復(fù)雜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)建模分析

王鵬程，黃 祺，肖人彬

(1.華中科技大學(xué) 人工智能與自動化學(xué)院，湖北 武漢 430074；2.云驤網(wǎng)絡(luò)科技(上海)有限公司，上海 200439)

結(jié)構(gòu)模型(structural model)描述的是系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性態(tài)，它是從系統(tǒng)的概念模型過渡到定量分析的中介[1]；而建立結(jié)構(gòu)模型的過程就是結(jié)構(gòu)建模(structural modeling)。現(xiàn)有結(jié)構(gòu)建模方法較多，如：解釋結(jié)構(gòu)建模(Interpretive Structural Modeling，ISM)[1]、決策實驗室分析法(Decision Making Trial and Evaluation Laboratory，DEMATEL)[2]、系統(tǒng)動力學(xué)(System Dynamics，SD)[3]、交叉影響分析(Cross Impact Analysis，CIA)[4]等。其中，系統(tǒng)動力學(xué)由Forrester于20世紀(jì)50年代始創(chuàng)于美國[5]，它以定性分析為先導(dǎo)，以定量分析為支持，特別適宜分析解決社會、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等復(fù)雜系統(tǒng)問題，有“政策實驗室”之稱[6]，在國際上影響很大；而由Warfield[7-10]提出并發(fā)展的解釋結(jié)構(gòu)建模(ISM)方法適合處理的問題領(lǐng)域眾多，覆蓋面廣，便于操作，應(yīng)用廣泛[11-12]。本文討論的結(jié)構(gòu)建模就是指ISM，它包括級別劃分、區(qū)域劃分、強連接子集劃分等幾個主要環(huán)節(jié)[1，13]。

復(fù)雜系統(tǒng)的基本特征是數(shù)量巨大、種類繁多、異質(zhì)性突出、多層次結(jié)構(gòu)[14-15]?，F(xiàn)有的ISM方法采用基于遞歸的逐級迭代方式進(jìn)行劃分操作，是一種拓?fù)浞治龇椒ǎ瑢?fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)建模時需要分層處理，不僅效率低下，還存在某些隱患(詳見第2節(jié)論述)。為此本文致力于闡明適于復(fù)雜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)建模的代數(shù)分析途徑的優(yōu)越性，圍繞復(fù)雜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)建模的幾個重要問題剖析概念本質(zhì)，進(jìn)行原理性分析。

1 結(jié)構(gòu)建模概要

系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型描述的是系統(tǒng)中各元素之間的關(guān)系，如果不考慮關(guān)系強弱，則只需要說明是否存在關(guān)系。而描述這種元素之間是否存在關(guān)系的簡便方式就是利用圖形。比如圖1表示的是數(shù)控立車的部分模塊之間的關(guān)系，從中可看到，立柱對懸臂裝置有影響；立柱對橫梁升降箱有影響，橫梁升降箱又對橫梁有影響。前者是直接影響，后者是通過另一模塊的間接影響，這些都可以從該圖中一目了然。

不僅工程系統(tǒng)可以采用這種圖形表示，一些帶有社會因素的系統(tǒng)也是如此。圖2表示的是一個地區(qū)發(fā)電供電與工廠、人口、環(huán)境之間的關(guān)系[1]。從該圖中可以看出，工廠數(shù)對用電量有影響。工廠數(shù)對職工數(shù)也有影響，職工數(shù)影響到人口數(shù)，又影響到用電量。前者是直接影響，后者是通過另兩個因素的間接影響。

圖1 數(shù)控立車模塊間關(guān)系 圖2 地區(qū)發(fā)電與相關(guān)因素間關(guān)系

像圖1和圖2這樣的圖形表達(dá)的是人們對客觀世界中各種系統(tǒng)的概念認(rèn)知，稱為系統(tǒng)的概念模型(conceptual model)，其中表示元素的圓圈稱為節(jié)點，表示元素間影響(從抽象意義上講就是關(guān)系)的線段稱為邊，而影響作用的方向用箭頭表示，所以概念模型圖是一種有向圖。雖然人們難以測辨出復(fù)雜系統(tǒng)中元素間的關(guān)系哪些是直接關(guān)系，哪些是間接關(guān)系，但對兩兩元素之間是否存在關(guān)系不難給出，因此系統(tǒng)的概念模型比較容易得到，它也是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)建模的起點。

除了用有向圖表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)外，還可以使用與之對應(yīng)的同構(gòu)矩陣來表征系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，其中與概念模型圖相對應(yīng)的同構(gòu)矩陣稱為鄰接矩陣(adjacency matrix)。例如對于圖1而言，其對應(yīng)的鄰接矩陣是：

工作臺 立柱 橫梁 橫梁升降箱 懸臂裝置

這是一個5×5階的方陣，它的每一行和每一列都對應(yīng)圖1中的一個節(jié)點(代表機床的一個模塊)。如果某一模塊對另一模塊有影響作用，例如工作臺對立柱有影響，對應(yīng)的矩陣元素為1；如果沒有影響(例如工作臺對橫梁)，則對應(yīng)的元素為0。所以鄰接矩陣是一個布爾矩陣，即其中的元素只能為0或1。

一般情況下，設(shè)系統(tǒng)S中有n個元素，記為

S={x1，x2，…，xn}，

(1)

則該系統(tǒng)的鄰接矩陣A=(aij)n×n是一個布爾矩陣。aij=1表示xi對xj有影響，aij=0表示xi對xj無影響。其幾何意義是：如果在系統(tǒng)概念模型圖中，有從節(jié)點xi到xj的有向邊，則aij取值為1，否則為0。

由鄰接矩陣通過下式可求得系統(tǒng)的可達(dá)矩陣Re

Re=In∪A∪A2…∪An，

(2)

式中，In為n階單位矩陣，Re=(rij)n×n中的每一個元素rij表明xi能否到達(dá)xj。

通過矩陣運算可知：

In∪A∪A2…∪An=(A∪In)n.

(3)

因此，式(2)可化為

Re=(A∪In)n.

(4)

在可達(dá)矩陣的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步建立系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型，因此獲得可達(dá)矩陣是結(jié)構(gòu)建模的關(guān)鍵。為了便于后續(xù)討論，有必要對結(jié)構(gòu)建模中的有關(guān)概念給予嚴(yán)格的定義。

設(shè)X={x1，x2，…，xn}，Y={y1，y2，…，yn}均為有限論域，則X×Y上由謂詞確定的二元關(guān)系R可用一個n×m階的布爾矩陣表示。下面將相互對應(yīng)的二元關(guān)系和布爾矩陣視為同一，均記為R。特別地，若X=Y，則稱R為X上的二元關(guān)系，相應(yīng)的布爾矩陣是一個方陣。設(shè)有限論域X={x1，x2，…，xn}，所表征的系統(tǒng)為S，因為S是用X來表征的，故從組成上可將系統(tǒng)記為S={x1，x2，…，xn}，其中xi(i=1，2，…，n)稱為S的元素。若S′?S，則S′稱為S的子系統(tǒng)。

有限論域X與由謂詞確定的X上的二元關(guān)系R之總和，稱為X所表征系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型。結(jié)構(gòu)模型建立的起點是概念模型，該模型可用一個有向圖表示，與此有向圖同構(gòu)的矩陣稱為鄰接矩陣。

定義1設(shè)R是X上的二元關(guān)系，對?x∈X，若xRx，則稱R是自反的；對?x∈X，若〈x，x〉?R，則稱R是反自反的。

定義2設(shè)R是X上的二元關(guān)系，對?x1，x2，x3∈X，若x1Rx2∧x2Rx3?x1Rx3，則稱R是傳遞的。

定義4設(shè)系統(tǒng)S的鄰接矩陣為A，In為n階單位矩陣，則A∪In的傳遞閉包稱為S的可達(dá)矩陣，記為Re。

Re=t(A∪In)=(A∪In)n

(5)

定義5設(shè)Re=(rij)n×n為系統(tǒng)S的可達(dá)矩陣，若rij=1，則稱xi可達(dá)xj，記為xi→xj。

定義6設(shè)xi，xj∈S(i≠j)，若xi→xj且xj→xi，則稱元素xi與xj有強連接關(guān)系。

定義7設(shè)S′?S，若?xi，xj∈S(i≠j)，xi與xj都有強連接關(guān)系，則稱子系統(tǒng)S′為強連接的。

定義8設(shè)S′?S，若S′是強連接的，且?xi∈S′，xj∈S-S′，xi與xj都無強連接關(guān)系，則稱S′為系統(tǒng)S的強連接子集。

定義9設(shè)S的縮減系統(tǒng)為S′，則S′的可達(dá)矩陣稱為S的縮減矩陣，記為R′e。

定義11設(shè)m階布爾矩陣R′e為系統(tǒng)S的縮減矩陣，則S′k=R′e1/m-Im稱為S的縮減骨架矩陣。對S′k進(jìn)行縮減逆變換后得到的矩陣Sk稱為S的骨架矩陣。

上述定義4～11主要根據(jù)文獻(xiàn)[16]并參考文獻(xiàn)[1，13]整理得到。

2 從拓?fù)浞治龅酱鷶?shù)分析

文獻(xiàn)[1，10]對現(xiàn)有的ISM方法作了介紹，從中可以看出，現(xiàn)有方法主要采用遞歸進(jìn)行的逐層迭代方式進(jìn)行劃分操作，進(jìn)而建立系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型。它類似于運籌學(xué)中常常用到的圖上作業(yè)分析，是一種拓?fù)浞治龇椒ā．?dāng)問題規(guī)模較小時，這種方法比較直觀，易于理解，因而也就行之有效。

但對復(fù)雜系統(tǒng)而言，其內(nèi)元素往往很多，并且元素間的關(guān)系錯綜交織，這樣形成的問題規(guī)模就很大。如果沿用現(xiàn)有方法，一方面在計算復(fù)雜性上存在“組合爆炸”，從而導(dǎo)致問題求解的效率很低；另一方面逐層迭代的操作過程可能導(dǎo)致求解的不完備，下面以區(qū)域劃分為例進(jìn)行說明。

區(qū)域劃分就是將系統(tǒng)從結(jié)構(gòu)上劃分成相互獨立的若干部分，用公式可描述成

∏(S)={D1，D2，…，Dm}.

(6)

對于每一個元素xi，把xi可以到達(dá)的所有元素匯集成一個集合，稱為xi的可達(dá)集R(xi)；把所有的可以到達(dá)xi的元素匯集成一個集合，稱為xi的前因集A(xi)。即

R(xi)={xj|xj∈S，rij=1}，

(7)

A(xi)={xj|xj∈S，rji=1}，

(8)

式中rij和rji均為可達(dá)矩陣的元素。

區(qū)域劃分是自下而上實現(xiàn)的，首先找出滿足

A(xi)=A(xi)∩R(xi)

(9)

的元素，經(jīng)過分析可知，這樣的元素一定是系統(tǒng)的底層元素，即其下不再有其他元素的元素。

將底層元素的集合記為B，對?xi，xj∈B(i≠j)，如果下式成立：

R(xi)∩R(xj)≠?，

(10)

則xi和xj處于同一部分(區(qū)域)之內(nèi)，否則它們就不在一個區(qū)域內(nèi)。這一結(jié)論在系統(tǒng)工程的經(jīng)典教材[1，11]都是這樣表述的。

按照式(10)逐一分析，可以將系統(tǒng)中的元素歸為不同的區(qū)域，從而實現(xiàn)區(qū)域劃分。現(xiàn)有ISM方法斷定滿足式(10)的xi和xj在同一區(qū)域內(nèi)，確實如此；但R(xi)∩R(xj)=?，即不滿足式(10)的xi和xj就不在一個區(qū)域內(nèi)的結(jié)論則是不完備的，下面給出圖3所示的反例。

圖3 區(qū)域劃分的一個反例

根據(jù)圖3所示的系統(tǒng)，底層元素集B={1，2，3}，從圖3可以直觀地看出，元素1，2，3在同一區(qū)域內(nèi)。各元素的可達(dá)集是：R(1)={1，4}，R(2)={2，4，5}，R(3)={3，5}。按照式(10)，R(1)∩R(2)={4}≠?，所以1和2在同一區(qū)域內(nèi)；R(2)∩R(3)={5}≠?，所以2和3在同一區(qū)域內(nèi)；由于區(qū)域劃分滿足傳遞性，所以元素1，2，3在同一區(qū)域內(nèi)，這與直觀的圖形顯示出來的結(jié)果一致。但是，R(1)∩R(3)=?，按照現(xiàn)有ISM方法，1和3就不在一個區(qū)域內(nèi)，顯然這是不正確的，由此可見，現(xiàn)有ISM方法存在著不完備性。

上面剖析了現(xiàn)有ISM方法存在的問題，即求解大規(guī)模問題存在的“組合爆炸”和迭代操作存在的不完備性。要解決這些問題，就必須針對ISM的劃分操作，將現(xiàn)有ISM的拓?fù)浞治龇椒ㄟM(jìn)一步轉(zhuǎn)化為代數(shù)分析方法，以便計算機實施處理。從代數(shù)角度上講，劃分就是等價關(guān)系，它們有著本質(zhì)的關(guān)系，乃是同一概念的不同表達(dá)形式。因此，基于代數(shù)分析的觀點，劃分的實質(zhì)是要構(gòu)造某種等價關(guān)系，該等價關(guān)系是相應(yīng)劃分的充要條件。這是文獻(xiàn)[16]提出結(jié)構(gòu)建模代數(shù)方法的基本出發(fā)點。

3 關(guān)于骨架矩陣的求法

結(jié)構(gòu)建模形成的最終結(jié)構(gòu)模型圖中，哪些邊要連上，哪些邊不必連，是一個至關(guān)重要的環(huán)節(jié)。就現(xiàn)有ISM方法而言，對這一問題并未有效解決。實際上，現(xiàn)有方法對此問題采取的是回避方式，即仍然是運用拓?fù)浞治?、通過人為觀察剔除派生連線來完成的，這種方式依賴于直覺，其正確性無法保證，弊端卻是顯而易見。

在結(jié)構(gòu)建模代數(shù)方法求解中，這實際上是要確定系統(tǒng)的骨架矩陣(骨架矩陣的界定見定義11)。只有借助代數(shù)分析，給出骨架矩陣的代數(shù)表達(dá)式才能從根本上解決這一問題。因此，求系統(tǒng)的骨架矩陣是結(jié)構(gòu)建模代數(shù)方法的另一個需要完成的任務(wù)。

為了獲取骨架矩陣，文獻(xiàn)[17]基于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)建模分析，給出了求骨架矩陣的代數(shù)表達(dá)式，實現(xiàn)了骨架矩陣的代數(shù)求法，從根本上解決了這一難題。該結(jié)果也是結(jié)構(gòu)建模代數(shù)方法體系的組成部分。

4 結(jié)構(gòu)建模中的矩陣關(guān)系分析

在第1節(jié)給出的概念定義的基礎(chǔ)上，本節(jié)將進(jìn)一步對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)建模進(jìn)行分析，著重討論ISM中涉及到的幾種矩陣以及它們之間的相互關(guān)系，澄清認(rèn)識，加深對結(jié)構(gòu)建模實質(zhì)的理解。

根據(jù)結(jié)構(gòu)模型的定義，在論域明確的情況下，結(jié)構(gòu)建模的目的主要是辨識關(guān)系R。若用D(R)表示R對應(yīng)的有向圖，那么在ISM中，D(S′k)就是縮減系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型，D(Sk)即是原系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型。

下面逐一討論ISM中的各種矩陣的內(nèi)涵并分析它們之間的關(guān)系。

設(shè)縮減骨架矩陣為m階布爾矩陣，那么(S′k+Im)m=t(S′k+Im)，又由定義11，(S′k+Im)m=R′e，所以

t(S′k+Im)=R′e，

(11)

若有S″k≠S′k，滿足t(S′k+Im)=R′e，也即t(S″k+Im)=R′e，根據(jù)定義10和定義11，應(yīng)有S″k>S′k，由式(11)可得

(12)

這說明D(S′k)保存了D(R′e-Im)的全部可達(dá)性，且具有最少的邊，稱為最少邊圖。因此，S′k反映的是縮減系統(tǒng)S′中元素之間的直接關(guān)系(從可達(dá)性講，是一步可達(dá)關(guān)系)。同樣，骨架系統(tǒng)Sk反映的是原系統(tǒng)S中元素之間的直接關(guān)系。

鄰接矩陣A是由概念模型所描述的關(guān)系得到的，并且滿足

Sk≤A≤Re，

(13)

它有兩種特殊情況：A=Sk和A=Re。但通常A≠Sk，這是因為在復(fù)雜系統(tǒng)中，人們雖可判斷元素之間是否存在關(guān)系，卻往往難以區(qū)分哪些是直接關(guān)系，哪此是間接關(guān)系。而且通常也有A≠Re，原因在于人的觀察能力有限，其判斷并不總是保持傳遞性，尤其當(dāng)系統(tǒng)元素較多時更是如此。即使鄰接矩陣A等于Sk或者Re，要確認(rèn)這一事實成立也非易事。一般來說，認(rèn)為Sk

將上面討論的各種矩陣的性質(zhì)特征進(jìn)行歸納，可總結(jié)得到表1。

表1 結(jié)構(gòu)建模中各矩陣的性質(zhì)

綜合上述分析，可以明確得到以下結(jié)論：

(1)不少文獻(xiàn)(例如文獻(xiàn)[18])在論述結(jié)構(gòu)建模時認(rèn)為鄰接矩陣表示的是系統(tǒng)中各元素之間的直接關(guān)系。事實上，這一觀點是不全面的。鄰接矩陣不僅表示的是元素之間的直接關(guān)系，而且還表示了元素之間的部分間接關(guān)系，但不管是直接還是間接關(guān)系，它們都是相鄰元素之間的關(guān)系。如果把元素對自身的零步可達(dá)關(guān)系看成是一種特殊的相鄰元素(相鄰元素重合)之間的關(guān)系，則鄰接矩陣反映的就是不同元素之間的鄰接聯(lián)系情況，這樣它才“名副其實”。

(2)在鄰接矩陣的基礎(chǔ)上求出可達(dá)矩陣，實質(zhì)上是要找到系統(tǒng)元素之間的所有間接關(guān)系。根據(jù)可達(dá)矩陣得到的骨架矩陣只保留了元素之間的所有直接關(guān)系，這也是系統(tǒng)分析的通常作法，即把握那些本質(zhì)關(guān)系，而忽略那些已被隱含的派生關(guān)系。

5 結(jié)束語

由Warfield提出并發(fā)展的解釋結(jié)構(gòu)建模(ISM)應(yīng)用廣泛，不乏成功案例[11-12]。該方法涉及鄰接矩陣、可達(dá)矩陣等代數(shù)概念，但主要采用的是拓?fù)浞治龅乃悸?，因此在求解大?guī)模問題時存在著“組合爆炸”，在建模的迭代操作中存在著不完備性，這些不足導(dǎo)致現(xiàn)有ISM方法難以適應(yīng)復(fù)雜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)建模的要求。針對現(xiàn)有ISM的拓?fù)浞治龇椒ǖ牟蛔?，有必要將現(xiàn)有ISM的拓?fù)浞治龇椒ㄟM(jìn)一步轉(zhuǎn)化為代數(shù)分析方法，以便計算機實施處理。本文致力于復(fù)雜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)建模分析研究，一方面闡明適于復(fù)雜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)建模的代數(shù)分析途徑的優(yōu)越性，圍繞復(fù)雜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)建模的幾個重要問題剖析概念本質(zhì)，進(jìn)行原理性分析；另一方面著重討論ISM中涉及到的幾種矩陣以及它們之間的相互關(guān)系，澄清了一些容易混淆的觀點和認(rèn)識。

復(fù)雜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)建模是一個具有挑戰(zhàn)性的難題，現(xiàn)有ISM的拓?fù)浞治龇椒ㄅc本文倡導(dǎo)的代數(shù)分析方法相輔相成，可以取長補短，形成復(fù)雜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)建模的綜合集成方法，據(jù)此下一步將開展綜合集成視角下的復(fù)雜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)建模研究，提出相應(yīng)的方法體系，實現(xiàn)復(fù)雜系統(tǒng)建模求解的大成智慧的涌現(xiàn)[19-20]。