理解教材編寫意圖，重構(gòu)思維深層參與的教學(xué)設(shè)計*
——以“余弦定理”為例

太原師范學(xué)院 王燕榮 王佳麗 陳 莉 閆喜紅

1 問題的提出

余弦定理是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其定量刻畫了三角形邊角之間的關(guān)系.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2020修訂版)》明確要求：借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系，掌握余弦定理，能用余弦定理解決簡單的實際問題[1].其意在為向量的應(yīng)用提供一個重要的載體，使學(xué)生進一步領(lǐng)悟向量法所蘊含的數(shù)學(xué)思想，掌握用向量運算解決幾何問題的基本要領(lǐng)和方法的同時，完善對三角形的認(rèn)知結(jié)構(gòu)[2].

在余弦定理具體的教學(xué)設(shè)計中，多數(shù)教師存在認(rèn)識上的誤區(qū)和偏差.有些教師還是傾向于使用常規(guī)的證明方法，認(rèn)為向量法只是附加品，“蜻蜓點水”說明即可；有些教師在原有證明方法的基礎(chǔ)上增加了向量法，關(guān)注定理證法的多樣化；還有些教師開門見山直接告知使用向量法證明，沒有采取積極合理的方式促使學(xué)生有意識地運用向量法去解決問題，未能感受到向量法的巨大力量，沒有凸顯出向量法的特點和優(yōu)勢.

眾所周知，數(shù)學(xué)教材是實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、保證數(shù)學(xué)教學(xué)實施的重要資源，是教材編寫者集體智慧的結(jié)晶，體現(xiàn)了他們對數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)教學(xué)的認(rèn)識、理解及價值取向.教師只有領(lǐng)悟和理解教材編寫者的意圖，學(xué)會創(chuàng)造性地加工和使用教材，才能避免陷入“完全脫離教材”和“照本宣科”的誤區(qū).

基于此，筆者以2019年人教版A版高中數(shù)學(xué)必修二第六章第4.3節(jié)“余弦定理”為例進行了教學(xué)設(shè)計，旨在加深學(xué)生對高中教材平面向量內(nèi)容的理解，體會向量法的自然性和合理性，提升運用向量解決問題的意識和能力，進而獲得良好的情感和認(rèn)知體驗，促進思維的深層參與，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 促進思維深層參與的余弦定理教學(xué)設(shè)計

2019年人教A版高中數(shù)學(xué)教材以余弦定理和正弦定理的證明為載體，創(chuàng)造更多的機會培養(yǎng)學(xué)生用向量法解決幾何問題的意識，使學(xué)生切實感受到向量法解決問題的優(yōu)勢，更好地掌握向量法，也為后面學(xué)習(xí)正弦定理提供了方法上的引導(dǎo).

在學(xué)習(xí)余弦定理時，無論以哪種方式證明，盡量以產(chǎn)生式的方法進行，盡可能使學(xué)生了解定理的由來、剖析定理的結(jié)構(gòu)、探尋定理的證明思路和方法、熟悉定理的應(yīng)用，構(gòu)建系統(tǒng)化知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò).

2.1 創(chuàng)設(shè)問題情境，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)需求

問題1大同市人杰地靈、風(fēng)景優(yōu)美，擁有許多馳名中外的名勝古跡，大同火山群是中國著名第四紀(jì)火山群.小明在寒假期間來到大同旅游，第一天他從大同火山群出發(fā)，向東偏南30°方向前進直線距離約4 km到達了閣老山.第二天計劃從大同火山群出發(fā)，向東偏南85°方向前進直線距離約8 km就可以到達大同火山國家地質(zhì)公園(如圖1所示).小明改變了行程計劃，想直接從閣老山出發(fā)到大同火山國家地質(zhì)公園，如何行進最為合理？

圖1 實際問題圖

設(shè)計意圖：從現(xiàn)實生活中的情境和學(xué)生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和探究的熱情，使學(xué)生經(jīng)歷分析、歸納、反思、修正的認(rèn)識過程，引發(fā)思維積極參與，積累數(shù)學(xué)活動的基本經(jīng)驗.在此過程中教師不失時機地引導(dǎo)學(xué)生將生活問題數(shù)學(xué)化，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)及分析和解決問題的能力，同時感受到家鄉(xiāng)的美麗，增強對家鄉(xiāng)的熱愛之情.

2.2 重視啟發(fā)質(zhì)疑，探尋問題解決思路

問題2從閣老山B出發(fā)，只要求出BC的長度，一定能到達大同火山地質(zhì)公園嗎？

學(xué)生有些困惑，認(rèn)為只要求出線段BC就解決問題了.教師借助《幾何畫板》作圖，如圖2所示.

圖2 從閣老山行進BC長度的路線

學(xué)生觀察圖片可以發(fā)現(xiàn)，從閣老山B出發(fā)前進BC的長度能到達的地方有很多.

教師追問：僅僅通過求出兩點間的距離，為什么不能確定目的地？

學(xué)生根據(jù)圖2回答：因為方向不確定，還需要考慮前進的方向.

教師解釋道：方向非常重要，大家都聽過南轅北轍的故事吧！一旦方向錯誤，努力都是徒勞的.在這個問題中，既要考慮大小，又要關(guān)注方向，大家能想到什么？

學(xué)生馬上想到前面剛學(xué)過的向量——既有大小又有方向.

設(shè)計意圖：學(xué)生在思考過程中更多關(guān)注的是距離的遠近，不易直接想到從向量的視角來解決問題.教師的啟發(fā)引導(dǎo)和《幾何畫板》的動態(tài)展示，使學(xué)生感受到僅考慮距離(或路程)是不夠的，自然聯(lián)想到前面學(xué)習(xí)過的向量，激活解決問題思考的方向，提升思維的批判性和深刻性，潛移默化地讓學(xué)生懂得努力重要但方向更重要的道理.

2.3 加強合作交流，促發(fā)學(xué)生深度思考

問題3使用向量法，如何解決問題2？從圖3中能得到哪些信息？

圖3

=b2+c2-2bccosA.

同理可得

b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.

教師繼續(xù)追問：長度問題已經(jīng)解決了，方向呢?

設(shè)計意圖：利用平面向量的有關(guān)知識，以問題為載體，通過教師提問、追問等方式，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，探索并直觀感知銳角三角形中邊角之間的關(guān)系.抓住數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)特征，并體會向量法解決數(shù)學(xué)問題的優(yōu)越性，增強運用向量法解決數(shù)學(xué)問題的意識，同時發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)運算和邏輯推理素養(yǎng).

2.4 證明余弦定理，提升數(shù)學(xué)認(rèn)知水平

問題4在銳角三角形中運用向量法證明了a2=b2+c2-2bccosA，那么在一般三角形中，是否也能得到類似結(jié)論？

學(xué)生自然聯(lián)想到只需證明該結(jié)論在直角三角形和鈍角三角形中成立即可.

圖4

=b2+c2-2bccosA.

故a2=b2+c2-2bccosA.

圖5

=b2+c2-2bccosA.

故a2=b2+c2-2bccosA.

師生共同概括余弦定理，剖析定理的條件和結(jié)論，強調(diào)數(shù)學(xué)語言之間的轉(zhuǎn)化，并對定理變形，獲得其推論:

設(shè)計意圖：將問題從特殊情況推廣到一般情況，實現(xiàn)了知識和方法的正遷移.通過文字語言，符號語言和圖形語言的轉(zhuǎn)化，使學(xué)生從多個角度理解余弦定理，提升思維的深度.學(xué)生在整個學(xué)習(xí)過程中感悟到從特殊到一般、分類討論以及向量法的數(shù)學(xué)思想方法，體會到向量法的簡潔以及余弦定理結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一美，進而發(fā)展邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

2.5 應(yīng)用余弦定理，解決數(shù)學(xué)相關(guān)問題

問題5你能幫助小明解決遇到的問題嗎？

由余弦定理，可以得到BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA.

由AB=4，AC=8，∠A=55°，得BC≈7.

故小明應(yīng)從閣老山出發(fā)向西偏南59°前進7 km最快到達大同火山國家地質(zhì)公園.

設(shè)計意圖：應(yīng)用余弦定理解決問題情境中提出的問題1，使學(xué)生體會到余弦定理是源于現(xiàn)實問題的需要，不是從天而降的，體現(xiàn)余弦定理的應(yīng)用價值.通過解決實際問題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).

2.6 構(gòu)建知識縱橫聯(lián)系，形成知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)

問題6梳理本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，談?wù)勀阌心男┦斋@？

圖6

師生共同構(gòu)建本節(jié)課知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)(如圖6)，促進學(xué)生知識的系統(tǒng)化.

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是不斷形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵.教師的主要任務(wù)是幫助學(xué)生建立知識間的縱橫聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的整體結(jié)構(gòu)，促進學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不斷完善，從而提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

3 結(jié)論

數(shù)學(xué)教材為“教”與“學(xué)”活動提供了重要的資源.教師要深入挖掘教材立意，體會教材編寫者的意圖，精準(zhǔn)把握課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，只有這樣才能充分展示數(shù)學(xué)教材的引領(lǐng)和示范功效，從而創(chuàng)造性地使用教材，促進學(xué)生思維的深層發(fā)展及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地.