叢紅璐, 王林杰， 趙玉娜, 王健瑩， 任學藻

(1.滄州交通學院 通識教育學院， 黃驊 061199；2. 西南科技大學 理學院， 綿陽 621010)

1 引 言

Rabi模型描述的是一個二能級原子與單模腔場的相互作用[1]，是物質(zhì)與光場相互作用的最簡單模型，該模型在物理學中應用廣泛，例如，微波和腔量子電動力學(QED)[2]，量子點和電路QED[3]. 在理論和實驗中，通常將Rabi模型進行擴展，例如N個二能級原子與單模光場相耦合的Dicke模型[4]和雙光子躍遷的Rabi模型[5,6]等.

在理論上，研究Rabi模型的關(guān)鍵問題是能對系統(tǒng)能譜[5-10]和動力學問題精確求解[11]. 定態(tài)能譜問題的研究中，兩組描述奇偶函數(shù)的G方程經(jīng)常被用來求解Rabi系統(tǒng)的能譜[7-9]，從而研究能量本征值與G方程的關(guān)系，Judd等人提出了Juddian求解方法用來解決復雜情況下Rabi模型的能譜[10].

在量子信息處理中，需要使系統(tǒng)產(chǎn)生量子糾纏[12]. 但量子系統(tǒng)不是絕對孤立的，系統(tǒng)都不可避免地會與環(huán)境相互作用[13]，這將可能導致退相干從而降低糾纏[14]，盡管系統(tǒng)的相干損失是漸近的，但糾纏可以在有限時間內(nèi)突然衰減到零，這種現(xiàn)象被稱為Entanglement Sudden Death(ESD)[14,15]. Rabi模型演化問題對制備穩(wěn)定高效的糾纏十分重要[16]，因此量子Rabi模型的理論研究已經(jīng)非常廣泛.但是在非旋波近似下，考慮偶極—偶極相互作用時的兩量子比特Rabi模型的精確求解問題，尤其系統(tǒng)耦合強度處于強耦合區(qū)間糾纏的演化問題還較少研究.

本文第一部分在非旋波近似下建立兩量子比特Rabi模型，對算符做Bogoliubov變換[17,18]，將波函數(shù)在相干態(tài)下展開[18, 19]，利用定態(tài)薛定諤方程求解能譜和波函數(shù)，并給出了能譜中能級為常數(shù)對應的解析解. 第二部分，在動力學問題中計算Wootters提出的糾纏度量方案Concurrence的演化[20]，分析了耦合強度和偶極作用等參數(shù)對量子糾纏的影響.

2 能譜和波函數(shù)求解

考慮兩個能級間隔為Ω的二能級原子與頻率為ω0的單模光場相耦合，為得到精確解，系統(tǒng)哈密頓量在非旋波近似下展開[7]：

(1)

(2)

式中|Ei〉和|Gi〉(i=1,2)是原子激發(fā)態(tài)和基態(tài)能級.

為使(1)式中算符轉(zhuǎn)換到主對角線上，對原子能級做旋轉(zhuǎn)變換，令：

(3)

式中|ei〉和|gi〉(i=1,2)是原子旋轉(zhuǎn)變換后的激發(fā)態(tài)和基態(tài)，將(2)-(3)帶入(1)得：

(4)

A=a+α,A+=a++α,

(5)

B=a-α,B+=a+-α,

(6)

式中α=g/ω0.將定態(tài)波函數(shù)按下式展開：

|ψ〉=|e1〉|e2〉|φ1〉+|e1〉|g2〉|φ2〉+

|g1〉|e2〉|φ3〉+|g1〉|g2〉|φ4〉,

(7)

式中：

(8)

(9)

(10)

(11)

cn、dn、en、fn是展開系數(shù)，N為展開項數(shù)，|n〉是數(shù)態(tài)，|n〉A(chǔ)和|n〉B是對應Bogoliubov算符A和B的數(shù)態(tài)，因此：A+A|n〉A(chǔ)=n|n〉A(chǔ)，B+B|n〉B=n|n〉B. 將(4)和(7)式利用薛定諤方程展開：

(12)

(13)

(14)

(15)

將(12)-(15)式分別左乘A〈m|，〈m|，〈m|和B〈m|，根據(jù)波函數(shù)的正交歸一性得：

(16)

(17)

(18)

(19)

式中A〈m|，〈m|和B〈m|為|n〉，|n〉A(chǔ)和|n〉B的復共軛，cm、dm、em、fm是正交歸一化后的系數(shù)，m是常數(shù)，內(nèi)積表達式為，

A〈m|n〉=〈m|n〉B=(-1)nDmn, 〈m|n〉A(chǔ)=

B〈m|n〉=(-1)mDmn,

(20)

其中

(21)

通過求解(16)-(19)式可得系統(tǒng)能譜E以及系數(shù)cn、dn、en、fn.

圖1 系統(tǒng)能譜E的精確解.

(22)

[ω0(B+B-α2)]|φ2〉+

(23)

(24)

(25)

(25)式中的|φ4〉可用數(shù)態(tài)進行展開，即|φ4〉=|n〉.因此η=0時，圖1所示能譜中總有一條能級曲線與耦合強度無關(guān)，能量本正值恒為E=n(n=0,1,2,3…).

在Dicke模型中，若考慮原子個數(shù)N=2，η=0，則Dicke模型轉(zhuǎn)變成非旋波近似下的T-C模型. 在文獻[8]中，將Dicke模型系統(tǒng)波函數(shù)利用平移對稱性分別進行展開，通過兩組基矢得到兩組獨立的能級，進而得到系統(tǒng)能譜. 若不考慮圖1中E=n能量本正值對應的能級水平線，其余能級可由(22)-(24)式得到，通過本文方法得到的能級曲線與文獻[8]進行對比，其結(jié)果完全相同.

3 含時問題

3.1 含時波函數(shù)求解：

設(shè)初始定態(tài)波函數(shù)為

|ψ(0)〉=(cosθ|E1〉|E2〉+

sinθ|G1〉|G2〉)|0〉,

(26)

式中θ為原子Bell態(tài)的角參數(shù)，下面將定態(tài)波函數(shù)向含時波函數(shù)轉(zhuǎn)換，對定態(tài)波函數(shù)進行展開

dn|n〉|e1〉|g2〉+en|n〉|g1〉|e2〉+

fn|n〉B|g1〉|e2〉)],

(27)

式中ki是疊加系數(shù). 聯(lián)立(26)和(27)，與前文中定態(tài)問題求解過程類似，考慮(3)式原子能級旋轉(zhuǎn)關(guān)系，對比各原子態(tài)|e1〉|e2〉、|e1〉|g2〉、|g1〉|e2〉和|g1〉|e2〉系數(shù)，并分別左乘A〈m|，〈m|，〈m|和B〈m|后整理得

(28)

(29)

(30)

(31)

通過求解(28)-(31)式可得到系數(shù)ki，進而得到含時波函數(shù)：

en|n〉|g1〉|e2〉+fn|n〉B|g1〉|e2〉)],

(32)

3.2 原子糾纏演化的精確解

兩量子比特間的糾纏可寫為[20]

(33)

圖2為Ω/ω0=1，η=0.01，耦合強度不同的情況下糾纏C(t)的演化情況. 圖中C(t)的數(shù)值表現(xiàn)出周期變化的規(guī)律，隨g的增大C(t)曲線周期減小，計算可得C(t)演化周期T≈1/2g2. 在圖2的等高圖中可以看到，可無論g取值如何，糾纏均會出現(xiàn)ESD，隨著g的增大，首次出現(xiàn)ESD的時間明顯變短. 當g較大時，如圖2(b)-(c)所示，糾纏最大值(C(t)=1)附近曲線出現(xiàn)微小不規(guī)則振蕩，而且出現(xiàn)兩個最大值區(qū)域，這是由非旋波項躍遷產(chǎn)生的復雜動力學特點所導致的[7]. 在不同時刻，但無論g取何值，C(t)的數(shù)值與參數(shù)θ的變化有周期性改變，并且也出現(xiàn)了ESD.

圖2 g值不同時糾纏C(t)的演化. (a)g=0.1, (b)g=0.25, (c)g=0.5.

圖3為Ω/ω0=1，g=0.02，θ=π/4，偶極作用參數(shù)η對兩原子糾纏動力學特性的影響. 圖中所示糾纏的數(shù)值C(t)同樣呈現(xiàn)周期性，并且η增大，C(t)周期隨之增加，通過計算可得C(t)演化周期T≈100η/g. 當η的數(shù)值較小時，如圖3(a)-(b)所示，C(t)在峰值附近并不穩(wěn)定，表現(xiàn)為演化曲線呈現(xiàn)微弱振蕩，隨著η的增大，如圖3(c)-(d)所示，C(t)在峰值附近的微小振蕩消失.η無論取何值，C(t)的最大值和初始值均為最大值1，糾纏沒有出現(xiàn)ESD，并且C(t)最小值隨著η的增大有所增加.

圖3 η取值不同時C(t)的演化. (a)η=0.2, (b)η=0.5, (c)η=0.8, (d)η=1.

4 結(jié) 論

本文求解了兩量子比特與單模光場耦合系統(tǒng)的量子特性. 在定態(tài)問題中得到系統(tǒng)能譜的精確解，通過研究發(fā)現(xiàn)能譜中一條能級與耦合強度無關(guān)，并且對波函數(shù)進行變換得到了該能級的解析解. 利用concurrence計算兩量子比特的糾纏，分別討論了耦合強度g、參數(shù)θ和η對C(t)的影響. 通過數(shù)值求解可知，C(t)演化具有周期性，文中分別給出C(t)的周期T(g)以及T(η,g)的關(guān)系.C(t)隨g和參數(shù)θ的演化中出現(xiàn)ESD，當g較大時，非旋波項對系統(tǒng)顯現(xiàn)，C(t)演化呈現(xiàn)出不規(guī)則振蕩. 當η較小時，C(t)在峰值附近呈現(xiàn)微弱振蕩，隨著η的增大現(xiàn)象消失.η無論取何值，C(t)的最大值和初始值均為最大值1，沒有出現(xiàn)ESD.