HPM視角下平方差公式的教學(xué)設(shè)計(jì)
——從參數(shù)角度

◎楊 輝 歐陽露露 方穎鈺

(1.深圳大學(xué)師范學(xué)院,廣東 深圳 518061;2.深圳市鹽田區(qū)梅沙雙語學(xué)校,廣東 深圳 518000;3.懷化市鶴城區(qū)黃巖學(xué)校,湖南 懷化 418000;4.深圳大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣東 深圳 518061)

1 問題提出

平方差公式是初中數(shù)學(xué)“代數(shù)”領(lǐng)域中重要的一個(gè)基礎(chǔ)知識，是代數(shù)式的變形、化簡和計(jì)算的重要依據(jù)，對于后續(xù)內(nèi)容，如因式分解和分式化簡有著非常重要的基石作用.

在教材編排上，國內(nèi)北師大版、人教版、蘇教版教材都是將平方差公式放在整式的乘法后面，更具體地，是放在多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式之后，從而將平方差公式的學(xué)習(xí)邏輯簡單地“解釋”為多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的“特殊”形式.

科學(xué)的論證要以事實(shí)資料為基礎(chǔ)，借助理論依據(jù)或者證據(jù)來支持自己的主張，并通過邏輯推理形成最終結(jié)論.在數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)方面，Wilkins認(rèn)為學(xué)生應(yīng)該做到以下幾點(diǎn)：(1)掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容的知識點(diǎn)；(2)擁有數(shù)學(xué)推理能力；(3)認(rèn)同數(shù)學(xué)的實(shí)用性和社會影響力；(4)理解數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀和歷史發(fā)展；(5)對數(shù)學(xué)有積極的態(tài)度.在平方差公式這一內(nèi)容上，國內(nèi)教材在(1)(4)兩點(diǎn)方面都做得不足，都沒有向?qū)W生呈現(xiàn)平方差公式出現(xiàn)的原因.而這一點(diǎn)對于知識的底層框架來說，至關(guān)重要.

這一問題的答案，可以從數(shù)學(xué)史的發(fā)展中找到.平方差公式衍生于求解二元二次方程組的問題，而非特殊形式的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式.古巴比倫數(shù)學(xué)泥版上記錄了二元問題：

此外，公元3世紀(jì)，數(shù)學(xué)家丟番圖在《算術(shù)》一書中，也有類似解法：已知兩數(shù)和為20，積為96，求這兩個(gè)數(shù).設(shè)一個(gè)數(shù)為10+t，另一個(gè)數(shù)為10-t，t>0,于是有(10+t)(10-t)=96.所以t=2，則一個(gè)數(shù)為12，另一個(gè)數(shù)為8.

吳現(xiàn)榮等人利用公元3世紀(jì)中國數(shù)學(xué)家趙爽的“面積割補(bǔ)法”史料來引入平方差公式.學(xué)生先從圖形表征的角度發(fā)現(xiàn)(a+b)(a-b)=a2-b2，再從符號表征層面熟知平方差公式.這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)與蘇教版教材內(nèi)容編排類似，只是多了一個(gè)數(shù)學(xué)史的“帽子”.但是，以圖形表征入手，還是沒有呈現(xiàn)出平方差公式出現(xiàn)的原因，會讓學(xué)生“錯(cuò)誤認(rèn)為”平方差公式是在面積重構(gòu)中偶然被發(fā)現(xiàn)的.吳梅龍從情境表征入手，以重構(gòu)的方式來呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史在平方差公式中的應(yīng)用，所創(chuàng)設(shè)的情景為：某房地產(chǎn)開發(fā)商打算在上海黃金地段購買一塊土地建造商品房，現(xiàn)有兩塊價(jià)格相同的土地，一塊是邊長為a(a>5)米的正方形土地，另一塊是一邊長為(a+5)米，另一邊長為(a-5)米的長方形土地.假如你是開發(fā)商，你會如何選擇?這種引入方式能夠讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成與應(yīng)用過程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和信心，但依舊沒有體現(xiàn)出平方差公式的由來.

目前，關(guān)于平方差公式直接發(fā)生的教學(xué)研究，尚未有人涉及.本文將直接從平方差公式的數(shù)學(xué)史出發(fā)，從參數(shù)的角度進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，以期讓學(xué)生掌握平方差公式的由來和意義.不管是古巴比倫數(shù)學(xué)泥版上的問題，還是丟番圖的問題，都引入了新的中間變量t，這個(gè)t后來被稱為參數(shù).如果教師能夠很好地在平方差公式教學(xué)中引入?yún)?shù)，那么學(xué)生就可以直接了解平方差公式學(xué)習(xí)的本質(zhì)和意義.

2 參數(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

通過檢索文獻(xiàn)，研究者們將參數(shù)的概念滲透到了初中數(shù)學(xué)和小學(xué)數(shù)學(xué)中.盡管只是理解層面，但是為本文從參數(shù)角度出發(fā)，設(shè)計(jì)平方差公式的教學(xué)提供了理論支撐.

孫海燕發(fā)現(xiàn)參數(shù)在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中可以起到“搭橋”作用.如參數(shù)在“比”中的應(yīng)用：已知甲校的學(xué)生是乙校學(xué)生人數(shù)的40%，甲校的女生人數(shù)是甲校學(xué)生人數(shù)的30%，乙校的男生人數(shù)是乙校學(xué)生人數(shù)的42%，求兩校的女生總數(shù)與兩校學(xué)生總數(shù)比.設(shè)乙校學(xué)生人數(shù)為參數(shù)a，找出數(shù)量關(guān)系，問題便迎刃而解.胡健認(rèn)為參數(shù)溝通了已知量和未知量之間的關(guān)系，為建立數(shù)學(xué)模型解決問題創(chuàng)造了條件.張培煒通過參數(shù)在初中數(shù)學(xué)函數(shù)解題中的妙用，闡述了掌握參數(shù)的解題方法可以有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

3 從參數(shù)角度基于HPM視角下的平方差公式教學(xué)設(shè)計(jì)

以北師大版教材為例，進(jìn)行平方差公式的教學(xué)設(shè)計(jì).

3.1 已有學(xué)習(xí)基礎(chǔ)

在學(xué)習(xí)平方差公式之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式”.此外，經(jīng)過小學(xué)“一元一次方程”的學(xué)習(xí)，學(xué)生會設(shè)未知數(shù)來求解問題.并且，通過“用字母表示數(shù)”這一章節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠理解字母可以表示任意數(shù).最后，在幾何圖形的學(xué)習(xí)中，學(xué)生能夠利用“割補(bǔ)法”來求解圖形面積.

3.2 關(guān)于平方差公式的教材內(nèi)容

平方差公式是多項(xiàng)式運(yùn)算中的一個(gè)重要公式.學(xué)生通過教材中幾個(gè)具體的題目，能利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能對規(guī)律進(jìn)行證明.在引出平方差公式之后，教材通過拼圖游戲?yàn)槠椒讲罟阶鲙缀谓忉?，從而使學(xué)生對此公式有一個(gè)直觀認(rèn)識.

3.3 教學(xué)設(shè)計(jì)

3.3.1 教學(xué)目標(biāo)

依據(jù)馬復(fù)等人關(guān)于義務(wù)教育的教學(xué)要求，在平方差公式章節(jié)，需要完成的教學(xué)目標(biāo)有：(1)經(jīng)歷探索平方差公式的過程，進(jìn)一步發(fā)展符號意識和推理能力；(2)會推導(dǎo)平方差公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的計(jì)算和推理；(3)了解平方差公式的幾何背景，發(fā)展幾何直觀核心素養(yǎng).

3.3.2 教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

(1)參數(shù)導(dǎo)入

教師用PPT展示一道小學(xué)四年級的題目：

問題：動(dòng)物園飼養(yǎng)員給三群猴子分花生，如果只分給第一群，則每只猴子可得12粒；如果只分給第二群，則每只猴子可得15粒；如果只分給第三群，則每只猴子可得20粒.若平均分給全體猴子，每只猴子可得多少?；ㄉ?/p>

師：這是一道小學(xué)四年級的題目，已經(jīng)是七年級學(xué)生的你們來思考一下，是否有一個(gè)合乎邏輯的解題過程？

經(jīng)過5分鐘左右的思考，部分學(xué)生會有思路：12，15，20的最小公倍數(shù)為60，60為花生的總數(shù)，再用60分別除以12，15和20，得出三群猴子的數(shù)量分別為5，4和3.所以若平均分給全體猴子，每只猴子可以得到60÷(5+4+3)=5(粒).

師：為什么一定要用最小公倍數(shù)作為花生的總數(shù)？如果60可以，那么60的倍數(shù)120，180是否也可以呢？

生：有道理，好像也行.如果是120，用120分別除以12，15和20，得出三群猴子的數(shù)量分別為10，8和6.所以若平均分給全體猴子，每只猴子可以得到120÷(10+8+6)=5(粒).答案還是一樣的，那么60的倍數(shù)都可以.

師：如果僅用60的倍數(shù)來作為花生數(shù)，會出現(xiàn)一個(gè)問題，每個(gè)同學(xué)用的花生總數(shù)不一樣，但是答案都是對的.那有沒有一種解法，可以統(tǒng)一這些解題方法呢？

生：x沒必要求出來，x起到一個(gè)橋梁的作用.

師：(總結(jié))很好！x沒有必要求出.x作為輔助變量，即參數(shù)，出現(xiàn)在題目中，是溝通數(shù)量之間的一個(gè)橋梁.

(2)平方差公式的導(dǎo)入

了解了參數(shù)在均分思想中的作用后，學(xué)生對于平方差公式的構(gòu)造有了基本的知識基礎(chǔ).隨后，教師用PPT展示公元3世紀(jì)遇到的分地問題：

問題：公元3世紀(jì)，在河流一側(cè)有一個(gè)部落，一天在河水退去后，面對肥沃的土地，部落首領(lǐng)需要給族人分地.分得的土地要保證是一整塊，否則會給耕種帶來麻煩.一塊土地的長寬和為20米，面積為96平方米.這塊土地的長和寬分別是多少？

師：大家不要用特殊值法去嘗試，用方程知識來解決，可以想想剛剛學(xué)到的“參數(shù)在均分思想中的應(yīng)用”.

學(xué)生思考了一段時(shí)間.

生：設(shè)長為x米，則寬為(20-x)米.由題意知x(20-x)=96，即x2-20x+96=0.但是這個(gè)方程，我不會求解呀！

師：公元3世紀(jì)的人們也遇到了跟大家一樣的問題.無法求解一元二次方程，難道就不分地了嗎？

師：聰明的部落首領(lǐng)想到了分地的方法.長和寬的和為20，當(dāng)平均分配給兩個(gè)數(shù)時(shí)，為10和10.在兩個(gè)10的基礎(chǔ)之上，一個(gè)多分配x，那么另一個(gè)就要少分配x.因此，可以設(shè)長為(10+x)米，寬為(10-x)米.則(10+x)(10-x)=96，即100-10x+10x-x2=96，100-x2=96，x=2.所以這塊土地的長為12米，寬為8米.

師：請大家想一想，這里的x的作用是什么？

生：是參數(shù)的作用.

師：對！當(dāng)引入?yún)?shù)后，我們就可以輕易地解決這個(gè)問題.那么大家看看這里的(10+x)(10-x)=100-x2是什么公式？

生：是平方差公式.

師：現(xiàn)在大家思考一下，平方差公式出現(xiàn)的意義是什么？

生：用來解決一元二次方程的問題.

師：非常好！認(rèn)識到平方差公式的本質(zhì)之后，我們就可以進(jìn)一步學(xué)習(xí)平方差公式的各種證明方式了.

(3)平方差公式的表征

教師用PPT展示平方差公式表征的三種形式.

A.圖形表征

(1)如下圖，一個(gè)邊長為a的正方形，在左下角剪下邊長為b的小正方形，其陰影部分的面積為________.

(2)如果沿虛線剪開，重新拼湊，則重新拼湊出來的圖形的面積是________.

師：大家將完成這兩個(gè)填空題.

生：第(1)問的答案是a2-b2，第(2)問的答案是(a+b)(a-b).

師：陰影部分的圖形被重新拼接，那么圖形本身的面積是否發(fā)生改變？

生：沒有改變.

師：第(1)問和第(2)問的答案相同，即(a+b)(a-b)=a2-b2.這是從幾何的角度來表征平方差公式.

B.模型表征

用“□”和“○”來表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，幫助學(xué)生理解平方差公式里的a和b的真正含義，從而使學(xué)生更準(zhǔn)確地理解平方差公式.

教師設(shè)置如下的填空練習(xí)：

(□+○)(□-○)=________.

當(dāng)□、○表示單項(xiàng)式時(shí)，

(2a2+3b)(2a2-3b)=________________;

當(dāng)□、○中含有多項(xiàng)式時(shí)，

[(2a-b)+5c2][(2a-b)-5c2]=________.

C.文字表征

師：基于這堂課的學(xué)習(xí)，請你用一句話來總結(jié)平方差公式的形式.

生：兩數(shù)的平方之差，等于兩數(shù)的和乘以兩數(shù)的差.

(4)公式辨析

教師用PPT展示問題，讓兩位同學(xué)來判斷對錯(cuò)，并對錯(cuò)的題目進(jìn)行訂正.

①(a+b)(b-a)=ab-ba=0；

②(-5x-3)(5x-3)=25x2-9；

③(4x+3b)(4x-3b)=16x2-9；

④(x-2a+1)(x+2a-1)=x2-4a2.

教師解答：

①錯(cuò)誤，左邊的(a+b)做一個(gè)簡單的移項(xiàng)即可，答案是b2-a2.

②錯(cuò)誤，左邊的(-5x-3)提一個(gè)負(fù)號出來，變成-(5x+3)，答案是-(25x2-9)=-25x2+9.

③錯(cuò)誤，答案是16x2-9b2.

④錯(cuò)誤，將(2a-1)看成一個(gè)整體，答案是x2-(2a-1)2=x2-4a2+4a-1.

(5)公式應(yīng)用

教師用PPT展示平方差公式的應(yīng)用題型.

例1計(jì)算59.8×60.2.

例2從前有一個(gè)狡猾的農(nóng)林主，把一片邊長為a的正方形土地租給王老漢.第二年，他對王老漢說：“我把這塊地的一組對邊減少5米，另一組對邊增加5米，繼續(xù)租給你，租金不變，你覺得怎么樣？”王老漢覺得沒吃虧，就同意了.回到家中，王老漢把這個(gè)事說給鄰居們聽，鄰居們都說他吃虧了，你覺得呢？

解答

例1原式=(60-0.2)×(60+0.2)=602-0.22=3600-0.04=3599.96.

例2第一年的土地面積為a2,第二年的土地面積為(a+5)(a-5)=a2-25.顯然第一年的土地面積比第二年多，所以王老漢吃虧了.

(6)小結(jié)

通過提問的方式，讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容.

問題一，平方差公式出現(xiàn)的原因是什么？

問題二，說一說平方差公式的形式.

問題三，平方差公式里的a和b可以表示什么？

問題四，談一談平方差公式的應(yīng)用.