葉春榮，鄭東琛，廖任遠(yuǎn)

(1.福建師范大學(xué) 物理與能源學(xué)院 福建省量子調(diào)控與新能源材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 福州 350117；2.福建省先進(jìn)高場(chǎng)超導(dǎo)材料與工程協(xié)同創(chuàng)新中心， 福州 350117)

1 引 言

超冷原子氣體，包括玻色子和費(fèi)米子，是一種最先進(jìn)的量子模擬實(shí)驗(yàn)和理論平臺(tái)[1]，其在量子模擬、量子計(jì)算、精密測(cè)量等領(lǐng)域的研究中發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用. 1995年，第一次在超冷原子氣體中觀察到玻色因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensate，BEC)[2,3]，而BEC的實(shí)現(xiàn)為我們理解自然翻開了新的一頁(yè)，我們可以研究以前未解決的物理問(wèn)題，也可以測(cè)試許多新的想法.

一些重要問(wèn)題的物理機(jī)制十分迷人. 其中一個(gè)是關(guān)于玻色氣體與雜質(zhì)的作用，這通常被稱為玻色極化子問(wèn)題，類似于Landau和Pekar研究的極化子問(wèn)題[4]. 極化子問(wèn)題是最簡(jiǎn)單的問(wèn)題之一，然而它卻展示了非平凡的多體效應(yīng)，揭示了單體和多體物理的相互作用，并且極大地簡(jiǎn)化許多復(fù)雜現(xiàn)象的描述，特別是在BEC中雜質(zhì)的研究中起著重要作用. 因?yàn)椴Ｉ珮O化子不僅在弱相互作用領(lǐng)域中是理想的研究體系[5-7]，而且在強(qiáng)相互作用領(lǐng)域也備受青睞[8-12].

近年來(lái)，對(duì)含雜質(zhì)的玻色系統(tǒng)中進(jìn)行了不同的研究. 在理論上，包括了有效極化子-極化子相互作用的研究[13-15]、極化子的聚集和運(yùn)輸[16,17]、雜質(zhì)的自束縛[18]、多極化子問(wèn)題[19,20]、用雜質(zhì)探測(cè)BEC[21]等. 在實(shí)驗(yàn)中，Hohmann等人[22]開展了銫雜質(zhì)實(shí)驗(yàn)的技術(shù)探索，有小組研究了浸在玻色-愛因斯坦凝聚體中的局部中性雜質(zhì)的自旋動(dòng)力學(xué)[23]、玻色氣體中的費(fèi)米子[6,24]、BEC中嵌入的離子及運(yùn)輸動(dòng)力學(xué)[25,26]. 此外，Spethmann等小組還研究了玻色氣體中雜質(zhì)的量子動(dòng)力學(xué)[5,27].

在玻色氣體環(huán)境中，理論和實(shí)驗(yàn)上研究了單極化子的各種性質(zhì)，較少研究雜質(zhì)之間的相互作用. 當(dāng)系統(tǒng)中存在兩種(或兩種以上)雜質(zhì)時(shí)，由于與介質(zhì)原子的相互作用而引起它們之間的相互作用是最基本的問(wèn)題之一[28-30]. 在一維上，有多個(gè)研究小組探究了兩雜質(zhì)的問(wèn)題. 對(duì)于三維的情況，大部分研究都聚焦于相同作用的雜質(zhì)，如在文獻(xiàn)[31]研究了在雜質(zhì)與BEC之間弱相互作用的極限下，玻色極化子之間的有效相互作用. 而文獻(xiàn)[32]利用變分法對(duì)兩雜質(zhì)問(wèn)題進(jìn)行研究. 這些三維空間的研究都表明，兩個(gè)相同雜質(zhì)之間存在湯川勢(shì)相互作用. 本文研究了玻色凝聚體中存在兩個(gè)固定雜質(zhì)的情形，由于雜質(zhì)和玻色子相互作用非常弱，所以將采用微擾法開展工作. 經(jīng)過(guò)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)基態(tài)能量與雜質(zhì)之間的相對(duì)距離和雜質(zhì)-玻色子的散射長(zhǎng)度有關(guān). 進(jìn)一步從基態(tài)能量出發(fā)，研究雜質(zhì)-玻色子的相互作用是吸引時(shí)或排斥時(shí)，兩雜質(zhì)間表現(xiàn)出的特征，獲得初步結(jié)果. 再通過(guò)它們的有效力分析，得到與能量分析一致的結(jié)果. 最后，通過(guò)凝聚體密度分布圖像再次得到相同的結(jié)論.

2 模型與方法

考慮兩個(gè)雜質(zhì)浸入在玻色凝聚體中通過(guò)以下巨正則哈密度量來(lái)描述：

(1)

不含時(shí)的Gross-Pitaevskii(G-P)方程如下：

(2)

-μφ0+g|φ0|2φ0=0.

(3)

(4)

因此，求解上述兩個(gè)方程得到k≠0時(shí)的波函數(shù)：

(5)

3 結(jié)果和討論

基態(tài)能量可以通過(guò)計(jì)算E=〈H〉得到，忽略二階以上的高階項(xiàng)，利用粒子數(shù)守恒，求解出系統(tǒng)基態(tài)能量為：

(6)

(7)

對(duì)于能量修正部分：

(8)

顯然，δE與玻色-雜質(zhì)相互作用強(qiáng)度有關(guān)，還與相對(duì)距離有關(guān). 如果將其中一個(gè)雜質(zhì)與BEC的相互作用減少到0，即令A(yù)2=0，相當(dāng)于單雜質(zhì)在玻色凝聚體中的情況，此時(shí)的δE將變?yōu)椋?/p>

(9)

這與文獻(xiàn)[34]所計(jì)算結(jié)果相吻合，同時(shí)也驗(yàn)證了本文所運(yùn)用計(jì)算方法的合理性.

圖1 在不同的散射長(zhǎng)度下，能量修正隨距離改變.

雜質(zhì)與雜質(zhì)之間的有效力更加直觀的體現(xiàn)它們之間的相互作用. 通過(guò)計(jì)算能量的負(fù)梯度，可以得到雜質(zhì)間有效相互作用力：

(10)

圖2 在不同的雜質(zhì)散射長(zhǎng)度下，雜質(zhì)之間有效力隨相對(duì)距離改變.

進(jìn)一步驗(yàn)證所得到的結(jié)果，將對(duì)體系的粒子數(shù)密度進(jìn)行分析，根據(jù)n=|φ|2，得到粒子數(shù)密度：

(11)

圖3 兩個(gè)雜質(zhì)-玻色子的相互作用同為吸引時(shí)或同為排斥時(shí)的密度分布.

圖4 一個(gè)雜質(zhì)-玻色子相互作用是吸引時(shí)，另一個(gè)為排斥時(shí)的密度分布.

4 結(jié) 論

本文考慮了含有兩個(gè)固定雜質(zhì)的玻色體系，其中這兩個(gè)雜質(zhì)與玻色子的相互作用可以獨(dú)立調(diào)節(jié). 通過(guò)求解G-P方程，獲得了系統(tǒng)的基態(tài)能量，并且計(jì)算了雜質(zhì)之間的有效力和凝聚體密度. 基態(tài)能量和力的結(jié)果表明，如果兩個(gè)雜質(zhì)都吸引或排斥周圍的玻色子，這兩個(gè)雜質(zhì)之間都存在有效的吸引相互作用；如果兩個(gè)雜質(zhì)其中一個(gè)吸引而另一個(gè)排斥周圍的玻色子，這兩個(gè)雜質(zhì)之間存在有效的排斥相互作用. 進(jìn)一步研究了凝聚體密度分布，分析相互作用背后的力學(xué)機(jī)制，從另一個(gè)角度驗(yàn)證了上述結(jié)論. 本文研究結(jié)果有助于我們理解環(huán)境密度與極化子間有效相互作用的關(guān)聯(lián)，同時(shí)也有助于進(jìn)一步探索玻色愛因斯坦凝聚體中雜質(zhì)所帶來(lái)的物理效應(yīng).