許 灝, 魏芝雅, 彭旭輝

(湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410081)

0 引言

近年來(lái)，學(xué)者們?cè)诒ｋU(xiǎn)精算領(lǐng)域的研究有很多[1–4]，考慮以下的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型

其中u為初始基金，c表示單位時(shí)間保費(fèi)收入，{N(t),t ≥0}是一個(gè)Poisson 過(guò)程，Xi(i=1,2,···)為獨(dú)立同分布的索賠序列。Poisson 過(guò)程的期望等于方差，這可能與實(shí)際情況不一致。在現(xiàn)實(shí)中，計(jì)數(shù)過(guò)程中的方差往往大于期望，這種現(xiàn)象通常被稱(chēng)為過(guò)度離散。許多模型用于描述過(guò)度離散，如廣義線性混合模型、擬似然模型、泊松回歸模型和多元統(tǒng)計(jì)模型等。在過(guò)去的幾年中，由于Poisson-Geometric 過(guò)程更加貼合保險(xiǎn)行業(yè)的實(shí)際情況，獲得了廣泛的關(guān)注。因此，關(guān)于這個(gè)話(huà)題有大量的文獻(xiàn)，毛澤春和劉錦萼[5]研究了模型(1)，當(dāng){N(t),t ≥0}為Poisson-Geometric 過(guò)程。

然而，在實(shí)際中保費(fèi)收入可能并不像模型(1)中關(guān)于時(shí)間的線性函數(shù)。為了彌補(bǔ)模型(1)的缺陷，Boikov[6]用另外一個(gè)復(fù)合Poisson 過(guò)程代替經(jīng)典模型中的線性保費(fèi)收入部分，推導(dǎo)出了關(guān)于生存概率的微積分方程。Dufresne 和Gerber[7]、Furrer 和Schmidli[8]則考慮在模型中加入布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)模擬外界環(huán)境的干擾。趙金娥等[9]研究了一個(gè)Poisson-Geo metric 過(guò)程的風(fēng)險(xiǎn)模型，其中保費(fèi)和索賠的發(fā)生均服從復(fù)合泊松幾何過(guò)程。Sundt 和Teugels[10]研究了帶利率的風(fēng)險(xiǎn)模型，在此模型下對(duì)破產(chǎn)概率進(jìn)行了估計(jì)。除此之外，Kalashnikov 和Norberg[11]、Zhu 等[12]對(duì)帶投資的風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行了研究，在各自模型下分別得到了最終破產(chǎn)概率。多維風(fēng)險(xiǎn)模型也是研究的熱點(diǎn)，Cheng 和Wang[13]、Li 等[14]均對(duì)二維風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行了研究，得到了關(guān)于破產(chǎn)概率的上界估計(jì)和對(duì)參數(shù)變化的性質(zhì)。近年來(lái)，Poisson-Geometric 計(jì)數(shù)過(guò)程得到了廣泛關(guān)注。毛澤春和劉錦萼[15]研究了一個(gè)索賠是Poisson-Geometric 過(guò)程的風(fēng)險(xiǎn)模型，在他們的論文中，分析了破產(chǎn)概率的更新方程，得到了個(gè)人債權(quán)分布為phase-type 時(shí)的破產(chǎn)概率表達(dá)式。廖基定等[16]則在Poisson-Geometric 風(fēng)險(xiǎn)模型下求出了Gerber-Shiu 折現(xiàn)罰金函數(shù)的更新方程和破產(chǎn)概率的Pollazed-Khinchin 公式。受風(fēng)險(xiǎn)模型的啟發(fā)，Chukovaa 和Minkova[17]介紹了一個(gè)新的點(diǎn)過(guò)程，稱(chēng)做P′olya-Aeppli 過(guò)程(GPAP)，具有潛在的指數(shù)分布。他們給出了這個(gè)過(guò)程的兩個(gè)等價(jià)定義，并討論了它的一些性質(zhì)，例如，GPAP 過(guò)程到時(shí)間t事件發(fā)生次數(shù)的分布、等待時(shí)間的分布等等。在文獻(xiàn)[18]中，作者假設(shè)P′olya-Aeppli 過(guò)程的強(qiáng)度參數(shù)是時(shí)間t的函數(shù)，并稱(chēng)此過(guò)程為非齊次P′olya-Aeppli Process(NHPAP)。另外，他們推導(dǎo)了關(guān)于NHPAP 的一些有趣的性質(zhì)，并且就此過(guò)程對(duì)于一些特殊的強(qiáng)度函數(shù)進(jìn)行了模擬說(shuō)明。

本文考慮以下一維連續(xù)時(shí)間下具有隨機(jī)投資組合的雙復(fù)合Poisson-Geometric 過(guò)程風(fēng)險(xiǎn)模型

其中u表示初始資金，U(t)表示保險(xiǎn)公司t時(shí)刻的資產(chǎn)，{Xi,i ≥0}表示獨(dú)立同分布的保費(fèi)序列，{N1(t),t ≥0}表示時(shí)間t內(nèi)保費(fèi)發(fā)生的次數(shù)，{Yi,i ≥0}表示獨(dú)立同分布的索賠序列，{N2(t),t ≥0}表示時(shí)間t內(nèi)索賠發(fā)生的次數(shù)。

首先，我們給出Poisson-Geometric 分布和Poisson-Geometric 過(guò)程的定義。

定義1 設(shè)λ>0,0≤ρ<1，稱(chēng)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為(λ,ρ)的Poisson-Geometric分布，記為X ～PG(λ,ρ)，如果X的矩母函數(shù)為

定義2 設(shè)λ>0,0≤ρ<1，稱(chēng){N(t),t ≥0}是參數(shù)為(λ,ρ)的Poisson-Geometric過(guò)程，如果滿(mǎn)足：

1)N(0)=0；

2){N(t),t ≥0}具有獨(dú)立平穩(wěn)增量；

3) 對(duì)任意的t>0, N(t)～PG(λt,ρ)。

對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)模型(2)，我們作如下假設(shè)和規(guī)定：

1){N1(t),t ≥0}、{N2(t),t ≥0}分別是參數(shù)(λ1,ρ1)、(λ2,ρ2)的Poisson-Geometric過(guò)程；

其中θ>0 稱(chēng)作模型(2)的相關(guān)安全負(fù)載因子；

4) 泊松幾何過(guò)程{N1(t),t ≥0}、{N2(t),t ≥0}以及隨機(jī)變量序列{Xi,i ≥0}和{Yi,i ≥0}之間均相互獨(dú)立。

定義模型(2)的破產(chǎn)時(shí)間為T(mén)= inf{t> 0|U(t)< 0}，基于T，我們定義無(wú)限時(shí)間破產(chǎn)概率ψ(u) =P(T<∞|U(0) =u)，有限時(shí)間破產(chǎn)概率ψ(u,t) =P(T

本文剩余部分做如下安排：第1 節(jié)利用鞅的性質(zhì)和停時(shí)的技巧，得到了風(fēng)險(xiǎn)模型中破產(chǎn)概率的上界，Lundberger 不等式以及調(diào)節(jié)系數(shù)方程；第2 節(jié)分別推導(dǎo)出無(wú)限時(shí)間生存概率所滿(mǎn)足的微積分方程以及有限時(shí)間生存概率所滿(mǎn)足的偏微積分方程，在索賠和保費(fèi)均為指數(shù)分布的情況下，本文求解出了關(guān)于破產(chǎn)概率的精確表達(dá)式。

1 上界和無(wú)限時(shí)間的破產(chǎn)概率

在這一章節(jié)，我們利用鞅方法和停時(shí)定理考慮破產(chǎn)概率的上界和無(wú)限時(shí)間的破產(chǎn)概率。在給出定理1 之前，我們先給出一個(gè)引理。我們令

引理得證。

因?yàn)殡S機(jī)變量Y恒正，容易得到MY(0)=1,limr→+∞MY(r)=+∞，并且MY(r1)

對(duì)于上述所得的關(guān)系式，取極限s →+∞，定理結(jié)論得證。

推論1 假設(shè)R是風(fēng)險(xiǎn)模型(2)中的調(diào)節(jié)系數(shù)，則有Ψ(u)≤e?Ru。

證明 在定理2 中，令R=r，并且注意到注意到g(R)=0，推論結(jié)果顯然成立。

定理3 在風(fēng)險(xiǎn)模型(2)中，無(wú)限時(shí)間破產(chǎn)概率的表達(dá)式為

證明 由停時(shí)的理論可知，對(duì)于任意固定的s>0, T ∧s是有界停時(shí)。對(duì)盈余過(guò)程使用全概率公式以及利用鞅的性質(zhì)，可以得到

2 微積分方程及其解

在本節(jié)中，我們利用全概率公式得到無(wú)限時(shí)間的生存概率的積分方程和有限時(shí)間的生存概率的微積分方程?？紤]保費(fèi)和索賠額均服從指數(shù)分布FX(x) = 1?e?ax以及FY(y)=1?e?by，我們可以得到無(wú)限區(qū)間和有限區(qū)間生存概率的精確公式。

證明 和定理4 的證明方法類(lèi)似，在充分小的時(shí)間?t內(nèi)，下列等式成立

通過(guò)化簡(jiǎn)可以得到

在上式中除以?t，并取極限?t →0，定理5 的前半部分得證。

將等式(8)和(9)代入到(10)中，可以得到

通過(guò)對(duì)u求連續(xù)的偏導(dǎo)，我們得到下列偏微分方程

其中φ依賴(lài)于u和t。為了幫助我們解決偏微分方程(12)，引入下列輔助函數(shù)

將方程(12)乘以因子e?ts，對(duì)t從0 積分到∞，我們能夠得到下列常微分方程

顯然常微分方程(13)有兩個(gè)實(shí)根，一個(gè)是正根，一個(gè)是負(fù)根。又因?yàn)楹瘮?shù)φ(u,t)取值范圍為[0,1]，所以函數(shù)W(s,u)的值域是有界的，并且W(s,u) =K(s)eγ(s)u，其中γ(s)是常微分方程(13)的負(fù)根。同時(shí)，我們可以通過(guò)將u= 0 代入方程(13)中，解出參數(shù)K(s)。

注1從定理5 中，我們可以得到

這個(gè)結(jié)果和定理4 中的φ(u)保持一致。