彭光焰
(湖北省廣水市第一高級中學 432700)
課本是幾代人集體智慧的結晶,它具備相當完備的知識體系和能力架構系統(tǒng),其中的例題和習題是學生解題能力的核心生長點,有些典型例習題由于其自身所蘊含的數(shù)學概念、數(shù)學思想、數(shù)學方法非常突出.因此,在教學中利用好典型例習題,不僅可以在教學中強化基本概念和定義,還可以引導學生重視并運用定義解題,同時引導學生對課本的例題、習題進行多解、變式、遷移、整合、拓展.因此,在教學中要切實把握好概念教學,這樣既能提升學生運用數(shù)學概念分析問題和解決問題的能力,又能提升學生的數(shù)學素養(yǎng).
此題目是人教A版《普通高中課程標準實驗教科書 數(shù)學 選修 4-5》第35頁例2.
解法1 函數(shù)的定義域為1,5,且y>0,
此解法是人教A版選修4-5提供的.
分析2把函數(shù)轉化為關于x的一元二次方程f(x)=0.由于方程有實根,故判別式Δ≥0,求得原函數(shù)的值域.
所以y2-23x+15≥0.
由(y2-23x+15)2=100(x-1)(10-2x),得
729x2-(46y2+1890)x+(y4+30y2+1225)=0.
上述關于x的方程有實數(shù)根,
故Δ=(46y2+1890)2-4×729×(y4+30y2+1225)≥0.
即y4-108y2≤0,0 分析3 設y=f(x) 的導數(shù)為f′(x),可求得極值點.若函數(shù)定義域為a,b,則最值必定在極值點和區(qū)間端點中取得. 分析4利用三角恒等式sin2α+cos2α=1將所給函數(shù)轉化為值域容易確定的另一函數(shù),進而求得函數(shù)最值. 函數(shù)的定義域為x∈1,5, 以下同解法4. 令cos2θ=t,其中0≤t≤1. 分析5 由向量不等式ab≥a·b,可考慮用構造向量的方法進行求解. 分析6 方差公式在數(shù)學解題中有著極其廣闊的應用價值,充分利用方差S2非負性求函數(shù)最大值. 則y=25a+2b. 因為y=25a+2b, 分析7求形如y=f(x)+g(x)函數(shù)最值,可以把f(x),g(x)當作是變量,即令v=f(x),u=g(x),φ(u,v)=0一般表示一條曲線,則y可以當作是y=v+u的直線在縱軸上的截距,因此截距的最小值也即是函數(shù)的最值. 分析8用“拉格朗日乘數(shù)法”求函數(shù)f(u,v)在條件φ(u,v)=0下的最值,方法(步驟)是: (1)設拉格朗日函數(shù)l=f(u,v)+λφ(u,v),λ稱拉格朗日乘數(shù); (2)求l分別對u,v的偏導,得方程組,求出駐點P(u,v). 如果這個實際問題的最大或最小值存在,一般說來駐點唯一,于是最值可求. 設拉格朗日函數(shù)為 F(u,v)=f(u,v)+λg(u,v), 聯(lián)立,得 所以通過比較函數(shù)值可知 此時x=b或d. 由上面方法知, 由上面探討可知,柯西不等式法、向量法、方差法只能求出函數(shù)的最大值,其它7種方法不僅可以求出最大值,而且可以求出最小值. 在平時的習題教學中,我們?nèi)绻朴谶\用一題多解, 既發(fā)揮了例題的最大功效,拓寬了學生的學習視野,又培養(yǎng)了學生的綜合思維能力和創(chuàng)新能力,同時提高了學生的應試能力.2.3 利用導數(shù)求函數(shù)的最值
2.4 利用三角換元求函數(shù)的最值
2.5 構造向量求最值
2.6 利用方差求函數(shù)的最大值
2.7 構造直線截距式求函數(shù)的最值
2.8 利用拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)最值