江蘇省淮安中學(xué) 丁 軍

1 向量法

向量法，是指將待求的兩個(gè)平面放入直角坐標(biāo)系中，通過(guò)向量的知識(shí)(例如向量的夾角公式等)進(jìn)行求解的方法，是求解二面角問(wèn)題最有效的方法之一.利用向量法求解，避免了添加輔助線作二面角的平面角的麻煩，有效降低題目難度.利用向量法解題的主要步驟：①根據(jù)題設(shè)找出三條相互垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系，這是正確求解的關(guān)鍵之一；②將待求的兩個(gè)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)及每個(gè)面的法向量表示出來(lái)；③計(jì)算向量的坐標(biāo)，并利用向量的夾角公式計(jì)算，最后還需注意判斷二面角的平面角和兩個(gè)法向量的夾角之間的關(guān)系，結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是鈍角還是銳角[1].

圖1

例1直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，已知AA1=4,AB=2,∠BAD=60°，BC,BB1,A1D的中點(diǎn)分別是E,M,N，求二面角A-MA1-N的正弦值.

圖2

(1)求直線AM與平面BCD所成的角的大??；

(2)求平面ACM與平面BCD所成的二面角的正弦值.

2 定義法

定義法是指利用二面角的定義進(jìn)行求解的一種方法.從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形就叫做二面角.一般利用二面角的平面角度量二角面，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度(平面角的取值范圍是0°≤θ≤180°).二面角的定義也是求解二面角問(wèn)題的有效手段，關(guān)鍵在于正確找出二面角的平面角.利用定義法解題的主要步驟：①根據(jù)題意作輔助線，準(zhǔn)確找出二面角的平面角；②根據(jù)題設(shè)條件證明上述角是二面角的平面角；③根據(jù)題意利用余弦定理等公式計(jì)算求解.簡(jiǎn)要概括為“一作、二證、三計(jì)算”.

圖3

例2在四面體ABCD中，AC=AB=1，CD=BD=2，AD=2.5，BC=1.5，求二面角A-BC-D的余弦值.

分析:如圖3所示，設(shè)E為BC的中點(diǎn).選擇輔助線AE，DE，然后利用二面角的定義確定角A-BC-D的平面角為∠AED，再分別計(jì)算線段AE，DE的長(zhǎng)度，利用余弦定理進(jìn)行求解.

解析:設(shè)線段BC的中點(diǎn)是E，連接AE，DE.

由AC=AB=1，CD=BD=2，可得

AE⊥BC，DE⊥BC.

所以∠AED是二面角A-BC-D的平面角.

拓展：如圖4,在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小.

圖4

圖5

3 垂面法

求解二面角問(wèn)題的常用方法還包括垂面法.垂面法，就是指作一個(gè)與二面角的棱垂直的平面，該垂面與二面角兩半平面相交得到交線所成的角為二面角的平面角.適用于銳二面角或直角二面角問(wèn)題.利用垂面法解題的主要步驟：①根據(jù)題意作出與棱垂直的平面；②結(jié)合實(shí)際問(wèn)題找出二面角的平面角；③證明上述平面角為二面角的平面角并求出其大小[2].

圖6

例3在平面角等于60° 的二面角α-l-β中有一點(diǎn)P，點(diǎn)P到α，β的垂線段長(zhǎng)分別為PC=3 cm，PD=5 cm，求點(diǎn)P到棱l的距離.

分析:如圖6所示，本題所選擇的垂面為平面PCD，進(jìn)而確定二面角α-l-β的平面角為∠CED=60°，最后根據(jù)l⊥平面PCED，得l⊥PE，PE即為點(diǎn)P到棱l的距離.

解析:設(shè)過(guò)P，C，D三點(diǎn)的平面分別交平面α，β于CE，DE.易證l⊥平面PCD.

∴l(xiāng)⊥DE，l⊥CE.

∴∠CED即為二面角α-l-β的平面角.

∴∠CED=60°，∠CPD=120°.

由余弦定理，可知CD=7.

∵l⊥平面PCED，

∴l(xiāng)⊥PE.

∴PE即為點(diǎn)P到棱l的距離.

又∵P，C，E，D四點(diǎn)共圓，∠PCE=90°，

∴PE是該圓的直徑.

圖7

(1)求證：PC⊥平面BEF；

(2)求二面角C-BE-F的大小.

求解二面角問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)試卷中也經(jīng)常出現(xiàn)，求解二面角的方法中，筆者認(rèn)為最簡(jiǎn)單且最普遍適用的方法莫過(guò)于向量法，只要合理建系，正確計(jì)算求解即可.