減少圓錐曲線運算量的齊次化策略研究

王鵬程

(山西省陽泉市教學(xué)研究中心 045000)

在解圓錐曲線解答題時，基礎(chǔ)的操作是直線和曲線聯(lián)立，然后 “設(shè)而不求”用韋達定理計算.很多學(xué)生解題時，不管什么題目，都是一個解題套路，遇到常規(guī)題型還能得幾分，如果運算量大一點，聯(lián)立后就只能放棄了.有感于這一現(xiàn)狀，筆者歸納總結(jié)了一些解題策略，以期望能幫助學(xué)生減少解圓錐曲線解答題時的運算量，以此為著眼點，本文著重對齊次化策略進行研究.

所謂齊次化策略是指在直線與曲線聯(lián)立的過程中，構(gòu)造關(guān)于斜率的二次方程，直接利用韋達定理得到斜率之和(積)的關(guān)系式，從而減少運算量的解題策略.齊次化策略在處理一些與斜率之和(積)有關(guān)的問題，能極大地減少運算量.

1 齊次化策略的基本原理

2 齊次化策略的簡單應(yīng)用

下面以具體題目來說明齊次化策略在圓錐曲線解答題中的應(yīng)用：

常規(guī)思路設(shè)直線MN的方程是

y=kx+m，Mx1,y1,Nx2,y2，

4k2+3x2+8kmx+4m2-12=0.

整理，得m=k或m=2k.

MN的方程是：y=kx+k或y=kx+2k，

由題意可知MN不過A-2,0.

所以直線MN過點-1,0.

首先可以利用截距式設(shè)直線方程為mx+ny=1，因為不過點A-2,0，所以可設(shè)為mx+2+ny=1.然后轉(zhuǎn)化曲線的方程為

保留二次項不變，將一次項乘以直線方程的左邊，得

4k2-12nk+3-12m=0.

則直線方程為x+2+ny=1，可知恒過點-1,0.

明顯看出，采用齊次化的處理策略可以極大地減少運算量，其具體步驟可以概括為：先根據(jù)斜率的形式巧設(shè)直線的方程，然后對曲線的方程作變形，聯(lián)立將所有項都湊成二次項(齊次化)，再同除一個代數(shù)式構(gòu)造出關(guān)于斜率的二次方程，最后利用韋達定理求解即可.

再以一個題目為例，來進一步地說明齊次化的優(yōu)勢.

(1)求橢圓C的方程；

(2)常規(guī)解法如下：

因為∠PMQ的平分線垂直于AO，則直線PM,QM關(guān)于x=2對稱.

所以kPM+kQM=0.

設(shè)PQ:y=kx+m,Px1,y1,Qx2,y2

將直線PQ的方程代入x2+4y2=8,得

整理,得

2kx1x2+m-1-2kx1+x2-4m-1=0.

代入，化簡,得2k-12k-1+m=0.

因為PQ不經(jīng)過2,1, 所以2k+m≠1.

所以2k-1=0.

同樣，常規(guī)解法思路簡單，但是在得出2k-12k-1+m=0這一步時大部分學(xué)生很難完成， 采用齊次化策略求解，具體步驟如下：

解析因為∠PMQ的平分線垂直于AO，則直線PM,QM關(guān)于x=2對稱.

所以kPM+kQM=0.

設(shè)Px1,y1,Qx2,y2，則

根據(jù)題意，PQ直線不經(jīng)過點M,設(shè)其方程為mx-2+ny-1=1.

將橢圓C的方程整理,得

將直線的方程代入，得

8n+4k2+8m+4nk+4m+1=0.

解得n=-2m.

所以PQ直線方程為mx-2-2my-1=1.

3 齊次化策略在高考中的應(yīng)用

在最近幾年的高考題中，有很多考題可以采用齊次化策略求解，如2017年新課標Ⅰ卷(理)，2018年新課標Ⅰ卷(理)， 2020年新高考(山東)卷，2020年新課標Ⅰ卷(理)等.接下來以2020年新課標Ⅰ卷(理)21題為例，進一步來說明齊次化策略在應(yīng)試時的優(yōu)勢.

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點.

(2)常規(guī)思路如下：

設(shè)P6,y0，則直線AP的方程為

聯(lián)立直線AP的方程與橢圓方程得

所以直線CD的方程為

整理,得

整理,得

可以明顯感覺到上述過程的復(fù)雜性，利用齊次化策略求解，其步驟如下：

由題意可知A-3,0，A3,0，設(shè)P6,y0，則

所以kPB=3kPA.即kDB=3kCA.

設(shè)Cx1,y1，Dx2,y2,則

設(shè)CD的方程為mx-3+ny=1，

代入直線的方程，得

9k2+6nk+6m+1=0.

4 對齊次化策略的思考

本文齊次化的解題核心是依據(jù)斜率的形式對圓錐曲線方程變形，構(gòu)造出齊次式，從而得到斜率的二次方程，這一步驟也可以通過平移圓錐曲線來實現(xiàn).由于教材中圓錐曲線的方程都是標準方程，所以在實際教學(xué)中感覺學(xué)生對平移圓錐曲線不好理解，故沒有按照這個方法解題，讀者可以根據(jù)自己的理解擇優(yōu)選擇.

齊次化策略不是一個普適性的解題方法，只適用于與斜率之和(積)有關(guān)的一類問題，但是不能因此就舍棄這一好的方法，也有很多只能解決一類問題的巧妙方法，如 “點差法”等，這些技巧也值得學(xué)生掌握.

教學(xué)中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生感覺對曲線變形的步驟似乎在“化簡為繁”，因而不愿意接受齊次化策略.應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生認識到“化簡為繁”的目的是為了后續(xù)的計算變得簡單，這一變化看起來復(fù)雜，但是經(jīng)過簡單的練習很快就能掌握.客觀地說，齊次化策略也有一些不足之處，比如在需要計算判別式時運算量反而會增加，因此在解題時需要根據(jù)具體問題來進行選擇.