解決高中物理極值問題常見的幾種函數(shù)思想

陳慶濤

(甘肅省慶陽一中 745000)

1 一元二次函數(shù)求解極值問題

例1如圖1所示，一帶電微粒以豎直向上的初速度v0從A點(diǎn)射入一水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，微粒的電荷量為q=-2×10-8C、質(zhì)量為m=1×10-6kg，當(dāng)微粒運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)速度方向水平向左、大小也是v0，B點(diǎn)比A點(diǎn)高h(yuǎn)=20cm，且B、A兩點(diǎn)的連線與水平方向間的夾角為45°，g=10m/s2， 求：

(1)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E的大??；

(2)該微粒初速度v0多大；

(3)該過程中帶電微粒的最小速度為多少.

圖1

解得：UAB=-100V

由于A、B兩點(diǎn)的連線與水平方向的夾角為45°，所以A、B兩點(diǎn)沿著電場(chǎng)線方向上的距離為:d=h

(3)帶電微粒從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程中，在水平方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則：v0=a水平tAB

在豎直方向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，則：v0=gtAB

則：a水平=g

在豎直方向上，設(shè)經(jīng)時(shí)間t微粒的速度為vy，則：vy=v0-gt

在水平方向上，設(shè)經(jīng)時(shí)間t微粒的速度為vx，則：vx=gt

例2如圖2所示，內(nèi)壁光滑的四分之一細(xì)圓弧彎管與一可伸縮的豎直光滑細(xì)管平滑連接，細(xì)管的下端固定在水平地面上，整個(gè)裝置處在豎直平面內(nèi)，細(xì)圓弧的右管口切線水平.豎直細(xì)管底部有一高度可忽略不計(jì)的彈射裝置，該彈射裝置可以讓視為質(zhì)點(diǎn)的小球從細(xì)管底部瞬間獲得足夠大的速度v0，通過調(diào)節(jié)豎直細(xì)管的長(zhǎng)度，可以改變小球到達(dá)四分之一細(xì)圓弧彎管口的速度，從而改變小球做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移x，重力加速度為g，則小球做平拋運(yùn)動(dòng)的水平距離x的最大值是( ).

圖2

答案：B

2 三角函數(shù)知識(shí)求解極值問題

例3如圖3所示，斜面體的傾角為θ，質(zhì)量為M.若將一質(zhì)量為m的小物塊放在斜面體上時(shí)，小物塊恰好能沿斜面勻速下滑，這一過程中斜面體保持靜止.現(xiàn)用如圖3所示的力F拉著小物塊，使小物塊沿斜面勻速上升，力F與斜面體間的夾角為α，這一過程中斜面體也保持靜止.

(1)當(dāng)α為多大時(shí)力F有最小值，力F的最小值多大？

(2)當(dāng)α=θ時(shí)，水平面對(duì)斜面體的靜摩擦力多大？

圖3

解析(1)小物塊在斜面上勻速下滑時(shí)，有：mgsinθ=μmgcosθ

解得：μ=tanθ

小物塊在力F的作用下沿斜面向上勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，有：

沿斜面方向上：Fcosα=mgsinθ+Ff

垂直于斜面方向上：Fsinα+FN=mgcosθ

又因?yàn)椋篎f=μFN

解得：

由數(shù)學(xué)三角函數(shù)的知識(shí)得：

所以，當(dāng)α=θ時(shí)，F(xiàn)有最小值Fmin，最小值為：Fmin=mgsin2θ

(2)由于斜面體和物塊均處于平衡狀態(tài)，取斜面體和物塊組成的整體為研究對(duì)象，對(duì)

整體進(jìn)行受力分析，在水平方向上由二力平衡得：

Ff=Fcos(α+θ)

當(dāng)α=θ時(shí)，由(1)問知F=mgsin2θ

例4如圖4所示，傾角為37°的斜面足夠長(zhǎng)，a點(diǎn)位于斜面b點(diǎn)的正上方2.5m處，現(xiàn)以v0=2m/s的速率拋出一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，小球初速度的方向不定，小球運(yùn)動(dòng)的軌跡與abO處在同一豎直平面內(nèi)，取g=10m/s2,sin37°=0.6.則小球落回斜面的最長(zhǎng)時(shí)間為( ).

圖4

A．1.5s B．1s C．0.5s D．2s

答案：B

3 基本不等式知識(shí)求解極值問題

例5如圖5所示，已知電源的電動(dòng)勢(shì)E=6V，電流表A可視為理想電流表，變阻器R可調(diào)的范圍為0～10Ω，定值電阻R0=4Ω.將開關(guān)S閉合，變阻器的阻值調(diào)至R=3Ω時(shí)，電流表的示數(shù)I=0.5A.求:

(1)電源的內(nèi)阻r；

(2)當(dāng)變阻器R多大時(shí)，電源的輸出功率最大？最大值Pmax是多少？

圖5

解得：r=5Ω

電源的輸出功率為:

P=I2(R+R0)

所以，當(dāng)R=1Ω時(shí)，電源的輸出功率有最大值Pmax，最大值為：

例6如圖6所示，OB是一水平地面，OA是一豎直線，A點(diǎn)距離點(diǎn)O的高度h可調(diào)節(jié)，O點(diǎn)與B點(diǎn)間的距離為x.先將一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球從A點(diǎn)以合適的速度水平拋出，小球每次都能擊中水平面上的B點(diǎn).空氣阻力不計(jì)，則( ).

圖6

B．h越大，小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能越大

C．小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能最小值為mgx

D．h越大，小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)重力的瞬時(shí)功率越大

答案：CD

上述三種方法是高中物理中求極值最重要的方法，也是最常見的方法.高中物理中的極值問題靈活多變，要讓學(xué)生徹底掌握此種方法，需要平時(shí)學(xué)生多練相關(guān)題目，在此基礎(chǔ)上學(xué)生才能感悟、積累、歸納極值問題，最終實(shí)現(xiàn)靈活運(yùn)用此方法的目的.