多視角探究一道2022年?？碱}

賀鳳梅

(新疆維吾爾自治區(qū)伊犁州鞏留縣高級(jí)中學(xué) 835400)

高考和?？级冀?jīng)常針對(duì)圓錐曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性命題，既有大題也有小題，理論是相近的，但運(yùn)算卻有明顯差異.我們可以利用角平分線(xiàn)性質(zhì)、二倍角、到角等知識(shí)來(lái)解答，只有比較才能發(fā)現(xiàn)自己喜歡的簡(jiǎn)捷解法.下面以一道2022年模考題為例，展示解法，并推廣出一般情形.

1 呈現(xiàn)試題

(1)求C的方程；

(2)已知點(diǎn)F(1,0)，直線(xiàn)l:x=4與x軸交于點(diǎn)D，直線(xiàn)AM與l交于點(diǎn)N.是否存在常數(shù)λ，使得∠MFD=λ∠NFD？若存在，求λ的值；若不存在，說(shuō)明理由.

2 探究解法

解析幾何中有關(guān)角度問(wèn)題有很多解決策略，可以轉(zhuǎn)化為斜率來(lái)求解；如果涉及到求參數(shù)的值，突破策略是由特殊情況求解，求出參數(shù)的值，一般情況驗(yàn)證成立即可；如果是2倍角關(guān)系，可以采用角平分線(xiàn)的性質(zhì)、到角公式或正切的二倍角公式來(lái)求解；在具體的求解過(guò)程中，可以直接設(shè)直線(xiàn)的斜率，也可以借助于設(shè)其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)合直線(xiàn)和曲線(xiàn)方程來(lái)求解；還可以借助于圓錐曲線(xiàn)上的點(diǎn)，采用設(shè)而不求的方法解決.此類(lèi)題入口寬，多視角、多方法均可完成解答.

3 解答試題

第(2)問(wèn)，由(1)可知，F(xiàn)1(1,0)為其右焦點(diǎn).

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)點(diǎn)M在x軸上方，則點(diǎn)N也在x軸上方.

故∠MFD=2∠NFD，因此存在實(shí)數(shù)λ=2，使得∠MFD=λ∠NFD.

據(jù)此，可以猜測(cè)實(shí)數(shù)λ=2.以下進(jìn)行具體論證.

視角1 直接設(shè)AM的斜率求解.

(4k2+3)x2+16k2x+16k2-12=0.

在y=k(x+2)中，令x=4,得

y=6k，即N(4,6k).

所以直線(xiàn)MF:4kx+(4k2-1)y-4k=0.

點(diǎn)N(4,6k)到MF的距離

而點(diǎn)N到DF(即x軸)的距離為6k，

所以NF是∠MFD的角平分線(xiàn).

即∠MFD=2∠NFD.

因此存在實(shí)數(shù)λ=2，使得∠MFD=λ∠NFD.

評(píng)注此解法屬于常規(guī)解法，根據(jù)特殊位置的求解，猜測(cè)是二倍關(guān)系，所以考慮點(diǎn)N在∠MFD的角平分線(xiàn)上，通過(guò)上面的計(jì)算得到了驗(yàn)證.

解法2(借助正切二倍角公式)

由正切二倍角公式,得

所以tan∠MFD=tan2∠NFD.

結(jié)合圖形知，∠MFD，∠NFD均為銳角，

所以∠MFD=2∠NFD.

因此，存在實(shí)數(shù)λ=2，使得∠MFD=λ∠NFD.

評(píng)注由數(shù)形結(jié)合可知，兩角的其中一邊均為x軸的正半軸，所以滿(mǎn)足tan∠MFD=kMF，tan∠NFD=kNF，因此要找兩角的關(guān)系，可通過(guò)兩角的正切關(guān)系來(lái)判斷，進(jìn)一步通過(guò)對(duì)應(yīng)的斜率關(guān)系來(lái)判斷，找到了解決的思路和關(guān)鍵點(diǎn)，問(wèn)題也就迎刃而解了.

而tan∠NFD=2k，

所以tan∠MFN=tan∠NFD.

結(jié)合圖形知，∠MFN，∠NFD均為銳角，

所以∠MFN=∠NFD.

因此NF是∠MFD的角平分線(xiàn).

即∠MFD=2∠NFD.

故存在實(shí)數(shù)λ=2，使得∠MFD=λ∠NFD.

評(píng)注解法3中用到了到角公式，現(xiàn)行教材已經(jīng)不涉及，不過(guò)老師們還是可以適當(dāng)了解，針對(duì)程度好的學(xué)生，也可以適時(shí)介紹，拓寬學(xué)生的解題思路.

視角2借助于點(diǎn)N的坐標(biāo)及正切的二倍角公式求解.

(t2+27)x2+4t2x+4t2-108=0.

由斜率公式,得

即∠MFD=2∠NFD.

因此存在實(shí)數(shù)λ=2，使得∠MFD=λ∠NFD.

視角3 借助于點(diǎn)M的坐標(biāo)求解.

由正切的二倍角公式,得

①

即∠MFD=2∠NFD.

因此存在實(shí)數(shù)λ=2，使得∠MFD=λ∠NFD.

評(píng)注此解法是設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)，表示直線(xiàn)AM的方程，將點(diǎn)N的坐標(biāo)求出，同時(shí)借助于點(diǎn)M在曲線(xiàn)C上，滿(mǎn)足曲線(xiàn)方程，不需要聯(lián)立而將兩角的正切值用點(diǎn)M的坐標(biāo)巧妙表示，成功求解，值得借鑒和運(yùn)用到解題中去.

文中多視角、多方法解答了此題，但如果止步于此，也只是解答了一道題.進(jìn)一步思考，此題能不能推及一般呢？在橢圓中成立，雙曲線(xiàn)中是否也有相同或相似的結(jié)論呢？以下通過(guò)推導(dǎo)來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證.

4 橢圓中的一般推廣

利用解法1推導(dǎo)與證明一般情形如下：

AM:y=k(x+a)，M(x1,y1)，

(a2k2+b2)x2+2a3k2x+a2(a2k2-b2)=0.

利用斜率公式求得

由正切的二倍角公式,得

即∠MFD=2∠NFD.

因此存在實(shí)數(shù)λ=2，使得∠MFD=λ∠NFD.

5 雙曲線(xiàn)中的一般推廣

利用解法1推導(dǎo)與證明一般情形如下：

AM:y=k(x+a)，M(x1,y1)，

(b2-a2k2)x2-2a3k2x-a2(a2k2+b2)=0.

利用斜率公式求得

由正切的二倍角公式,得

即∠MFD=2∠NFD.

因此存在實(shí)數(shù)λ=2，使得∠MFD=λ∠NFD.

在高中數(shù)學(xué)新課改全面推行的形勢(shì)下，高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)內(nèi)容、模式和方法也是當(dāng)代教育研究的熱點(diǎn).為了實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的時(shí)效性，教師必須做到全方位思索，多角度為學(xué)生提供解題思路.而一題多解是目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)所研究的方向之一，且一題多解思維屬于創(chuàng)建“變式教學(xué)”體系，在該過(guò)程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也被發(fā)散、開(kāi)放，思維得到了有效地鍛煉和提高.

另外，對(duì)于一些具體問(wèn)題，我們可以通過(guò)推廣拓展至一般情形，從而深入地分析和解決問(wèn)題，能很好地將知識(shí)系統(tǒng)化.