于曉晨, 許貴橋

(天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387)

0 引言

記N和R分別為正整數(shù)集和實(shí)數(shù)集。對(duì)p=∞，用L∞[a,b]表示[a,b]上本性有界可測(cè)函數(shù)組成的函數(shù)空間，其范數(shù)定義為對(duì)1≤p<∞，用Lp[a,b]表示p-次勒貝格可積函數(shù)f: [a,b]→R構(gòu)成的Lp-賦范空間，其范數(shù)定義為

且當(dāng)a=?1, b=1 時(shí)，把Lp[a,b]和Wrp[a,b]分別簡(jiǎn)記為L(zhǎng)p和Wrp(1≤p ≤∞)。

在不等式理論中最令人關(guān)注的問(wèn)題之一是涉及函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的華寧不等式。華寧不等式一方面與線性微分方程和微分幾何研究密切相關(guān)，近年來(lái)有許多結(jié)果[1–4]。另一方面華寧不等式與Hermite 插值H?f的誤差估計(jì)式

文獻(xiàn)[5—6]給出了當(dāng)αi= 1(i= 1,2,··· ,n)和αi=k(i= 1,2,··· ,n/k, k ∈N)時(shí)最佳常數(shù)C(n,∞,∞)的計(jì)算方法，文獻(xiàn)[7]給出了當(dāng)r= 1 時(shí)最佳常數(shù)C(n,2,2)的計(jì)算方法，文獻(xiàn)[8]給出了當(dāng)r= 2 時(shí)最佳常數(shù)C(n,1,1)的計(jì)算方法。注意到上述結(jié)果都是基于插值誤差的積分型余項(xiàng)公式，本文將首先給出Hermite 插值的一種新的誤差估計(jì)，再利用這種誤差估計(jì)把C(n,∞,p)(1≤p ≤∞)的值轉(zhuǎn)化為一個(gè)顯式積分表達(dá)式，并用兩個(gè)例子來(lái)說(shuō)明結(jié)果。

在構(gòu)造插值算法時(shí)，插值結(jié)點(diǎn)組的選擇是十分重要的。給定一個(gè)足夠光滑的函數(shù)，如果插值結(jié)點(diǎn)組選擇的不好，當(dāng)插值結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)，插值函數(shù)不收斂于函數(shù)本身，例如：龍格現(xiàn)象。因此，最優(yōu)插值結(jié)點(diǎn)組的研究是函數(shù)逼近論研究的一個(gè)熱門課題，近期研究可見(jiàn)文獻(xiàn)[9–12]。注意到上述研究的結(jié)果都是關(guān)于Lagrange 插值算子，其是Hermite 插值當(dāng)αi= 1(i= 1,2,··· ,n)時(shí)的特殊情況。本文將研究一般Hermite 插值的最優(yōu)插值結(jié)點(diǎn)組問(wèn)題，給出了當(dāng)信息個(gè)數(shù)固定時(shí)的最優(yōu)Hermite 插值結(jié)點(diǎn)組。對(duì)于p= 1,2,∞，我們給出了最優(yōu)結(jié)點(diǎn)組的顯式表達(dá)式。對(duì)于其它情況，我們把最優(yōu)插值結(jié)點(diǎn)組的計(jì)算歸結(jié)為求函數(shù)的最小值點(diǎn)，并用Mathematical 計(jì)算最小值，得到了當(dāng)n=2,3,4,5, p=3,4,5,6 時(shí)華寧不等式最優(yōu)系數(shù)的值。

一元函數(shù)的插值方法在多元計(jì)算問(wèn)題中起著關(guān)鍵的作用[13–17]，在上述文章中用到的都是Lagrange 插值方法。最近，文獻(xiàn)[18]用Hermite 插值方法構(gòu)造多元算法解決高維問(wèn)題，這就涉及了如何選擇一元Hermite 插值的插值結(jié)點(diǎn)組問(wèn)題，尋找Hermite 插值在各種意義下的最優(yōu)Hermite 插值結(jié)點(diǎn)組有著重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

1 基本概念和定理

首先介紹Hermite 插值。設(shè)

和(10)式，可得(4)式。

下面給出本文的第一個(gè)主要結(jié)果。

定理1 設(shè)

是一個(gè)Hermite 插值結(jié)點(diǎn)組，則對(duì)任給滿足條件f(xi) =f′(xi) =···=f(αi?1)(xi) =0(i=1,2,··· ,r)的函數(shù)f ∈Wn∞，有精確不等式

2 最優(yōu)Hermite 插值結(jié)點(diǎn)組

由例1 和例2 可知，盡管結(jié)點(diǎn)組元素的個(gè)數(shù)相同，但當(dāng)結(jié)點(diǎn)組的元素不相同時(shí)，相應(yīng)華寧不等式精確系數(shù)的值是不同的。下面我們給出當(dāng)結(jié)點(diǎn)組元素的個(gè)數(shù)固定時(shí)，系數(shù)取得最小值的結(jié)點(diǎn)組，即給出結(jié)點(diǎn)組

使得

其中Cp,?可參見(jiàn)(12)式。由(16)式可知，此結(jié)點(diǎn)組也是逼近問(wèn)題的最優(yōu)Hermite 插值結(jié)點(diǎn)組。

用Pn表示次數(shù)不超過(guò)n的代數(shù)多項(xiàng)式的集合，記

且用Wn,p表示滿足條件

由(12)、(26)式，可得

結(jié)合(25)、(27)式，可得(24)式。

注1 在過(guò)去的研究中，人們討論的都是最優(yōu)Lagrange 插值。Hermite 插值是比Lagrange 插值更廣的一類插值，其不僅可用Lagrange 插值所需要的函數(shù)值信息，而且可以使用導(dǎo)數(shù)值信息，那么在使用同樣多的信息量的情況下，增加使用導(dǎo)數(shù)值信息能否使得計(jì)算的結(jié)果更加精確呢？對(duì)比文獻(xiàn)[12]和本文的結(jié)果可知，如果在Lp(1≤p ≤∞)范數(shù)下考慮Sobolev 類Wn∞在使用n個(gè)信息時(shí)的多項(xiàng)式插值逼近，那么最優(yōu)Hermite 插值與最優(yōu)Lagrange 插值是一致的，均為

3 數(shù)值算例

對(duì)于p=1,2,∞，上節(jié)給出了最優(yōu)系數(shù)的顯式表達(dá)式。對(duì)于其它情形，我們可以把最優(yōu)系數(shù)的值轉(zhuǎn)化為下面的優(yōu)化問(wèn)題用數(shù)值方法求解。

由定理2 可知，對(duì)固定的n ∈N,1≤p<∞，基于Hermite 插值的華寧不等式的最優(yōu)系數(shù)為

而最優(yōu)插值結(jié)點(diǎn)組可用求上面優(yōu)化問(wèn)題的最小值點(diǎn)來(lái)得到。

用Mathematical 計(jì)算上式，可以得到Cp,?p,n的值。表1 列出了當(dāng)n=2,3,4,5, p=3,4,5,6 時(shí)Cp,?p,n的值。

表1 華寧不等式的一些最優(yōu)系數(shù)