修正的中間測(cè)度和維數(shù)

賴健強(qiáng) ,宋子婷

（1.廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510000；2.閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,福建漳州 363000）

Hausdorff[1]維數(shù)在分形幾何及其他學(xué)科，如物理、地理學(xué)科中扮演著越來越重要的角色.盒維數(shù)是另外一種更容易計(jì)算的維數(shù).這些維數(shù)可用來刻畫物體占據(jù)空間的能力，具有廣泛的應(yīng)用.2019年，F(xiàn)alconer等[2]引入了上、下中間維數(shù)的概念，它是在Hausdorff 維數(shù)和盒維數(shù)之間通過限制Hausdorff 維數(shù)定義中允許的覆蓋來實(shí)現(xiàn)的.中間維數(shù)介于Hausdorff 維數(shù)和盒維數(shù)之間,近來取得許多有意思的結(jié)果，見文獻(xiàn)[3-10].但上、下中間維數(shù)沒有可數(shù)穩(wěn)定性，大大限制了其應(yīng)用范圍.使用修正的上，下中間（s維）測(cè)度來分別誘導(dǎo)修正的上、下中間維數(shù)，并討論了這些測(cè)度和維數(shù)的一些性質(zhì).

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)0≤θ≤1,δ＞0，F(xiàn)?Rn.若F?，對(duì)任意i，都有，則稱為F的一個(gè)(θ,δ)-覆蓋.Falconer等[2]引入的上、下中間維數(shù)的定義如下：

設(shè)F是Rn的有界子集，0≤θ≤1，s為一非負(fù)數(shù)，對(duì)任意δ＞0定義：

集合F的修正的上、下中間測(cè)度分別定義為

可以用通常的方法定義修正的上、下中間維數(shù):

2 主要結(jié)果

定理1是度量外測(cè)度.不是度量外測(cè)度.

集合在H?lder映射下像集的修正的上、下中間測(cè)度有如下的估計(jì).

命題1令F?Rn，f:F→Rm是滿足α階H?lder條件的映射，則對(duì)每一個(gè)s有

以下關(guān)于修正的上、下中間維數(shù)的變換性質(zhì)，可以從命題2中立即得到.

推論1令F?Rn，f:F→Rm是滿足α階H?lder條件的映射，則對(duì)每一個(gè)s有

定理2設(shè)F是Rn的有界集，0＜θ＜?≤1和t＜，令cn=，則

同樣修正的上、下中間維數(shù)關(guān)于θ∈(0,1]的連續(xù)性質(zhì)，可以從定理2中立即得到.

推論2設(shè)F是Rn的有界集，并且令 0＜θ＜?≤1和t＜，則有

3 主要結(jié)果的證明

定理1的證明 因?yàn)槭怯煞椒↖[3]得到，故為外測(cè)度.下證為度量外測(cè)度.

對(duì)F的所有(θ,δ)-覆蓋取下確界，得到

因此

綜上所述,定理1證畢.