基于Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的磁浮列車懸浮系統(tǒng)本征非線性特性辨識(shí)*

宋一鋒 倪 菲 林國(guó)斌 陳 琛 劉永紅 陶清寶

(1.同濟(jì)大學(xué)道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 201804, 上海； 2.同濟(jì)大學(xué)磁浮交通工程技術(shù)研究中心,201804, 上海； 3.茂盟工程技術(shù)股份有限公司, 203201, 上?！蔚谝蛔髡撸?碩士研究生)

如何保證磁浮列車在運(yùn)行狀態(tài)下的穩(wěn)定性，是控制領(lǐng)域以及動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。一些學(xué)者對(duì)此展開了深入研究，在模型修正、動(dòng)力學(xué)響應(yīng)和控制算法等方面均取得了許多成果。

在模型修正方面，目前最為普遍的做法是將系統(tǒng)非線性項(xiàng)在平衡點(diǎn)處進(jìn)行泰勒展開，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)線性控制算法，但線性化處理使得模型丟失非線性項(xiàng)特性。此種情況下設(shè)計(jì)的控制算法，只能保證系統(tǒng)懸浮間隙在誤差很小時(shí)快速收斂，當(dāng)懸浮誤差較大時(shí)，系統(tǒng)就極有可能發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象[1-3]。然而，實(shí)際物理系統(tǒng)均不可能是線性系統(tǒng)，因此相關(guān)學(xué)者通過(guò)非線性模型以及系統(tǒng)辨識(shí)來(lái)進(jìn)一步靠近真實(shí)模型，以求能貼近真實(shí)情況，從而提高控制性能。文獻(xiàn)[4]指出在線性化處理非線性模型時(shí)，會(huì)在一定程度上忽略某些非線性特征，從而產(chǎn)生系統(tǒng)偏差。文獻(xiàn)[5]在研究PID(比例-積分-微分)控制時(shí)，提出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可以用于優(yōu)化多變量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而進(jìn)行非線性系統(tǒng)辨識(shí)，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這一觀點(diǎn)。文獻(xiàn)[6]分析了均值定理對(duì)局部動(dòng)態(tài)線性化的作用，并結(jié)合回歸學(xué)習(xí)控制理論對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行了建模和辨識(shí)。

由于磁浮列車在運(yùn)行過(guò)程中，懸浮間隙僅為毫米級(jí)別，因此在非線性負(fù)載以及軌道微量變形的激勵(lì)下，極易導(dǎo)致列車的失穩(wěn)現(xiàn)象。在控制算法和動(dòng)力學(xué)響應(yīng)方面，文獻(xiàn)[7]提出了一種磁浮列車懸浮系統(tǒng)的模糊系統(tǒng)和參數(shù)辨識(shí)算法，通過(guò)該算法辨識(shí)隸屬函數(shù)的參數(shù)，便于快速響應(yīng)系統(tǒng)變化。文獻(xiàn)[8]建立了基于柔性軌道的車-軌耦合模型，將軌道視為簡(jiǎn)支梁，設(shè)計(jì)了基于RBF(徑向基函數(shù))網(wǎng)絡(luò)逼近原理的滑模自適應(yīng)控制器，用以提高系統(tǒng)控制性能。文獻(xiàn)[9]引入粘彈性模型來(lái)描述動(dòng)態(tài)力，基于高溫超導(dǎo)磁懸浮系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)，采用最小二乘法辨識(shí)模型中的參數(shù)，用以更好地反映高溫超導(dǎo)磁懸浮系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。文獻(xiàn)[10]分析了磁浮列車運(yùn)行過(guò)程中的車輛隨機(jī)振動(dòng)的激勵(lì)源，采用偽激勵(lì)法對(duì)激勵(lì)計(jì)算量進(jìn)行了有效簡(jiǎn)化。

本文建立了基于柔性軌道的磁浮車-軌耦合系統(tǒng)模型，并分析Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的相關(guān)性理論。由于車-軌耦合動(dòng)力學(xué)模型在輸入、輸出的映射關(guān)系上表現(xiàn)為本征非線性，且在時(shí)域上可以假設(shè)為均勻采樣，因此通過(guò)對(duì)所采集信號(hào)進(jìn)行誤差函數(shù)設(shè)計(jì)以及網(wǎng)絡(luò)信號(hào)分析，可獲取估計(jì)結(jié)果。為了提高模型精度并降低復(fù)雜度，采用參數(shù)辨識(shí)誤差函數(shù)和Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的標(biāo)準(zhǔn)能量函數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)，給出辨識(shí)表達(dá)式以及含參非線性項(xiàng)的相應(yīng)辨識(shí)結(jié)果。由于辨識(shí)得到的模型相對(duì)非線性模型更為簡(jiǎn)單，且能夠最大程度地保留系統(tǒng)的非線性特征，因此對(duì)于磁浮列車懸浮系統(tǒng)的懸浮穩(wěn)定性分析具有重要意義。

1 基于柔性軌道的車-軌耦合模型構(gòu)造

1.1 軌道結(jié)構(gòu)豎向運(yùn)動(dòng)模型

為進(jìn)行相應(yīng)的模型辨識(shí)，建立基于柔性軌道的單點(diǎn)懸浮控制模型，如圖1所示。其中，xc為當(dāng)前懸浮間隙，xm為電磁鐵豎向位移，xg為軌道豎向位移，m為恒定負(fù)載質(zhì)量，F(xiàn)L為電磁鐵產(chǎn)生的懸浮力，i為懸浮電流，N為電磁鐵線圈匝數(shù)，A為電磁鐵磁極面積，μ0為真空磁導(dǎo)率，R為電磁鐵繞組電阻，O定義為笛卡爾坐標(biāo)系原點(diǎn)。

由圖1可知，由于磁浮列車運(yùn)行軌道的支撐方式采用高架梁，可將其簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁進(jìn)行分析，因此，梁上任意一點(diǎn)的豎向位移xg都滿足歐拉梁的相關(guān)動(dòng)力學(xué)方程[11-12]：

kgxg=p(y,t)

(1)

式中：

E——軌道梁的彈性模量；

I——梁的截面慣量；

T——梁變形時(shí)產(chǎn)生的張力；

ρ——梁的質(zhì)量線密度；

kg——軌道梁產(chǎn)生彈性變形時(shí)的彈性常數(shù)；

p(y,t)——車輛通過(guò)時(shí)在軌道梁上的質(zhì)量分布密度；

t——時(shí)間;

y——電磁鐵質(zhì)心在OY方向上的位移。

設(shè)軌道梁跨度為l，則梁的質(zhì)量M為：

M=ρl

(2)

由于磁浮列車豎向振動(dòng)的最大振幅所對(duì)應(yīng)的頻率主要分布在固定范圍內(nèi)，且軌道結(jié)構(gòu)相對(duì)固定，這種情況可以看作軌道的一階振動(dòng)頻率[13]。

因此，可得到1階模態(tài)下柔性軌道豎向位移的數(shù)學(xué)模型[14]為：

(3)

式中：

q1(t)——軌道梁一階模態(tài)對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)；

η1——1階模態(tài)的阻尼比。

1.2 懸浮電磁鐵豎向運(yùn)動(dòng)模型

在柔性軌道的作用下，懸浮間隙由電磁鐵豎向位移和軌道豎向位移共同決定。因此懸浮間隙xc滿足如下關(guān)系：

xc=xm-xg

(4)

電磁鐵產(chǎn)生的懸浮力可以表示為：

(5)

根據(jù)牛頓第二定律以及圖1所示的力的作用原理，可以得到：

(6)

在平衡點(diǎn)(i0,x0)處，電磁力和重力正好等價(jià)反向，合力為0，有：

(7)

根據(jù)電學(xué)方程的相關(guān)推導(dǎo)[10]，可以得到相應(yīng)電壓u方程：

(8)

1.3 車-軌耦合系統(tǒng)豎向運(yùn)動(dòng)模型

結(jié)合上述軌道結(jié)構(gòu)豎向運(yùn)動(dòng)模型以及電磁鐵豎向運(yùn)動(dòng)模型，可得到基于柔性軌道的一階振型的車-軌耦合模型：

(9)

式中：

(2/M)sin2((πy0)/l)——量綱一化振型函數(shù)在該位置幅值的平方。

(10)

2 辨識(shí)模型方案設(shè)計(jì)

2.1 Hopfield網(wǎng)絡(luò)在柔性軌道的磁浮車-軌耦合系統(tǒng)的應(yīng)用原理

Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型本質(zhì)上是一種反饋型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。它由一系列互聯(lián)的神經(jīng)單元構(gòu)成，以電學(xué)思路分析其結(jié)構(gòu)，可通過(guò)圖2進(jìn)行相應(yīng)描述。

圖2中，ui為第i個(gè)神經(jīng)元的狀態(tài)輸入，Hi為第i個(gè)神經(jīng)元輸入，vi為第i個(gè)神經(jīng)元輸出，wij為第i個(gè)神經(jīng)元到第j個(gè)神經(jīng)元的連接權(quán)值。此外，vi和ui之間存在非線性關(guān)系。

選取雙曲函數(shù)g(x)描述vi和ui之間的非線性函數(shù)關(guān)系，即：

(11)

vi=g(ui)

(12)

式中：

φ、λ——神經(jīng)元函數(shù)影響因子，取值均大于0。

對(duì)于基于柔性軌道的車-軌耦合系統(tǒng)而言，需要在狀態(tài)空間內(nèi)討論Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)特性，因此根據(jù)式(10)定義如下變量：

根據(jù)上述變量以及Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)特性定義能量函數(shù)來(lái)描述其動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性：

(13)

式中：

Ri——神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入端電路電阻值；

bj——神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)偏置，通常為常數(shù)。

定義W為權(quán)值矩陣，當(dāng)其為對(duì)稱矩陣時(shí)，對(duì)能量函數(shù)求導(dǎo)滿足如下關(guān)系：

(14)

根據(jù)式(14)可以得到：

(15)

其中，Δ為極小正數(shù)，式(14)可描述為：

(16)

其中，vi=g(ui)，即可得到：

(17)

由于Ci為大于0的常數(shù)，且雙曲函數(shù)單調(diào)遞增，g-1(vi)>0恒成立，此時(shí)可以判斷EN具有負(fù)梯度，此外，當(dāng)且僅當(dāng)dvi/dt=0時(shí)，存在dEN/dt=0。因此可以判斷隨著t的增加，Hopfield網(wǎng)絡(luò)在空間中的解向著負(fù)梯度方向運(yùn)動(dòng)，最終輸出的V為平衡點(diǎn)，此時(shí)EN達(dá)到最小值。

2.2 誤差函數(shù)設(shè)計(jì)

(18)

式(18)中：z和u線性無(wú)關(guān)，同時(shí)由于zp為z的辨識(shí)輸出，因此zp和u同樣滿足線性無(wú)關(guān)。

(19)

將式(18)代入式(19)可以得到：

(Az-Fzp+(B-G)u)

(20)

為了重點(diǎn)分析z和zp之間的擬合關(guān)系，而G→B，并且z和zp輸出為10-3級(jí)及更小，對(duì)其矩陣進(jìn)行裝置相乘后可視為0。

uT(B-G)TFzp)

(21)

2.3 Hopfield網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)

Hopfield網(wǎng)絡(luò)能量函數(shù)趨于極小的過(guò)程，就是估計(jì)矩陣G和F收斂于實(shí)際矩陣A和B的過(guò)程。

第i個(gè)神經(jīng)元的動(dòng)態(tài)微分方程為：

(22)

其中，g(ui)可以采用式(11)進(jìn)行相關(guān)描述。

Hopfield網(wǎng)絡(luò)的標(biāo)準(zhǔn)能量函數(shù)為：

(23)

式(23)中，Ri→∞，因此可以簡(jiǎn)化為：

(24)

對(duì)比式(21)和式(24)，并且將式(10)代入進(jìn)行計(jì)算可以得到相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)權(quán)值矩陣W。將其代入式(22)即可得到穩(wěn)定的ui，通過(guò)式(11)可以得到最終辨識(shí)結(jié)果輸出為：

V=g(u)

(25)

3 數(shù)值仿真分析

對(duì)式(10)所示系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)，該系統(tǒng)狀態(tài)方程如式(10)所示。

根據(jù)式(10)定義系數(shù)矩陣：

(26)

系數(shù)矩陣中各個(gè)元素如表1所示。

表1 系數(shù)矩陣中元素與變量對(duì)應(yīng)關(guān)系

為了貼合實(shí)際磁浮車輛，本文采用低速磁浮車輛系統(tǒng)的真實(shí)參數(shù)進(jìn)行數(shù)值仿真。柔性軌道情況下的車-軌耦合物理參數(shù)見(jiàn)表2。

表2 柔性軌道情況下的車-軌耦合物理參數(shù)

對(duì)式(26)中各個(gè)元素在平衡點(diǎn)處進(jìn)行局部線性化，并代入數(shù)據(jù)可以得到：

A=

(27)

而系數(shù)矩陣中存在非線性項(xiàng)，且由z1,z3,z5狀態(tài)變量構(gòu)成，三者均為時(shí)變函數(shù)，因此A和B均可以看作時(shí)變系數(shù)矩陣。此時(shí)為便于分析，假定給予輸入信號(hào)為正弦信號(hào)，并且設(shè)辨識(shí)結(jié)果V為：

V=[a11a12…a54a55b11…b15]

(28)

對(duì)比式(21)和式(24)，可以得到式(10)所示系統(tǒng)適用的網(wǎng)絡(luò)權(quán)值。取雙曲函數(shù)相關(guān)參數(shù)ρ=800，λ=5，表1中各個(gè)參數(shù)的辨識(shí)結(jié)果及辨識(shí)誤差如圖3—圖8所示。其中：部分圖中的分圖展示了辨識(shí)結(jié)果達(dá)到穩(wěn)態(tài)后的波動(dòng)細(xì)節(jié)，水平線代表非線性項(xiàng)計(jì)算結(jié)果，波動(dòng)曲線代表基于Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果，辨識(shí)誤差指二者的偏差。

由圖3—圖8可看到，由于含參非線性項(xiàng)的存在，無(wú)法完全擬合線性化后的狀態(tài)方程，此時(shí)可將辨識(shí)誤差表征為非線性項(xiàng)在各個(gè)參數(shù)中的影響。如圖3所示，辨識(shí)所得到的系統(tǒng)參數(shù)在5 s左右趨于平穩(wěn)，此時(shí)辨識(shí)結(jié)果在[1.26,1.29]內(nèi)波動(dòng)，并且處于逐步減小的趨勢(shì)。而參數(shù)最小的非線性項(xiàng)a45始終處于相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)，非線性項(xiàng)僅僅會(huì)在某幾個(gè)時(shí)刻產(chǎn)生突變干擾，但不會(huì)影響到懸浮系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。而對(duì)于a43而言，此時(shí)含參非線性項(xiàng)的常系數(shù)最大，辨識(shí)需要的時(shí)間最長(zhǎng)，可表征為非線性項(xiàng)對(duì)該參數(shù)的影響最為明顯，但是在70 s左右，逐步穩(wěn)定，可以表征為通過(guò)辨識(shí)逐步縮小了非線性項(xiàng)在系統(tǒng)中的影響。根據(jù)上述辨識(shí)結(jié)果可以采用一定控制算法進(jìn)行驗(yàn)證，當(dāng)系統(tǒng)輸入為9 mm的期望懸浮間隙、16 mm的初始狀態(tài)懸浮間隙時(shí)，采用滑?？刂频玫饺鐖D9所示的懸浮間隙結(jié)果。

由于本文主要內(nèi)容為基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造逼近模型用于替代原本動(dòng)力學(xué)模型，因此采用較為簡(jiǎn)單的控制即可驗(yàn)證模型效果。由圖9還可看到，采用本文所辨識(shí)得到的系統(tǒng)參數(shù)同樣可達(dá)到穩(wěn)定的期望懸浮間隙(9 mm)。與此同時(shí)，在圖3—圖8中，通過(guò)對(duì)比計(jì)算結(jié)果可看出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)結(jié)果收斂在線性化計(jì)算結(jié)果的很小范圍內(nèi)，由此證明了辨識(shí)結(jié)果可信。

4 結(jié)語(yǔ)

磁懸浮列車在柔性軌道上運(yùn)行時(shí)，在受到軌道隨機(jī)激勵(lì)的情況下會(huì)出現(xiàn)明顯振動(dòng)現(xiàn)象。對(duì)動(dòng)力學(xué)方程線性化處理的過(guò)程可明顯降低分析難度，但同時(shí)也會(huì)丟失分析中某些重要的非線性特征，因此，采用系統(tǒng)辨識(shí)的思路避免了線性化處理，對(duì)含參非線性項(xiàng)進(jìn)行辨識(shí)對(duì)于分析磁懸浮列車系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為具有重要意義。

1) 本文建立了基于柔性軌道的非線性動(dòng)力學(xué)方程，并指出了其中的含參非線性項(xiàng)。

2) 針對(duì)Hopfield設(shè)計(jì)了辨識(shí)誤差函數(shù)。在適當(dāng)化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上得到狀態(tài)誤差變化率的相關(guān)函數(shù)。此外，設(shè)計(jì)了相應(yīng)的Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)方案，得到了最終辨識(shí)結(jié)果具備的輸出表達(dá)式。

3) 通過(guò)數(shù)值仿真的方式給出了辨識(shí)結(jié)果，證明了在假定輸入信號(hào)為正弦函數(shù)時(shí)本文所設(shè)計(jì)辨識(shí)方案的辨識(shí)性能?？梢耘袛喈?dāng)含參非線性項(xiàng)中常系數(shù)較大時(shí)，辨識(shí)過(guò)程更長(zhǎng)，非線性項(xiàng)作用更為明顯。a53需要65 s才能達(dá)到需要的辨識(shí)結(jié)果，而a43需要150 s才能達(dá)到要求。相反，a45在開始辨識(shí)時(shí)即能保證較為穩(wěn)定的輸出結(jié)果，在4.4 s達(dá)到的5×10-3的突變信號(hào)可通過(guò)濾波進(jìn)行有效解決。

4) 所辨識(shí)模型相對(duì)非線性模型更為簡(jiǎn)單，并且最大程度地保留非線性特征，便于基于模型的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)和控制算法的研究分析。但通過(guò)仿真發(fā)現(xiàn)辨識(shí)時(shí)間較長(zhǎng)，可以在系統(tǒng)離線時(shí)進(jìn)行辨識(shí)，在系統(tǒng)上線之后采用相應(yīng)的辨識(shí)結(jié)果。

此外，文中基于柔性軌道建立的車-軌耦合系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程以及辨識(shí)方案對(duì)于分析磁浮列車車-軌之間的控制性能具有指導(dǎo)意義。在實(shí)際應(yīng)用中，非線性項(xiàng)不可避免，因此研究它們可能帶來(lái)的非線性辨識(shí)問(wèn)題對(duì)于修正動(dòng)力學(xué)模型具有現(xiàn)實(shí)意義。