知識交匯 思維多樣
——一道面積最值問題的探究

江蘇省揚州市邗江區(qū)第一中學 潘月妹

涉及三角形面積的最值問題，是解三角形問題中的一類基本綜合應用問題．此類問題巧妙融入解三角形問題、最值應用問題等，交匯平面幾何、三角函數(shù)、函數(shù)與方程、不等式等相關知識，是新高考數(shù)學試卷中比較常見的一類綜合應用性問題，充分體現(xiàn)高考“在知識交匯處命題”的指導精神，倍受各方關注．

1 問題呈現(xiàn)

此題以三角形為幾何背景，結合平面向量的數(shù)量積、解三角形等知識來確定三角形面積的最值．題目簡單明了，可以從問題背景出發(fā)，利用解三角形思維從平面幾何來直觀切入；也可以從平面向量知識出發(fā)，利用平面向量的坐標運算或對應公式等思維視角來切入．視角不同，解題思路與過程以及涉及到的知識點也各不相同，各有各的精彩．

2 問題解決

方法1:解三角形法.

利用基本不等式，可得

所以，當a2=4，即a=2，b=c=2，亦即△ABC為邊長為2的正三角形時，S2取得最大值3.

點評：通過解三角形思維來解決三角形中的面積問題，是解決此類問題最常用的一種技巧方法．在具體解析過程中，綜合了平面向量的數(shù)量積、解三角形的余弦定理與三角形面積公式、三角公式、基本不等式以及二次函數(shù)的圖象與性質等眾多知識，實現(xiàn)多知識交匯與融合的完美統(tǒng)一．

方法2：平面幾何法.

圖1

如圖1所示，設h為BC邊上的高，對應的垂足為點D.設|BD|=x，則|CD|=a-x.

結合勾股定理，有a2+b2+c2=a2+x2+h2+(a-x)2+h2=12.整理可得

x2-ax+a2+h2-6=0 ①

由于關于x的二次方程①有解，則

Δ=a2-4(a2+h2-6)≥0.

整理，可得3a2+4h2≤24.

點評：根據(jù)條件，借助平面向量的數(shù)量積公式與余弦定理，得到三角形的三邊的平方和的值，巧妙構建平面幾何圖形，利用三角形的直觀性，結合勾股定理的應用，綜合二次方程有根的條件，并利用基本不等式來轉化與應用．數(shù)形結合，直觀有效．

方法3：建系法.

圖2

所以，當a2=4，即a=2，b=c=2，亦即△ABC為邊長為2的正三角形時，S2取得最大值3.

點評：通過建立平面直角坐標系，結合點的坐標，解決平面向量的數(shù)量積以及三角形的面積等相關問題，也是解決解三角形問題的一種基本技巧方法．通過配方處理，利用參數(shù)的取值限制并借助二次函數(shù)的圖象與性質來確定最值，思路清晰，方法常規(guī)，運算量合適．

方法4：極化恒等式法.

點評：利用平面向量中的極化恒等式將平面向量的數(shù)量積關系轉化為對應邊長的關系，為進一步解三角形指明方向．利用平面向量的極化恒等式可以快速對平面向量的數(shù)量積進行化歸與轉化，體現(xiàn)了平面向量的幾何屬性，特別適合于以三角形為載體且含有線段中點的平面向量問題．

方法5：外森比克不等式法.

3 變式拓展

探究：根據(jù)以上問題中方法1(或其他方法)的解析過程，改變問題條件的視角，從三角形三邊的平方和的值所提供的信息入手，進而確定對應三角形面積的最值，從而得到以下對應的變式問題．

變式△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2+b2+c2=12，則△ABC面積的最大值為( ).

解析：由a2+b2+c2=12，結合余弦定理可得bccosA+a2=6.

當然，利用變式1中的條件，解決問題的思路更加活躍，方法更多，這里就不多加敘述．

4 教學啟示

(1)面積應用，最值綜合

借助三角形面積這一基本要素，可以巧妙利用三角形面積的夾角公式、高線公式、圓的半徑公式以及海倫公式等的應用，合理構建三角形中相關邊、角等元素之間的關系，巧妙滲入函數(shù)與方程、基本不等式、函數(shù)與方程、平面幾何等相關知識，通過代數(shù)運算、邏輯推理、幾何直觀等，實現(xiàn)最值的確定與求解．

(2)一題多解，一題多悟

結合實例，針對具體問題從多個不同思維角度來切入與處理，巧妙把對應問題的底蘊充分挖掘出來，多角度出發(fā)，多方法求解，從而真正體現(xiàn)對數(shù)學知識的融會貫通，展現(xiàn)數(shù)學基礎知識之間的交匯與融合，全面提升能力，拓展思維．巧妙借助一題多解，真正達到在學中“悟”、在“悟”中不斷提升解題技能，進而達到一題多悟的良好效果．