許 巍 魏 然 黃 航 柯式鎮(zhèn)

(①長江大學(xué)地球物理與石油資源學(xué)院，湖北武漢 430100；②中國石油大學(xué)(北京)地球物理學(xué)院，北京 102249)

0 引言

近年來，頻譜激發(fā)極化(Spectral Induced Polarization，SIP)已廣泛應(yīng)用于金屬礦藏、水文地質(zhì)、環(huán)境科學(xué)等領(lǐng)域[1-5]。針對不同的研究對象，在現(xiàn)場及實驗室中測量SIP數(shù)據(jù)時所采用的頻率范圍不盡相同，影響其激發(fā)極化特征的微觀機(jī)理也不同[6]。在油氣勘探領(lǐng)域，儲層巖石激發(fā)極化主要受離子雙電層及界面極化效應(yīng)的影響，測量SIP數(shù)據(jù)所采用的頻率較低。對于泥質(zhì)含量較低的儲層，當(dāng)測量頻率為10～10MHz時，離子雙電層的影響可以忽略，SIP主要受低頻界面極化效應(yīng)的影響[7]。

儲層巖石低頻界面極化效應(yīng)微觀機(jī)理研究是儲層SIP技術(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，大量的SIP測量結(jié)果表明儲層巖石SIP數(shù)據(jù)在評價孔隙度、滲透率、飽和度、礦化度及潤濕性方面優(yōu)勢明顯[8-12]。然而，部分儲層巖石是典型的多孔介質(zhì)，其孔隙結(jié)構(gòu)復(fù)雜、非均質(zhì)性較強(qiáng)，因此僅根據(jù)實驗測量數(shù)據(jù)難以定量表征儲層的微觀孔隙特征，目前為止還沒有可用于有效解釋巖石低頻界面極化效應(yīng)的理論模型。

為了有效分析和研究巖石低頻界面極化效應(yīng)，學(xué)者們提出了一系列等效電路模型。Cole等[13]對Debye模型進(jìn)行了修正，提出了實際應(yīng)用中更加精確的頻散模型。對于寬頻范圍的巖石介電頻譜，Pelton等[14]提出了二階Cole-Cole模型，以分別表征流體與巖石骨架交界面的界面極化和鹽水中偶極極化，取得了較好應(yīng)用效果。然而Cole-Cole類型的模型均屬于經(jīng)驗?zāi)Ｐ?，無法定量描述巖石電阻率頻散的物理機(jī)理[15]。Dias[16]提出一種新的等效電路模型，并基于雙電層形變理論對模型參數(shù)的物理含義進(jìn)行了詳細(xì)說明。Vinegar等[17]提出了泥質(zhì)砂巖導(dǎo)電模型，該模型考慮了泥質(zhì)砂巖中泥巖礦物的附加導(dǎo)電性對激發(fā)極化數(shù)據(jù)的影響。Revil等[18]修訂了Vinegar等[17]的等效電路模型，并基于離子雙電層理論闡述了低頻及高頻電導(dǎo)率激發(fā)極化效應(yīng)的微觀機(jī)理。Tong等[19]提出了能準(zhǔn)確預(yù)測非均質(zhì)介質(zhì)的直流電阻率和極化率的MGEMTIP模型，該模型適用于表征高礦化度、低孔隙度及低滲透率巖石的極化現(xiàn)象。迄今為止，大多數(shù)等效電路模型只能對巖石電頻散特征進(jìn)行定性分析，為了定量評價和分析巖石的電頻散特性，還需要建立一種可定量表征巖石電頻散特性的等效電路模型。

本文基于儲層巖石孔隙毛管模型，推導(dǎo)了巖石宏觀物性參數(shù)與微觀孔隙流體導(dǎo)電性質(zhì)及介電性質(zhì)的定量關(guān)系，對巖石低頻界面極化效應(yīng)的各項影響因素進(jìn)行了數(shù)值模擬，建立了定量評價巖石低頻界面極化效應(yīng)各項影響因素的模型，為巖石低頻界面極化微觀機(jī)理的研究提供了理論基礎(chǔ)及數(shù)值模型。

1 油氣儲層頻率域激發(fā)極化效應(yīng)

1.1 低頻界面極化效應(yīng)微觀機(jī)理

在地球物理勘探領(lǐng)域，針對不同的研究對象，頻率域激發(fā)極化測量所采用的頻率各不相同。在0.001～10GHz頻率范圍，控制頻率域激發(fā)極化特征的微觀機(jī)理是變化的，不同的微觀機(jī)理具有各自所主導(dǎo)的頻率范圍。如圖1所示，將儲層巖石樣品置于外加電場中進(jìn)行頻率域激發(fā)極化測量時，控制其激發(fā)極化特征的主要機(jī)理從低頻到高頻分別為：離子雙電層極化、界面極化、分子極化及電子極化等[20]。測量過程中，具體哪種極化機(jī)理占主導(dǎo)作用取決于外部電場的頻率。由于分子摩擦力及靜電場力的作用，每種極化機(jī)理起主導(dǎo)作用的頻率范圍都是有限的。本文中，頻率域激發(fā)極化數(shù)值模擬所采用的頻率范圍為10～10MHz，在此范圍內(nèi)控制含油巖石激發(fā)極化效應(yīng)的主要機(jī)理為界面極化效應(yīng)。

圖1 多孔介質(zhì)頻率域激發(fā)極化頻帶范圍

在分析頻率域電頻譜數(shù)據(jù)極化效應(yīng)時，通常在

位移電流D的表達(dá)式中引入宏觀極化矢量P[21]

D=ε0E+P=ε0εrE

(1)

式中：E為電場強(qiáng)度；εr表示相對介電常數(shù)；ε0=8.85×10-12F·m-1為真空介電常數(shù)。基于安培定律，磁場強(qiáng)度H與位移電流D和電流密度j的關(guān)系為

(2)

式中t表示時間。在時諧電磁場中，將上式中對時間的導(dǎo)數(shù)和電流密度分別替換為-iω和σE，則式(2)可改寫為

(3)

式中：σ表示電導(dǎo)率；ω=2πf表示頻率域激發(fā)極化實驗所采用的角頻率，其中f表示頻率。

在頻率域激發(fā)極化測量中，巖石樣品可等效為具有復(fù)介電常數(shù)的電容，在角頻率為ω的外加電磁場中，巖石復(fù)介電常數(shù)為

(4)

類似地，在同樣的交變電磁場條件下，如果巖石樣品被等效為具有復(fù)電導(dǎo)率的導(dǎo)體，則其復(fù)電導(dǎo)率σ*(ω)可以表示為

σ*(ω)=σ-iωε0εr

(5)

在頻率域激發(fā)極化測量中，巖石的復(fù)電阻率同樣可以表示為

(6)

當(dāng)σ*(ω)、ρ*(ω)和ε*(ω)中任意兩個參數(shù)已知時，其余參數(shù)可根據(jù)式(4)～式(6)計算得到。因此，傳統(tǒng)評價介電激發(fā)極化效應(yīng)的方法和模型也同樣適用于電阻率激發(fā)極化效應(yīng)的研究。

1.2 油氣儲層孔隙毛管模型

經(jīng)典孔隙毛管模型廣泛應(yīng)用于研究多孔介質(zhì)宏觀物性參數(shù)與微觀孔隙結(jié)構(gòu)的關(guān)系。在儲層孔隙結(jié)構(gòu)研究中，通常將孔隙網(wǎng)絡(luò)等效為多條毛細(xì)管組成的孔隙毛細(xì)管模型。當(dāng)儲層孔隙由半徑及長度恒定的毛細(xì)管組成時，其部分宏觀物性參數(shù)可由Darcy定律和Hagen-Poiseuille定律表述[22]

(7)

(8)

(9)

式中：φ表示孔隙度；K表示滲透率；F表示地層因素；r0表示毛管半徑；n0表示單位截面積上的毛管數(shù)。基于式(7)～式(9)，巖心部分宏觀物性參數(shù)可由經(jīng)典的孔隙毛管模型定量表征。然而，實際巖心的孔隙網(wǎng)絡(luò)常常由不同尺寸的孔隙及喉道組成，基于傳統(tǒng)的單一尺寸的孔隙毛管模型難以準(zhǔn)確表征實際巖心的孔隙結(jié)構(gòu)，計算得到的宏觀物性參數(shù)也會偏離真實值。

為了克服上述局限性，本文引入一種新型孔隙毛管模型[23](圖2)。沿著外加電場E的方向，模型中每條毛管束由多個相同的孔隙單元組成。假設(shè)巖心長度為L，巖心直徑為d，孔隙及喉道直徑分別為dp和dt，每個孔隙單元中的孔隙長度lp及喉道尺寸lt可以單獨設(shè)置，每個孔隙單元的長度le=lp+lt。

圖2 毛管孔隙網(wǎng)絡(luò)(a)及基本孔隙單元(b)示意圖

根據(jù)式(7)～式(9)，本文孔隙毛管模型的巖心宏觀物性參數(shù)可表示為

(10)

(11)

(12)

式中：令x=dp/dt和y=lp/lt，目的是簡化表達(dá)式；等效毛管半徑re可表示為

(13)

上述巖心宏觀物性參數(shù)真實值可由實驗測量獲取，對于均勻介質(zhì)，x≈y。此外，基于巖心宏觀物性參數(shù)測量結(jié)果，可以確定式(10)～式(12)中的其他參數(shù)

(14)

(15)

確定了所有參數(shù)后，即可建立本文孔隙毛管模型。該孔隙毛管模型不僅可以研究傳統(tǒng)的宏觀物性參數(shù)與微觀幾何參數(shù)的關(guān)系，還可為儲層巖石頻率域激發(fā)極化數(shù)據(jù)的定量解釋提供理論模型。

2 油氣儲層頻率域激發(fā)極化效應(yīng)評價模型

在巖石頻率域激發(fā)極化測量中，巖石的宏觀電性特征源于骨架和孔隙流體兩部分的貢獻(xiàn)。為了評價頻率域激發(fā)極化效應(yīng)對巖石電頻散或者介電頻散的影響，需構(gòu)建油氣儲層頻率域激發(fā)極化效應(yīng)評價模型。在評價頻率域激發(fā)極化效應(yīng)的眾多模型中，等效電路模型通常將巖石骨架及孔隙流體分別等效為電路中的電阻或電容等電子元器件，這類模型已廣泛應(yīng)用于評價頻率域巖石激發(fā)極化效應(yīng)。

2.1 傳統(tǒng)Cole-Cole模型

Cole-Cole模型是經(jīng)典Debye模型的擴(kuò)展模型，最初用于表征圖3a所示的含金屬礦物地層的介電特性[24]?；诖四Ｐ?，建立圖3b所示的Cole-Cole模型含金屬礦物巖石等效電路，其中(iωX)-c表征金屬顆粒和導(dǎo)電離子的復(fù)阻抗(X表示虛部阻抗值，c是頻率相關(guān)系數(shù))，R0表征允許傳導(dǎo)電流通過的連通孔隙通道的電阻，R1表征不連通孔隙中鹽溶液的電阻。

作為一種簡單的經(jīng)驗?zāi)Ｐ?，Cole-Cole模型已廣泛應(yīng)用于巖石、土壤等離子導(dǎo)電介質(zhì)的頻率域激發(fā)極化效應(yīng)的評價。盡管還有一些等效電路模型也具有類似的響應(yīng)特征，但是Cole-Cole模型可提供圖3所示的比較直觀的巖石孔隙結(jié)構(gòu)的類比關(guān)系，且模型參數(shù)較少(僅4個)，更適用于分析頻率域激發(fā)極化實測數(shù)據(jù)。盡管實際的巖石孔隙形態(tài)比Cole-Cole模型中的孔隙結(jié)構(gòu)復(fù)雜得多，但是大量的實際應(yīng)用結(jié)果表明，Cole-Cole模型足以表征頻率域激發(fā)極化數(shù)據(jù)的主要特征。描述巖石復(fù)電阻率頻率域激發(fā)極化特征時，Cole-Cole模型對應(yīng)的復(fù)電阻率表達(dá)式為

圖3 含金屬礦物巖石的Cole-Cole模型示意圖

(16)

式中：ρ0是直流電阻率；m=1-ρ∞/ρ0表示極化率，其中ρ∞是高頻電阻率；τ是弛豫時間。在應(yīng)用Cole-Cole模型評價巖石頻率域激發(fā)極化數(shù)據(jù)時，主要目標(biāo)是反演獲得上述模型參數(shù)(即ρ0、m、τ及c)，使Cole-Cole模型能較好地擬合實測數(shù)據(jù)[25]。

綜上所述，Cole-Cole模型可以很好地擬合巖石頻率域激發(fā)極化數(shù)據(jù)，模型參數(shù)也可用于巖石頻率域激發(fā)極化數(shù)據(jù)的宏觀屬性的定性解釋。但是，對于Cole-Cole模型，并不是所有的參數(shù)都具有明確的物理意義，因而Cole-Cole模型并不適合于巖石頻率域激發(fā)極化數(shù)據(jù)的定量分析。

2.2 基于毛管孔隙網(wǎng)絡(luò)的等效電路模型

為了對巖石頻率域激發(fā)極化數(shù)據(jù)進(jìn)行定量分析，本文基于圖2所示孔隙毛管模型建立一種等效電路模型，如圖4所示。在該等效電路模型中，巖石的激發(fā)極化特征主要來自孔隙流體的貢獻(xiàn)，圖2中每個孔隙單元可被等效為一個電阻Rwe與電容Ce并聯(lián)的電路單元，每條孔隙毛管束可以表示為多個電路單元的串聯(lián)，進(jìn)而整個巖石的等效電路則可表征為許多毛管束對應(yīng)的電路并聯(lián)的結(jié)果。

圖4 基于毛管孔隙網(wǎng)絡(luò)的等效電路模型示意圖

與傳統(tǒng)的Cole-Cole等效電路模型不同，圖4所示模型不僅考慮了孔隙流體的阻抗特征，也兼顧其容抗特征。根據(jù)界面極化微觀機(jī)理，該模型將連通孔隙空間(通常是喉道)中的流體電阻等效為Rwe，將未連通孔隙空間(通常是孔隙表面)中的流體電容等效為Ce。根據(jù)孔隙毛管模型中孔隙單元的幾何結(jié)構(gòu)，可計算出含油巖石孔隙單元連通孔隙空間流體的等效電阻為

(17)

式中：Sw是孔隙單元的含水飽和度；Ae是孔隙喉道截面積；ρw是孔隙流體電阻率。當(dāng)孔隙中含有油、水兩相流體時，不考慮極性分子的極化情況，孔隙流體電阻率可表示為[26]

(18)

式中：CNaCl是孔隙流體中NaCl溶液的礦化度；T是孔隙流體的溫度。

在巖石頻率域激發(fā)極化分析時，可將垂直于外電場方向的孔隙表面視為平行板電容，孔隙單元內(nèi)兩相流體的電容可表示為

(19)

式中εwater和εoil分別表示孔隙中鹽溶液和油的介電常數(shù)。

基于上述Rwe(式(17))和Ce(式(19))的表達(dá)式，單個孔隙單元的電阻抗Ze(ω)可表示為

(20)

對于由多個串聯(lián)孔隙單元組成的毛細(xì)管，可通過疊加得到總電阻抗。單條毛細(xì)管的總阻抗表達(dá)式為

Zle(ω)=neZe(ω)L

(21)

式中ne表示每條毛細(xì)管中的孔隙單元數(shù)。對于巖石樣品，孔隙網(wǎng)絡(luò)由若干相同的平行毛管組成，其總電阻抗可表示為

(22)

式中A為巖心樣品截面積。結(jié)合巖樣宏觀物性參數(shù)，主要受界面極化效應(yīng)影響的巖樣復(fù)電阻率的實部和虛部分別為[27]

(23)

(24)

式中Re(·)、Im(·)分別表示取實部和虛部。

為驗證式(23)和式(24)的準(zhǔn)確性，基于人造砂巖數(shù)據(jù)進(jìn)行了反演擬合，將反演結(jié)果與傳統(tǒng)Cole-Cole模型反演結(jié)果進(jìn)行對比。如圖5所示，基于傳統(tǒng)Cole-Cole模型和本文模型的反演結(jié)果與實測數(shù)據(jù)吻合較好，本文模型反演結(jié)果與傳統(tǒng)Cole-Cole模型反演結(jié)果相比存在一定的差異，這是由于本文模型是基于均一孔隙毛管模型建立的，與真實巖石孔隙結(jié)構(gòu)存在一定偏差，但二者均能較好地表征虛部電阻率實測數(shù)據(jù)頻散特征。同時，基于式(17)～式(24)，本文等效電路模型建立了含油巖石宏觀物性參數(shù)與微觀孔隙流體導(dǎo)電性質(zhì)和介電性質(zhì)之間的定量關(guān)系，這是其他傳統(tǒng)等效電路模型目前無法實現(xiàn)的。

圖5 人造砂巖不同導(dǎo)電模型電頻譜虛部反演結(jié)果對比

3 油氣儲層低頻界面極化效應(yīng)數(shù)值模擬及應(yīng)用

在界面極化所主導(dǎo)的電頻散頻率范圍內(nèi)，巖石復(fù)電阻率是與孔隙度φ、滲透率K、含水飽和度Sw、溫度T和流體礦化度Cw等因素相關(guān)的復(fù)雜函數(shù)。為定量分析這些因素對巖石低頻界面極化的影響，本文數(shù)值模擬所用巖心的長度L及直徑d分別為2in和1in，并假設(shè)巖石孔隙網(wǎng)絡(luò)由均勻毛管孔隙單元組成(即式(13)中x≈y)，分別對鹽水飽含巖石和含油巖石兩種情況進(jìn)行數(shù)值模擬和分析。

3.1 鹽水飽含巖石激發(fā)極化效應(yīng)

對于NaCl溶液完全飽和的巖心樣品，孔隙和喉道均被NaCl溶液充填，若不考慮骨架導(dǎo)電性的影響，巖石低頻界面極化效應(yīng)主要由孔隙中NaCl溶液的阻抗和電容特性決定。由式(11)可知，毛管孔隙模型孔隙度由孔喉尺寸及孔喉比λ共同決定。但是，當(dāng)巖石孔隙度變化時，難以同時表征孔喉尺寸和孔喉比的變化規(guī)律，本文主要研究孔喉比λ對巖石電頻散特征的影響。

圖6為不同孔喉比條件下的完全飽和NaCl溶液巖樣的虛部電頻譜曲線。設(shè)巖石平均孔喉半徑為10μm，巖心孔喉比λ的變化范圍為20～80。根據(jù)式(18)計算地層水電阻率ρw時，巖心孔隙中飽和NaCl溶液的溫度T和礦化度Cw分別為25℃和5000ppm。由圖6可見，在低頻范圍(1k～10M Hz)內(nèi)，虛部電阻率幅值隨孔喉比λ的增大而明顯增大，且虛部電阻率極小值的模值|ρi|對應(yīng)的特征頻率(即虛部電阻率極小值點對應(yīng)的頻率)隨孔喉比λ的增大明顯減小，與馬雪瑞等[28]關(guān)于不同孔隙度人造巖心電頻譜實測結(jié)果一致。

圖6 不同孔喉比λ飽和巖樣電頻譜虛部電阻率曲線

圖7為孔喉比λ與|ρi|的交會圖，可見|ρi|隨孔喉比λ的增大呈冪指數(shù)增大。

圖7 虛部電阻率極小值模值|ρi|與孔喉比λ相關(guān)曲線

對于飽和樣品，本文除考慮孔喉比的影響，還模擬了NaCl溶液礦化度Cw對低頻界面極化的影響。圖8為不同Cw條件下完全飽和NaCl溶液巖樣虛部電頻譜曲線。假設(shè)巖心孔隙飽和NaCl溶液的礦化度Cw分別為2000、4000、6000、8000ppm，平均喉道直徑為10μm，孔喉比λ為20，巖心孔隙度φ為0.1，巖心孔隙中飽和NaCl溶液溫度T為25℃。根據(jù)式(18)可計算地層水電阻率。從圖8可見，在低頻范圍(1k～10MHz)內(nèi)，虛部電阻率幅值隨NaCl溶液礦化度Cw的增大明顯減小，虛部電阻率極小值模值|ρi|對應(yīng)的特征頻率則隨著礦化度Cw的增大呈冪指數(shù)增大。

圖8 不同NaCl溶液礦化度Cw飽和巖樣電頻譜虛部電阻率曲線

圖9為NaCl溶液礦化度CW與|ρi|的交會圖。由圖可見，|ρi|隨CW的增大呈冪指數(shù)減小。

圖9 虛部電阻率極小值模值|ρi|與NaCl溶液礦化度Cw交會圖

本文模型數(shù)值模擬結(jié)果表明，虛部電阻率模值與實部電阻率一樣，可用于評價礦化度對巖石導(dǎo)電性的影響，這一結(jié)論與Niu等[29]關(guān)于人造砂巖樣品的電頻譜測量結(jié)果一致，且該文獻(xiàn)中得到的電阻率虛部與礦化度的擬合關(guān)系式與本文結(jié)果基本一致。

3.2 含油巖石激發(fā)極化效應(yīng)

對于含油巖石樣品，其孔隙空間常同時存在多相流體?？紫读黧w的飽和度，尤其是鹽水含水飽和度會直接影響巖石的導(dǎo)電特性。圖10所示為部分飽和相同礦化度NaCl溶液的含油巖樣虛部電頻譜曲線，其中巖心含水飽和度Sw分別取值0.2、0.4、0.6、0.8，地層流體礦化度Cw為1000ppm，平均喉道直徑dt為10μm，孔喉比λ為40，儲層溫度T為25℃。

圖10 不同含水飽和度Sw巖樣電頻譜虛部曲線

由圖可見，虛部電阻率極小值模值|ρi|隨地層水含水飽和度Sw的增大明顯減小，且|ρi|對應(yīng)的特征頻率隨著含水飽和度Sw的增大明顯增大。

圖11為含水飽和度與虛部電阻率極小值模值|ρi|的交會圖?？梢妡ρi|隨含水飽和度Sw增大呈冪指數(shù)減小，表明利用低頻界面極化效應(yīng)評價儲層含油飽和度是可行的，文獻(xiàn)[30]中關(guān)于含油砂巖、碳酸鹽巖樣品的電頻譜實驗結(jié)果也證明了這一結(jié)論。另外，Schmutz等[31]的實際測量結(jié)果也驗證了圖中的擬合趨勢。

圖11 虛部電阻率極小值模值|ρi|與含水飽和度Sw交會圖

4 結(jié)論

基于巖石孔隙毛管模型，本文建立了巖石微觀孔隙流體導(dǎo)電特性及介電特性與電子元器件之間的等效關(guān)系，從而構(gòu)建了一種評價巖石低頻界面極化效應(yīng)的等效電路模型。相對于傳統(tǒng)的等效電路模型，該等效電路模型參數(shù)具有更加明確的物理含義，引入低頻界面極化效應(yīng)的機(jī)理更加清晰，并首次建立了等效電路與巖石宏觀物性參數(shù)間的定量關(guān)系，為定量分析巖石低頻界面極化效應(yīng)奠定了理論基礎(chǔ)。

利用本文所構(gòu)建等效電路模型，開展了巖石低頻界面極化效應(yīng)微觀機(jī)理研究，對鹽水飽和巖樣及含油巖樣低頻界面極化效應(yīng)的各項影響因素進(jìn)行了數(shù)值模擬。模擬結(jié)果表明，隨著孔喉比的增大、孔隙流體礦化度的減小及含油飽和度的增大，巖石虛部電阻率幅度值增大，界面極化效應(yīng)影響更大；反之，則巖石虛部電阻率幅度值減小，界面極化效應(yīng)影響更小。

為了定量評價各項因素對巖石低頻界面極化效應(yīng)的影響，本文引入虛部電阻率極小值模值|ρi|對各項影響因素進(jìn)行了回歸分析。結(jié)果表明，在雙對數(shù)坐標(biāo)系下，|ρi|與孔喉比λ、礦化度Cw及含水飽和度Sw均呈冪指數(shù)關(guān)系，且|ρi|隨λ的增大而增大，隨Cw或Sw的增大而減小。

本文數(shù)值模擬結(jié)果為利用巖石低頻界面極化效應(yīng)微觀機(jī)理研究和儲層含油氣性定量評價提供了理論基礎(chǔ)和模型基礎(chǔ)。然而，由于本文模型的孔隙結(jié)構(gòu)均一，且未考慮巖石骨架導(dǎo)電性的影響，該模型的應(yīng)用效果還需要進(jìn)一步的研究和論證。