂法。

說明：①通常情況ρ≠0時可以直接寫出R與ρ的數(shù)值關(guān)系，極端情況ρ=0或ρ=+∞時只能直接寫出結(jié)果；②R的確定正是通過正項級數(shù)的比值審斂法得到的。

①冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在收斂區(qū)間(-R,R)內(nèi)連續(xù)；②冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在收斂區(qū)間(-R,R)內(nèi)可導(dǎo)，且對?x∈(-R,R)有逐項求導(dǎo)公式：

③冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在收斂區(qū)間(-R,R)內(nèi)可積，且對?x∈(-R,R)有逐項積分公式：

定理3中①的內(nèi)容是和函數(shù)的基本性質(zhì)，②、③的內(nèi)容是求和函數(shù)的理論基礎(chǔ)。②、③概括來說就是“逐項求導(dǎo)，逐項積分”。

3 冪級數(shù)性質(zhì)的基本應(yīng)用

冪級數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用主要介紹定理3，即“逐項求導(dǎo)，逐項積分”的一些應(yīng)用，包括求一些冪級數(shù)的和函數(shù)及一些數(shù)項級數(shù)的和。

3.1 基本題型

對一些簡單的冪級數(shù)，直接通過“逐項求導(dǎo)或逐項積分”對冪級數(shù)變形化簡，再用已知冪級數(shù)的和函數(shù)。

上式兩邊同時從0到x(-1

上式兩邊同時對x(-1

3.2 深化題型

在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對逐項求導(dǎo)比較習(xí)慣，對逐項積分比較生疏，而且逐項求導(dǎo)確實比用逐項積分用起來方便。實際上，通過分析發(fā)現(xiàn)“逐項求導(dǎo)，逐項積分”都只是表面現(xiàn)象。用逐項積分來解的題都可以用逐項求導(dǎo)來解，關(guān)鍵在于思考問題的角度。一般用“逐項求導(dǎo)，逐項積分”是相對和函數(shù)，即求和“∑”與求導(dǎo)或積分交換順序，直觀來說就是“由外向內(nèi)”的運算，如果從通項開始“由內(nèi)向外”交換運算順序，就能避免用逐項積分，這樣“逐項求導(dǎo)或逐項積分”就成為了“逐項求導(dǎo)”一種情況，只不過需要對和函數(shù)s(x)求導(dǎo)用“由外向內(nèi)逐項求導(dǎo)”，需要對和函數(shù)s(x)積分用“由內(nèi)向外逐項求導(dǎo)”，下面通過兩個例子加以解析。如例2是用逐項積分求解的，也可以用逐項求導(dǎo)來求解，而且比較簡練。冪級數(shù)求和函數(shù)也可以利用冪級數(shù)的性質(zhì)結(jié)合微分方程求解的方法。

解：

解法一(逐項求導(dǎo))：

設(shè)：

設(shè)：

又：

解法二(逐項積分)：

解法三(通過變量代換)：

令x=z2z∈(-1,1)

解法一(結(jié)合一階線性微分方程)：

該級數(shù)缺偶次冪項，它的收斂域為 (-∞,+∞)。

設(shè)：

則：

于是有：

解此一階線性微分方程，得：

又：

解法二(結(jié)合二階線性微分方程)：

原級數(shù)的收斂域為(-∞,+∞)。

設(shè)：

于是s″(x)=s(x)。該二階方程的特征方程為r2-1=0,解得r1=-1,r2=1。

其通解為s(x)=C1e-x+C2ex。又s(0)=0,s′(0)=1,代入上式得：

故：

解法三(直接用展開式)：

3.3 數(shù)項級數(shù)的和

對數(shù)項級數(shù)的研究應(yīng)包括定性的和定量的兩方面內(nèi)容。定性的內(nèi)容即是討論級數(shù)的收斂性，定量的內(nèi)容就是要求級數(shù)的和。在數(shù)項級數(shù)中求和的內(nèi)容講解的少即是暗示需要借助冪級數(shù)來求和。

所以：

4 結(jié)語

闡述了Abel定理的內(nèi)涵、冪級數(shù)收斂域的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)了冪級數(shù)“逐項積分”和“逐項求導(dǎo)”的內(nèi)在關(guān)系，對和函數(shù)求導(dǎo)是“由外向內(nèi)逐項求導(dǎo)”，而對和函數(shù)積分是“由內(nèi)向外逐項求導(dǎo)”，將較難處理的“逐項積分”法轉(zhuǎn)化為較易掌握的“逐項求導(dǎo)”法，挖掘了冪級數(shù)求和函數(shù)與微分方程之間的關(guān)系，即冪級數(shù)求和函數(shù)的問題也可以利用冪級數(shù)的性質(zhì)結(jié)合微分方程的求解方法。